函數(shù)的單調(diào)性與極值理2實(shí)用教案

1、一、函數(shù)(hnsh)的單調(diào)性從幾何圖形(jh t xng)上來分析abxyo)(xfy ),( ba都是銳角，即斜率 0)(tanxf是上升的 。),( ba如果曲線 在 內(nèi)所有切線的傾斜角 時(shí)，那么曲線在第1頁/共26頁第一頁，共27頁?？梢?kjin)，函數(shù)的單調(diào)性可以用導(dǎo)數(shù)的符號來判定。aboyx同樣，當(dāng) 時(shí)，曲線在 內(nèi)是下降。 ),( ba0 )(tanxf我們(w men)有如下定理：第2頁/共26頁第二頁，共27頁。定理1 設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在區(qū)間),(ba)(xfy ba,內(nèi)可導(dǎo)，（1）如果在 內(nèi) ，則 在),(ba0)( xf)(xfba,上單調(diào)增加；),(ba0)( xf)

2、(xf上單調(diào)減少。（2）如果在 內(nèi) ，則 在注意(zh y)： （1）將定理中的閉區(qū)間 換成其他(qt)各種區(qū)間定理的結(jié)論仍成立。第3頁/共26頁第三頁，共27頁。單調(diào)增加的充分條件，而不是必要條件。（2）在 內(nèi)， 只是 在 上),(ba0)( xf)(xf考察函數(shù) 3)(xxf，但等號只在個(gè)別處成立，（3）如果在區(qū)間 內(nèi)0)( xf（或0)( xf）仍是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的。則函數(shù) 在 上考察函數(shù) 3)(xxf第4頁/共26頁第四頁，共27頁。例1 判定函數(shù) 的單調(diào)性。xxxf arctan)(解 的定義域是 。 ),(在區(qū)間 和 都有 ，只有當(dāng)), 0(0)( xf0 x時(shí)， ，所以

3、在 內(nèi)單調(diào)減少。0)0( f),(例2 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。xxxf3)(3解 的定義域是 ),(第5頁/共26頁第五頁，共27頁。令 ，得 ，0)( xf1, 1xx它們將定義域),(當(dāng) 時(shí)，)1 , 1(x0)( xf當(dāng) 時(shí)， 。) 1,(), 1 (x0)( xf所以 的單調(diào)增加區(qū)間是 和 ；單調(diào)遞減區(qū)間是) 1,()1 ,1(例3 確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。23352353)(xxxf解 的定義域是),()1,(),(11 分成三個(gè)區(qū)間 第6頁/共26頁第六頁，共27頁。令 ，得 ，又 處導(dǎo)數(shù)不存在，0)( xf1x0 x1x， 這兩點(diǎn)將 分成三個(gè)區(qū)間，0 x),(列表分析 在各個(gè)區(qū)間的符

4、號：)(xf 由表可知， 的單調(diào)增加區(qū)間為 和，單調(diào)減少區(qū)間為 。第7頁/共26頁第七頁，共27頁。二、函數(shù)(hnsh)的極值設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，0 x1 定義(dngy)（1）如果對該領(lǐng)域內(nèi)的任意點(diǎn) ，都有)(xxx)()(0 xfxf，則稱 是 的極大值，稱 是)(0 xf)(xf的極大值點(diǎn)。)(xf （2）如果對該領(lǐng)域內(nèi)的任意點(diǎn) ，都有)(xxx)()(0 xfxf，則稱 是 的極小值，稱)(0 xf)(xf是 的極小值點(diǎn)。)(xf第8頁/共26頁第八頁，共27頁。函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱(tngchng)為極值，極大值點(diǎn)和極小致點(diǎn)統(tǒng)稱(tngchng)為極值點(diǎn)。注意：極值是

5、局部性的。因而，函數(shù)可以有許多個(gè)極大值和極小值，并且(bngqi)極大值不一定大于極小值。oxyab第9頁/共26頁第九頁，共27頁。2 極值(j zh)存在的必要條件和充分條件定理2（極值的必要條件） 如果函數(shù) 在點(diǎn))(xf 處可導(dǎo)，且在點(diǎn) 取得極值，則 。0)(0 xf定理(dngl)2指出：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)。0)(0 xf)(xf使 的點(diǎn) 稱為函數(shù) 得駐點(diǎn)。反過來，駐點(diǎn)不一定(ydng)是極值點(diǎn)。3)(xxf考察函數(shù)另一方面，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。0 xxxf,)(考察函數(shù)第10頁/共26頁第十頁，共27頁。定理3（極值的第一充分條件(chn fn tio jin)）

6、設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn) 連續(xù)(linx)，且在點(diǎn) 的某一空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)。 （1）如果在 內(nèi) ，在),(00 xx0)( xf),(00 xx內(nèi) ，則函數(shù) 在點(diǎn) 處取極大值 ；0)( xf)(xf)(0 xf（2）如果在 內(nèi) ，在),(00 xx0)( xf),(00 xx內(nèi) ，則函數(shù) 在點(diǎn) 處取極小值 ；0)( xf)(xf)(0 xf（3）如果 在 和 內(nèi)不變 )(xf ),(00 xx),(00 xx號，則 在 處無極值。 )(xf第11頁/共26頁第十一頁，共27頁。定理3即：設(shè) 在點(diǎn) 的某一空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，)(xf當(dāng) 有小增大經(jīng)過 時(shí)，如果 由正變負(fù)，x)(xf 則 是極大值點(diǎn)；如果 由負(fù)

7、變正，)(xf 極小值點(diǎn)；如果則 是)(xf 不變號，則 不是極值點(diǎn)。例4 求函數(shù) 的極值。1093)(23xxxxf 解 的定義域是)(xf),(令 ，得駐點(diǎn) 。0)( xf3, 121xx當(dāng) 時(shí)，11x0)( xf當(dāng) 時(shí)，31x0)( xf第12頁/共26頁第十二頁，共27頁。當(dāng) 時(shí)， 。3x0)( xf)(xf3x在 處取得極小值17) 3(f例5 求函數(shù) 的極值。123)(32xxxf 解 的定義域是)(xf),(令 ，得駐點(diǎn) ，而 時(shí) 不存在。0)( xf1x0 x)(xf 由定理3知， 在 處取得極大值 。 )(xf11x15) 1(f第13頁/共26頁第十三頁，共27頁。因此函數(shù)

8、只可能在這兩點(diǎn)取得極值(j zh)，列表討論如下：極大值極大值1極小值極小值不存在(cnzi)由表可知， 在 處取得極大值 ， )(xf0 x1)0(f在 處取得極小值 。1x21)(xf函數(shù) 的圖形如圖123)(32xxxf第14頁/共26頁第十四頁，共27頁。 函數(shù)在駐點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)(do sh)存在時(shí)，還可以用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)(do sh)判定函數(shù)是否有極值。01x121y 定理4（極值的第二充分條件） 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)處有二階導(dǎo)數(shù)，且 ， ，則0)(0 xf0)(0 xf（1）如果 ，則 在 取得極大值；0)(0 xf（2）如果 ，則 在 取得極小值。0)(0 xf第15頁/共26頁第十五頁，

9、共27頁。例6 求函數(shù) 的極值。22ln)(xxxf解 的定義域是),(),(00 令 ，得到兩個(gè)駐點(diǎn) 。0)( xf1, 121xx由定理4可知， 都是 的極小值點(diǎn)，1, 121xx1) 1 () 1(ff為函數(shù) 的極小值。又第16頁/共26頁第十六頁，共27頁。 函數(shù)的極值(j zh)是局部性概念，而最值是一個(gè)全局性概念。 可以由駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相比較，其中最大的就是函數(shù) 在 上的最大值，ba,ba,最小的就是函數(shù) 在 上的最小值。注意下述三種(sn zhn)情況：（1）如果 在 上是單調(diào)函數(shù)；ba,三、函數(shù)(hnsh)的最值1 閉區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)第17頁/共2

10、6頁第十七頁，共27頁。（2）如果連續(xù)函數(shù) 在某區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極大)(xf（?。┲?，而無極小（大）值；（3）在實(shí)際問題中，由問題的實(shí)際意義可知，確實(shí)存在最大值或最小值，又若函數(shù)在所討論的區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)可能的極值點(diǎn)，則該點(diǎn)處的函數(shù)值一定是最大值或最小值。例7 求函數(shù) 在區(qū)間41232)(23xxxxf4 , 3 上的最大值與最小值。解第18頁/共26頁第十八頁，共27頁。比較可知， 在 上最大值為 ，最小值)(xf4 , 3132)4(f為3) 1 (f例9 將邊長為a的一塊正方形鐵皮，四角各截去一各大小相同的小正方形，然后將四邊折起做成一個(gè)無蓋的方盒。問截去的小正方形邊長為多大時(shí)，所得方盒的容

11、積最大？解 如圖設(shè)小正方形的邊長為x，則盒底的邊長為)2(xa0)( xf得駐點(diǎn) : 令 ，.,1221 xx第19頁/共26頁第十九頁，共27頁。令 ，得 （舍去）。又0 v2,621axax所以函數(shù) 在 處取得唯一極大值，此極大值就是最大值。因此，當(dāng)截去的正方形的邊長等于所給正方形鐵皮邊長的 時(shí)，所做的方盒容積最大。v6ax 61ax方盒的容積(rngj)為：第20頁/共26頁第二十頁，共27頁。例10 制作一個(gè)容積為 的圓柱形密閉容器，V怎樣設(shè)計(jì)才能使所用材料最?。?解 如圖，設(shè)容器(rngq)的底面半徑為 ，高為 ，則表面積為rhrS222所以(suy)令0S ， 得駐點(diǎn) 32Vr h

12、rhrV2由已知得故第21頁/共26頁第二十一頁，共27頁。所以，所做容器的高和底直徑相等時(shí)，所用(su yn)材料最省。 例11 一工廠A與鐵路的垂直距離為 ，垂足 akm B到火車站C的鐵路長為 ，要在BC段上選)(abbkm一點(diǎn)M向工廠修一條公路，已知鐵路與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為3：5，問M 選在離C多少公里處，才能使從A到C的運(yùn)費(fèi)最少？S有唯一駐點(diǎn)，而實(shí)際容器存在(cnzi)最小表面積，因此求得的駐點(diǎn)為最小值點(diǎn)，此時(shí)第22頁/共26頁第二十二頁，共27頁。解 設(shè) , 則xMC 設(shè)鐵路、公路上每公里運(yùn)費(fèi)分別為 從A到,5 ,3kkC需要的總運(yùn)費(fèi)為 ，則y令 ，0 y得 （舍去）。因?yàn)閍bx

13、abx43,4321第23頁/共26頁第二十三頁，共27頁。1x是在區(qū)間0, b上的唯一駐點(diǎn)，而實(shí)際問題中存在最小值，因而 是最小值點(diǎn)，因此，M選在abx431離C點(diǎn)距離為 處時(shí)總運(yùn)費(fèi)最省。)(43kmab例12工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，當(dāng)年產(chǎn)量為x（單位：百臺）時(shí)，總成本（單位：萬元）為C(x)=3+x，其銷售收入（單位：萬元）為 ,問年產(chǎn)量x為25 . 05)(xxxR多少時(shí)，總利潤L最大？解 利潤(lrn)為第24頁/共26頁第二十四頁，共27頁。令 ，得駐點(diǎn) 。0)( xL4x的唯一極大值點(diǎn)，于是 （萬元）是最大值，5)4(L即每年(minin)生產(chǎn)400臺時(shí)，總利潤最大，最大利潤為5萬元。01)4( L4x)(xL因?yàn)?，所以 是函數(shù) 第25頁/共26頁第二十五頁，共27頁。感謝您的觀看(gunkn)！第26頁/共26頁第二十六頁，共27頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)一、函數(shù)的單調(diào)性。仍是