試論常微分方程的奇解.doc

1、試論常微分方程的奇解摘要: 一階微分方程擁有含有一個(gè)任意常數(shù)的通解，另外可能還有個(gè)別不含于通解的特解，即奇解，利用P判別法和C判別法可以求出奇解,而這兩種判別法是否適用于求每一個(gè)一階微分方程的奇解？此文中舉了幾個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。并給出另外三種求奇解的方法。關(guān)鍵詞： 一階微分方程,奇解,P-判別式,C-判別式，C-P消去法，拾遺法，自然法。Discussing Singular Solution about First Order Differential EquationZHU Yongwang(Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and

2、 Information Science）Advisor： Professor LI JianminAbstract： First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has special solution that is singular solution， which can be solved by the P-judgment method and Cjudgment methodWhile whether t

3、he two judgments can be applied to get every singular solution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examplesKey words: Singular solution， P-judgment， C-judgment, CP elimination method， The supplement method， Natural method。1引言一般來(lái)說(shuō)一階常微分方

4、程擁有任意常數(shù)的通解,另外還有個(gè)別不含于通解的特解。這種特解可以理解為通解的一種蛻化現(xiàn)象.它在幾何上往往表現(xiàn)為解的唯一性遭到破壞.早在1649年萊布尼茲就已經(jīng)觀察到解族的包絡(luò)也是一個(gè)解.克萊絡(luò)和歐拉對(duì)奇解作了某些討論,得出了P判別式求奇解的方法。拉格朗日對(duì)奇解和通解的聯(lián)系作了系統(tǒng)的研究,給出C判別式求奇解的方法和奇解的積分曲線族的包絡(luò)這一幾何解釋.2奇解、包絡(luò)、C-判別式、P-判別式的定義及問(wèn)題出近幾年許多學(xué)者對(duì)常微分方程這方面特別關(guān)注,在一階常微分方程有奇解的條件、常微分方程奇解的求法、擺線的構(gòu)成和奇解的聯(lián)系、Cornwall不等式的應(yīng)用及微分方程的奇解等方面有大量的文章發(fā)表，由此可見(jiàn),人們

5、對(duì)微分方程的奇解有了很深的認(rèn)識(shí).微分方程的奇解在常微分方程的解中具有特殊的地位。奇解的定義:微分方程的某一個(gè)解稱為奇解,如果在這個(gè)解的每一個(gè)點(diǎn)上至少還有方程的另外一個(gè)解存在,也就是說(shuō)奇解是這樣的一個(gè)解，在它上面的每一個(gè)點(diǎn)唯一性都不成立，或者說(shuō)奇解對(duì)應(yīng)的曲線上每一個(gè)點(diǎn)至少有方程的兩條積分曲線通過(guò)。包絡(luò)的定義:設(shè)在平面上有一條連續(xù)可微的曲線,。在曲線族中都有一條曲線通過(guò)點(diǎn)并在該點(diǎn)與相切,而且在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)不同與，則稱曲線為曲線族的一支包絡(luò)。從奇解和包絡(luò)的定義容易知道一階微分方程的通解的包絡(luò)(如果它存在的話）一定是奇解；反之，微分方程的奇解（若存在的話）也是微分方程的通解的包絡(luò)。因而,為了求微分方

6、程的奇解，可以先求出它的通解,然后求通解的包絡(luò).對(duì)于一階微分方程,如果此方程有除了通解之外的奇解,則此奇解一定滿足兩個(gè)判別式，即P判別式和C判別式.定理：設(shè)函數(shù)對(duì)是連續(xù)的,而且對(duì)y和p有連續(xù)的偏微商和,若函數(shù)是微分方程的一個(gè)奇解,并且則奇解y=（x)滿足一個(gè)稱之為P判別式的聯(lián)立方程 ， 其中。 定理：設(shè)微分方程有通積分又設(shè)積分曲線有包絡(luò)為則奇解滿足C判別式的聯(lián)立方程 ,。以上兩個(gè)定理是奇解的必要條件，也就是說(shuō)用C判別式和P判別式求出的解不一定是微分方程的解，如果是微分方程的解也不一定是奇解,但是在求一階微分方程的奇解時(shí)通常都會(huì)采用這兩個(gè)判別式。由中奇解部分的定理2和定理5知，只要求解是微分方程

7、的解，用P判別式求出的解滿足: ,用C-判別式求出的解滿足非蛻化條件: ，則此解就是奇解,既然C判別式和P判別式是求奇解的方法，那么是不是這兩個(gè)判別式（C判別式和P判別式)對(duì)所有一階微分方程求奇解都有效?3幾個(gè)例子利用P判別式和C判別式對(duì)一些一階微分方程進(jìn)行求解的運(yùn)算，看看會(huì)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果？【例1】： 求的奇解 解: 令，利用P判別式:；消去P得，但不是微分方程的解, 所以原方程無(wú)奇解. 我們可以發(fā)現(xiàn)利用P判別式求出的解不一定是奇解.那么利用C判別式所求出的解是不是一定是方程的奇解呢?我們接著看下一個(gè)例子。【例2】: 求的奇解.解：原方程的通解為：C判別式為: ;消去C得y=0,但不是方程的

8、解,所以原方程無(wú)奇解.以上兩個(gè)例子充分說(shuō)明了C判別式和P判別式是求奇解的必要條件.【例3】： 求微分方程的奇解.解： 原方程的P判別式為： ；消去P得 易知是微分方程的解.而且： 所以是微分方程的奇解?！纠?】: 求.解: 首先我們不難求出微分方程的通積分: 由C判別式:（其中C為任意常數(shù)） 確定二支連續(xù)可微的曲線和，對(duì)他們分別作如下形式的參數(shù)表示式： ： : 容易驗(yàn)證滿足相應(yīng)的非蛻化條件:, 因此是積分曲線族的一支包絡(luò),從而它是微分方程的奇解。而不滿足相應(yīng)的非蛻化條件，所以還不能斷言是否為包絡(luò)，不過(guò)我們可以利用簡(jiǎn)單的作圖得知不是曲線族的包絡(luò)，因此它不是奇解,雖然它是微分方程的解.從例3、例4

9、兩題中,可以發(fā)現(xiàn)，如果利用P判別式來(lái)求奇解可以直接從方程出發(fā)，而如果要用C判別式需要求出通解，但是無(wú)論用哪一判別式要使求得的解為奇解，則此解一定滿足:用P判別式時(shí)滿足:；用C判別式時(shí)滿足:。對(duì)于一些微分方程既能用P判別式又能用C判別式求奇解，我們接著看一道例題?！纠?】: 求的奇解解： 法一：令,則P-判別式： ; 消去P得. 法二：方程的通解為 C判別式: ； 消去C得,滿足非蛻化條件:所以是奇解。由例5知:既然某些一階微分方程既可用P判別式來(lái)求奇解又可用C判別式求奇解.那么能否將P判別式和C判別式聯(lián)合起來(lái)求奇解呢?4新判別法在我們的教材和資料中我們通常采用P判別式和C判別式來(lái)求一階微分方程

10、的奇解,然而對(duì)于某些問(wèn)題，P判別式和C判別式這兩種方法求奇解比較困難。因此還有其他方法來(lái)求奇解,這些新方法用起來(lái)比較方便,通過(guò)查閱資料和文獻(xiàn),人們對(duì)新解法研究的比較少,在此介紹三種新的解法，方便對(duì)一階微分方程求奇解。4。1. CP消去法【例6】: 求的奇解.解: 令 P判別式:;消去P得：及方程的通解為: C判別式:；消去C得。則為奇解。例6中介紹了一種新方法, CP消去法：定義：聯(lián)合P判別式和C-判別式,從P判別式得到解和從P判別式得到解中尋得公共單因式，令其為零,一般就是奇解。在例6中,由P判別式得到，由C判別式得到,它們的公共單因式為,令其為零，即。【例7】： 求的奇解。解： 從和中消去

11、P得：y=x再求通解，將方程寫成即 通積分為: 從和 中消去C得: 及 按CP消去法知是奇解。就特殊方程: 假設(shè)連續(xù)。給出以下兩種特殊的求奇解的方法。即自然法和拾遺法.4.2. 自然法定義：當(dāng)點(diǎn)集L不是孤立點(diǎn)集,而是有分支時(shí)，則 可能是奇解.對(duì)于 當(dāng)連續(xù)，則只要有界，就能保證的解存在唯一,所以當(dāng)時(shí)，他就可能破壞了解的唯一性.【例8】: 求 （y1）的奇解. 解： 當(dāng)時(shí), 所以 可能破壞解的唯一性，它可能是奇解.驗(yàn)證： (1） 顯然是方程的解. (2） 由分離變量法求得通解是: 在上任取一點(diǎn)通解表達(dá)式中有解 通過(guò)點(diǎn)且其上導(dǎo)數(shù) ,即此解與相切，故是奇解。同理:也是方程的奇解.4。3。 拾遺法定義:

12、當(dāng)方程在求通積分的過(guò)程中,經(jīng)常遇到分離變量，方程兩邊需要同時(shí)除以不含導(dǎo)數(shù)的因式,則令這個(gè)因式等于零,可能得到奇解。因?yàn)榉匠虄蛇呁瑫r(shí)除以含有x、y的因式時(shí)，原方程可能遺失了解,當(dāng)然有可能遺失了方程的奇解.【例9】： 求 的奇解.解： 除以因式得： 積分后得通解：但令消去因子為零，即得；驗(yàn)證： (1） 它們都是方程的解；(2） 有 前者說(shuō)明通解表達(dá)式中沒(méi)有解與相交;后者說(shuō)明通解表達(dá)式中有解與。相交，且從方程本身看出交點(diǎn)上的斜率都是 因此得結(jié)論:是正常解，是奇解。5結(jié)論以上五種是判定奇解的方法,都需驗(yàn)證所得曲線是否真是奇解,這個(gè)驗(yàn)證步驟有時(shí)比較麻煩,若C判別式和P判別式容易求得時(shí),方法CP削去法常是

13、可取的.從以上的幾個(gè)例子中，在利用兩個(gè)判別式求一階微分方程的奇解時(shí)，會(huì)出現(xiàn)以下幾種情況:(1) P判別式和C判別式均可用來(lái)求奇解;(2） P判別式與C判別式聯(lián)合可求方程的奇解；（3) 當(dāng)一階微分方程的一階導(dǎo)數(shù)的次數(shù)為一次時(shí)，P判別式不可求奇解，但C判別式未必失效;(4) 當(dāng)一階微分方程的通解中常數(shù)C的次數(shù)為一次時(shí),C判別式不可求奇解，并且導(dǎo)致P判別式也不可求奇解,此時(shí)只能另找他法.參考文獻(xiàn) 丁同仁、李承志.常微分方程教程.高等教育出版社，1991年. 錢祥征.常微分方程解題方法.湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1984年. 王高雄、周之銘、朱思銘、王壽松。常微分方程.高等教育出版，1978年 。 何永蔥.關(guān)于常微分方程奇解判別的注記。內(nèi)江師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2000年第15卷第2期:13。 路暢、智婕.一