2017年天津市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)詳細(xì)解析版

1、第1頁(yè)（共 20頁(yè)）207 年天津市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)一、選擇題 :在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. （5 分)設(shè)集合 a= ,，6，b=2,4 , xr| 1x5 ，則（ab)=()a. 2?b 1，2，4 ?c1,2,，5d xr 5(分)設(shè)變量 x，y 滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù) z=xy 的最大值為（)a.?.1 .?d(5 分）閱讀右面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入n 的值為 4，則輸出 n 的值為 ( ）a.0 b.?c2 d3(分)設(shè) r，則“ | ” 是“sin 的（)a充分而不必要條件b必要而不充分條件.充要條件 ?d.既不充分也不必要條件第2頁(yè)（共

2、20頁(yè)）5.(分)已知雙曲線=1(a， b0）的左焦點(diǎn)為f, 離心率為若經(jīng)過(guò)f和 p(,4）兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙曲線的方程為（)a=1 b1?=1 d16.（5 分)已知奇函數(shù) f（x)在 r 上是增函數(shù) ,（x）x(x)若 a=（ log25。),bg（20.)，c=g(3）,則 a,b，c 的大小關(guān)系為（)a.bc?b.ba?c.bac d.b0,| b，=5，c=，sib= .（)求和 sina的值；（）求 sn（2a+)的值16.（3 分)從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3 個(gè)十字路口 ,設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為，,.()設(shè) x表示一輛車(chē)從甲地到

3、乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量 x的分布列和數(shù)學(xué)期望；()若有 2 輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2 輛車(chē)共遇到 1 個(gè)紅燈的概率 . 17.（13 分）如圖 ,在三棱錐 pabc中，p底面 abc, bac= .點(diǎn) d，e,n分別為棱 pa,p ， c的中點(diǎn)， m 是線段 d 的中點(diǎn)， a=a=4,a=()求證:mn平面 bde;（)求二面角 cemn 的正弦值 ;()已知點(diǎn) h在棱 a 上，且直線 nh 與直線 be所成角的余弦值為，求線段h 的長(zhǎng).18.(3 分)已知an 為等差數(shù)列，前 n 項(xiàng)和為 sn（n+)， bn 是首項(xiàng)為的等比數(shù)列，且公比大于0，2+1,b3=a42a,s11=1

4、4.第4頁(yè)（共 20頁(yè)）（）求 an 和bn的通項(xiàng)公式；（)求數(shù)列 ab2n的前 n 項(xiàng)和（ n+)9.（14 分）設(shè)橢圓+=1（ab0）的左焦點(diǎn)為 f，右頂點(diǎn)為，離心率為已知 a 是拋物線2=2px（p0)的焦點(diǎn) ,到拋物線的準(zhǔn)線l 的距離為（i）求橢圓的方程和拋物線的方程;(ii）設(shè) l 上兩點(diǎn) p，q 關(guān)于軸對(duì)稱 ,直線與橢圓相交于點(diǎn)b（b 異于 a）,直線與 x 軸相交于點(diǎn) d.若ad 的面積為,求直線 ap的方程20.（14 分）設(shè) az,已知定義在 r上的函數(shù) f(）2x4+x33x26+a 在區(qū)間（ ,)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn) x0，g（x）為 f(x)的導(dǎo)函數(shù)（)求(x）的單調(diào)區(qū)間 ;(

5、）設(shè) m1,x0）（x0，2 ，函數(shù)（x）=g （x)(mx）f(m),求證：（）h（x)；（）求證：存在大于 0 的常數(shù) a，使得對(duì)于任意的正整數(shù)p，q,且 ，x0）(x,2 ，滿足 |x07 年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科)一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. (5 分)設(shè)集合 a= 1，2，6，b= ， ,c= xr| 1x5,則(ab)第5頁(yè)（共 20頁(yè)）c=（）. 2?b1，2,4 c.， 2,4， r1 5【分析】 由并集概念求得a,再由交集概念得答案【解答】 解:a=1，2,6 ，b= ， ， b=1,2，4,又 c= xr| 1 ，(ab）c=1，2,4

6、 故選:b.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，是基礎(chǔ)題2. （分 )設(shè)變量 x,y 滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù) z=+y 的最大值為( ）a.1?.3【分析】 畫(huà)出約束條件的可行域 ,利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解即可【解答】 解：變量， y 滿足約束條件的可行域如圖：目標(biāo)函數(shù) z=x+結(jié)果可行域的 a 點(diǎn)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值，由可得 a（,） ，目標(biāo)函數(shù) zx+y 的最大值為 :3.故選： d.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃的簡(jiǎn)單應(yīng)用,考查計(jì)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用3(5 分)閱讀上面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入n 的值為 4，則輸出的值為 ( ）a.0 b.2?d3【分析】 根據(jù)程序

7、框圖，進(jìn)行模擬計(jì)算即可.【解答】 解：第一次 n=24，能被 3 整除,n=3 不成立，第二次 n8，不能被整除 ,n=17,n=7不成立 ,第6頁(yè)（共 20頁(yè)）第三次 n=7,不能被 3 整除,n=71=6，n=23 成立,輸出 n=2，故選 c 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查程序框圖的識(shí)別和應(yīng)用,根據(jù)條件進(jìn)行模擬計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵 .4.(5 分)設(shè) r，則“ 是“ in 的( )a.充分而不必要條件 ?.必要而不充分條件充要條件 ?d既不充分也不必要條件【解答】 解：| | ? ? 0 ,si ? +k +2k, ,則(0,）? +2, +2k ，kz，可得“ |” 是“sin ” 的充分不必

8、要條件 .故選:a【點(diǎn)評(píng)】 本題考查充分必要條件的判斷,同時(shí)考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),運(yùn)用定義法和正確解不等式是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題 . （分 )已知雙曲線=1(0,b0）的左焦點(diǎn)為 ,離心率為 .若經(jīng)過(guò) f和 p(0，4)兩點(diǎn)的直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為（）a.=1 b.=1?c 1?=【解答】 解:設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)（c,0),離心率 e=,ca,則雙曲線為等軸雙曲線，即a=b,雙曲線的漸近線方程為 =x=x，則經(jīng)過(guò) f和 p（0,4）兩點(diǎn)的直線的斜率k=，則1，c,則 a=b2，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：;故選 b【點(diǎn)評(píng)】 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),等軸雙曲線的應(yīng)用 ,屬

9、于中檔題 .6.(5 分)已知奇函數(shù) f （x)在 r上是增函數(shù) ,g （x)=f(x） .若 a=g( g2。1） ,b=(20.)，c=g(3）,則 a,b,的大小關(guān)系為（) a?.cba?cbac d.ba第7頁(yè)（共 20頁(yè)）【分析】 由奇函數(shù) f()在 r 上是增函數(shù)，則（） =x(x）偶函數(shù) ,且在(0，+)單調(diào)遞增 ,則 a=g （ log2。1）=(log1),則 2log25.13，10。82，即可求得 ba0,(）f（0)=0,且 f (） 0,g（x)=xf（x),則 （x)=f()+x(x)0，g（)在(,）單調(diào)遞增，且g（x)xf(x)偶函數(shù) ,ag(log25。)=g

10、(log25。1)，則 2lg2.13,12。82，由 g(x)在（0，+)單調(diào)遞增，則 (2)（log5.1)g(3） ，,故選 c.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)奇偶性，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想 ,屬于基礎(chǔ)題7 （5 分)設(shè)函數(shù) f（x)=sin( x), r,其中 0，| | x若（)=，f(）=,且 f（x)的最小正周期大于2, 則（)a.= , =b.= , ，=. = , =【解答】 解：由 f(x）的最小正周期大于2, 得,又 f(）=2，f()0, 得,t=3 ，則，即.f(x）2sin( x+) 2sn（+),由 f（）=, 得 sin（ +)1. =,kz.取=0,得 =

11、1 時(shí),同樣可得 ()a+,再由基本不等式可得最值,可得 a 的范圍 ,求交集即可得到所求范圍【解答】 解：當(dāng) x1 時(shí),關(guān)于 x 的不等式 (x)|+a| 在 r上恒成立，即為 x2+x2x+,即有 x+ x3ax2x+3,由 y=x23 的對(duì)稱軸為 x=，可得 =處取得最大值;由 xx+3 的對(duì)稱軸為 x= 1)取得最小值 2則2a2由可得 ,a2.故選:【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，不等式恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用分類(lèi)討論和分離參數(shù)法 ,以及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用 ,分別求出二次函數(shù)和基本不等式求最值是解題的關(guān)鍵 ,屬于中檔題 .二。填空題 :本大題共小題 ,每小題 5 分,共分9(分）已知

12、ar，為虛數(shù)單位 ,若為實(shí)數(shù)，則的值為【解答】 解:=i第9頁(yè)（共 20頁(yè)）由為實(shí)數(shù) ,可得=0,解得 =2故答案為： 2.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算 ,注意運(yùn)用共軛復(fù)數(shù) ,同時(shí)考查復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的條件:虛部為 0,考查運(yùn)算能力 ,屬于基礎(chǔ)題 .10.（分 )已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為.【分析】根據(jù)正方體和球的關(guān)系，得到正方體的體對(duì)角線等于直徑，結(jié)合球的體積公式進(jìn)行計(jì)算即可【解答】 解:設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，這個(gè)正方體的表面積為18，62=,則 a2=3,即 ,一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，正方體的體對(duì)角線等于球的直徑,即=2，即 r

13、= ,則球的體積?( )=;故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間正方體和球的關(guān)系,利用正方體的體對(duì)角線等于直徑，結(jié)合球的體積公式是解決本題的關(guān)鍵.11.(分)在極坐標(biāo)系中，直線4 ( )與圓 = in 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2 【分析】把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,求出圓心到直線的距離d，與半徑比較即可得出位置關(guān)系【解答】 解:直線 4cs( )+1=展開(kāi)為： +1=，化為:2x+2y+1=0.圓 =2si 即 2=2 n,化為直角坐標(biāo)方程： x2yy,配方為：2+（1)2=1.圓心 c(0,1 ）到直線的距離 d， 5,=6，sinb= ()求 b 和 s的值 ; (）求 sin（2a+）的值 .【

14、分析】 （）由已知結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得csb, 再由余弦定理求得，利用正弦定理求得sina；（)由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得csa,再由倍角公式求得sn,cs2a，展開(kāi)兩角和的正弦得答案.【解答】解:(）在 ac中， b,故由 sinb，可得 cosb= 由已知及余弦定理 , 有=13, =.由正弦定理，得 si=. b, in=；（）由()及 ac,得 cosa=, sin2a=2s nacos =，s2a=1sn2a故 sn(2a+)=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查倍角公式的應(yīng)用,是中檔題16(3 分）從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作

15、相互獨(dú)第13頁(yè)（共 20頁(yè)）立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為,，.（)設(shè)表示一輛車(chē)從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望 ;()若有輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地,求這 2 輛車(chē)共遇到 1 個(gè)紅燈的概率 .【分析】 ()隨機(jī)變量 x的所有可能取值為0，1,2,3,求出對(duì)應(yīng)的概率值 ,寫(xiě)出它的分布列 ,計(jì)算數(shù)學(xué)期望值；（）利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算所求事件的概率值.【解答】 解：(）隨機(jī)變量 x的所有可能取值為0,1， 3；則(x=0)=(1 )(1)(1），p( 1)=()(1)+（1)（ 1）+(1)()=,（ =）=(1）(1）(1）=,p（x=3)= =;所以,隨

16、機(jī)變量 x的分布列為x123p隨機(jī)變量 x的數(shù)學(xué)期望為 (）=0+1+2+3=；(）設(shè)表示第一輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，表示第二輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù),則所求事件的概率為p(y +z=1）p（y0,z=1）+（ =1，z=)=p(=0)?p(z=1) p(y=1 ）?p（=）=+=；所以,這輛車(chē)共遇到個(gè)紅燈的概率為.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題,是中檔題 .17. （1分)如圖,在三棱錐 pbc中,p底面 abc，c 點(diǎn) d,e ，第14頁(yè)（共 20頁(yè)）n 分別為棱 p,pc,b 的中點(diǎn) ,m 是線段 ad的中點(diǎn) ,pa=a =4，a2（）求證 :mn平面 bde;（)

17、求二面角 n 的正弦值 ;()已知點(diǎn) h 在棱 pa上，且直線 nh 與直線所成角的余弦值為,求線段ah 的長(zhǎng).【分析】 （)取 ab中點(diǎn) f，連接 mf、nf, 由已知可證 mf平面 be,平面bde 得到平面 fn平面 be,則n平面 b;(）由 pa 底面 ac,ac=90 .可以為原點(diǎn) ,分別以 ab、ac、p所在直線為、 y、軸建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面 me與平面 cm的一個(gè)法向量 ,由兩法向量所成角的余弦值得二面角c 的余弦值 ,進(jìn)一步求得正弦值；（)設(shè) aht，則 h(0，0,）,求出的坐標(biāo) ,結(jié)合直線 h與直線 be所成角的余弦值為列式求得線段 ah的長(zhǎng)【解答】 (）證明：

18、取中點(diǎn)f, 連接 m、 f，m 為 ad中點(diǎn),mf,d? 平面 d，m?平面 bde ，f平面 bde.n 為c中點(diǎn),nfac,又 d、分別為 ap 、pc的中點(diǎn)， de ，則 fde.de ? 平面 bde ，nf?平面 bde ，nf平面 de.又 mnf=f 平面 mfn平面 de,則 m平面 de；()解:a底面 abc, bac 90 .以 a 為原點(diǎn)，分別以 b、ac 、p所在直線為、 y、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系第得頁(yè)（共 20頁(yè)）p c=，ab2,a(0,0,0）,b(2，0，)，c（0，4，0）,m（0，0,1）,n（， 2,0）,e（0,2,2),則，,設(shè)平面 men的一個(gè)

19、法向量為,由,得,取 z=2,得.由圖可得平面 me 的一個(gè)法向量為.cs=.二面角 cemn 的余弦值為，則正弦值為；(）解：設(shè) ah=，則 h(0， ),.直線 nh與直線 b所成角的余弦值為, os=| =|=.解得:t=4當(dāng) h 與 p 重合時(shí)直線 nh 與直線 be所成角的余弦值為，此時(shí)線段 ah 的長(zhǎng)為 4.【點(diǎn)評(píng)】 本題考查直線與平面平行的判定，考查了利用空間向量求解空間角,考查計(jì)算能力 ,是中檔題 .18 （13 分)已知 n為等差數(shù)列 ,前 n 項(xiàng)和為n(n+）,n 是首項(xiàng)為的第16頁(yè)（共 20頁(yè)）等比數(shù)列 ,且公比大于 ,2b312,b3a42a1,s11=1()求an和

20、bn 的通項(xiàng)公式 ;（）求數(shù)列 a2nb2n1的前 n 項(xiàng)和（ nn+)【分析】 （）設(shè)出公差與公比，利用已知條件求出公差與公比,然后求解 a和 n的通項(xiàng)公式 ;()化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式 ,利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可.【解答】 解：(i）設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為 ,等比數(shù)列 n的公比為 q.由已知2+3=2，得 b（+q2）=1，而 b1=2,所以 +q2=.又因?yàn)?q,解得 q=.所以,bn=n.由 b3=42a,可得 3a1=8.由 s111b，可得 a1+5d16，聯(lián)立 ,解得 a1=1，d=3，由此可得 a3n2.所以,數(shù)列 的通項(xiàng)公式為n=32,數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式為 bn=2.

21、（ii)設(shè)數(shù)列 ab2n1的前項(xiàng)和為 tn,由 a2n=6n2,bn1=4n，有2bn1=（3n1)4,故 t=2+542+843 +（3n1）n，4tn=242+53+4+ +（n)n+1，上述兩式相減 ,得3tn=24+3423+ 34n（3n1）4n+1=（ 32）4n+8得 t=所以,數(shù)列 anb2n1的前 n 項(xiàng)和為【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列求和的方法，考查計(jì)算能力.19 （14 分)設(shè)橢圓+=1 （ b0)的左焦點(diǎn)為 f，右頂點(diǎn)為 a，離心率為.第17頁(yè)（共 20頁(yè)）已知 a 是拋物線 y22px（p)的焦點(diǎn)， f到拋物線的準(zhǔn)線 l 的距離為.(i）求橢圓的方

22、程和拋物線的方程;(ii)設(shè) l 上兩點(diǎn) ,q 關(guān)于 x 軸對(duì)稱，直線 ap與橢圓相交于點(diǎn) b(b異于 a),直線 q與 x 軸相交于點(diǎn) .若 p的面積為,求直線 ap的方程 .【分析】 ()根據(jù)橢圓和拋物線的定義、性質(zhì)列方程組求出a,b,即可得出方程;(ii）設(shè) ap方程為 =y+1,聯(lián)立方程組得出 b， q 三點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出直線q 的方程 ,解出 d 點(diǎn)坐標(biāo) ,根據(jù)三角形的面積列方程解出m 即可得出【解答】 (）解:設(shè) f的坐標(biāo)為 (c,)依題意可得,解得 =1，c=,p2,于是 b22c2=.所以,橢圓的方程為 x2+=1，拋物線的方程為y=x.()解:直線 l 的方程為 x=1,設(shè)直

23、線 ap的方程為 xmy1（m),解得點(diǎn) p(1,）,故 q(1,） ,消去 ,整理得（ 3m+）y2+6my=0,解得 y=0,或=b(,)直線 bq的方程為（）(+)（)()=0，令=0，解得 x，故 d(，0）. | =1又 ad的面積為,=,整理得 m2| m|+ 2=0,解得| | =，m.直線 p 的方程為 3+ =0,或 3y=2 （4 分)設(shè) az,已知定義在 r上的函數(shù) f(x)2x4+3x3x6x+在區(qū)間(1，2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn) x0，（ x）為 f(x）的導(dǎo)函數(shù)第18頁(yè)（共 20頁(yè)）（）求 g（）的單調(diào)區(qū)間；()設(shè) m 1，0)（0,2 ,函數(shù) h（)=g（） (mx0)f（m)，求證 :h(m)h（x0）0;（)求