2021-2021學年福建省泉州市九年級(上)期末數(shù)學試卷解析版

1、2021-2021學年福建省泉州市九年級上期末數(shù)學試卷、選擇題：此題共 10小題，每題 4分，共40分.1 . 4分2021秋？泉州期末以下各數(shù)中，能使.x=5有意義的是A . 0B . 2C . 4D . 62. 4分2004?佛山以下二次根式中，與2是同類二次根式的是A .8B .10C . A2D .273. 4分2021秋?泉州期末假設(shè)那么ab的值為)a3C . 一52D .35 - 34. 4分2021秋？泉州期末用配方法解方程2x -6x，1=0，以下配方正確的選項是 2 2A. (x 3) =8B. (x -3) =82C. (x 3) =92D. (x3) =95. 4分202

2、1?大渡口區(qū)模擬以下事件為不可能事件的是A 擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，擲得的點數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)B 從一副撲克牌中任意抽出一張，花色是黑桃C .拋一枚普通的硬幣，正面朝上D .從裝滿紅球的袋子中摸出一個白球6. 4分2021?河池一模假設(shè)三角形的各邊長分別是8cm、10cm和16cm，那么以各邊中點為頂點的三角形的周長為A . 34cmB. 30cmC. 29cmD . 17cm3個女生組成的學習小組中，隨機選出7. 4分2021秋？泉州期末從一個由4個男生、1人擔任小組長，那么選出“男生為小組長的概率是A.-4B . 12C .37D .-78 . ( 4 分)2021秋?泉州期末某斜坡的

3、坡度i =1:彳，那么該斜坡的坡角為A . 75°B. 60°C .45D . 309 . 4分2021秋？泉州期末如圖，在 ABC中，點G為 ABC的重心，過點G作DE/BC ,分別交AB、AC于點D、E U ADE與四邊形DBCE的面積比為C.-10. 4分2021秋？泉州期末假設(shè)關(guān)于2x的一元二次方程 ax bx c = 0ac嚴0有一根為 2x =2021，那么關(guān)于y的一元二次方程cy by *=0心“0必有一根為1 A .019B .-丄2021C. 2021D. -2021二、填空題：此題共 6小題，每題4分，共24分.11. 4分2021秋？泉州期末計算：乜2

4、二2212. 4分2005?大連方程x -3x=0的解是.13. 4 分2021?興慶區(qū)校級一模 如圖， RtABC 中，.C =90 , BC =3 , AC =4 ,那么 sin A =14. 4分2021秋？泉州期末如圖，直線I1/I2/I3，直線AC分別交h、I2、I3于點A、B、C，直線 DF 交于 h、I2、I3點 D、E、F , AB =3 , BC =5 , DE =2，貝U EF 二15. 4分2021秋?泉州期末我國古代數(shù)學著作 ?九章算術(shù)?中有題如下：“今有勾五步， 股十二步，問勾中容方幾何？其大意譯為：如圖，在Rt ：ABC中，.ACB=90 , BC = 5 ,AC

5、=12，四邊形CDEF是Rt ABC的內(nèi)接正方形，點 D、E、F分別在邊BC、AB、AC上，那么正方形 CDEF邊長為.16. 4分2021秋？泉州期末假設(shè)在 厶ABC內(nèi)有一點D，使得.ADB = . ADC , AD二a ,CD二b，那么當BD = 時，JABD與.ACD相似.三、解答題：此題共 9小題，共86分.17. 8 分2021 秋？泉州期末計算： 62 - -24 2cos30 .18. 8分2021秋?泉州期末小玲為畢業(yè)聯(lián)歡會設(shè)計了一個"配橙色的游戲，使用的是如下圖兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的假設(shè)干個扇形，不同扇形分別填涂顏色，分界線可忽略，游戲者同

6、時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，兩個轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，假設(shè)有一個轉(zhuǎn)盤的指針指向紅色，另一個轉(zhuǎn)盤的指針指向黃色，那么“配橙色游戲成功，游戲者獲勝.求游戲者獲勝的概率.用列表法或畫樹狀圖說明轉(zhuǎn)盤119. 8分2021秋？泉州期末如圖，在8 8的網(wǎng)格圖中，厶ABC三個頂點坐標分別為 A0,2、B-1,0、C2, -1.1 以O(shè)為位似中心，將.ABC放大為 A BC，使得 A BC 與ABC的位似比為2:1 ,請在網(wǎng)格圖中畫出 ABC ;2直接寫出1中點A > B C 的坐標.20. 8分2021秋？泉州期末如圖，一架遙控無人機在點A處測得某高樓頂點 B的仰角為60 ,同時測得其底部點 C的俯角為30，點A與點B

7、的距離為60米，求這棟樓高BC 的長.21. 8分2021秋？泉州期末某鋼鐵廠第一個月生產(chǎn)鋼鐵100萬噸，從第二個月起改良技術(shù)增大產(chǎn)量，第三個月生產(chǎn)鋼鐵132萬噸，假設(shè)鋼鐵產(chǎn)量第三個月增長率是第二個月增長率的2倍，求第二個月鋼鐵產(chǎn)量的增長率.22. 10分2021秋?泉州期末求證：相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.請根據(jù)題意 畫出圖形，寫出，求證并證明23. 10分2021秋？泉州期末x、x2是關(guān)于x的一元二次方程 x23xk-3=：0的 兩個實數(shù)根.1 求k的取值范圍；2假設(shè) x12 2x1 x2，k=3，試求 k 的值.324. 13分2021秋？泉州期末如圖，直線y x b與x軸、y軸分別

8、交于點B、A ,4點P是y軸上一動點， PQ _ AB于點Q，點A的坐標為0,3.I求直線AB的解析式；AQ 4U假設(shè)，求點P的坐標；AB 5川當P在y軸負半軸時，連接 BP、OQ，分別取BP、OQ的中點E、F ,連接EF交PQ 于點 G，當 OQ /BP 時，求證：PB2 =2PGUPQ .25. 13分2021秋？泉州期末如圖，在正方形ABCD中，AB =4，點P、Q分別是AD、AC邊上的動點.(1) 填空：AC 二(2) 假設(shè)AP =3PD，且點A關(guān)于PQ的對稱點 A落在CD邊上，求tan. AQC的值；(用含a的代數(shù)式表示)(3 )設(shè)AP =a，直線PQ交直線BC于點T，求.APQ與.

9、CTQ面積之和S的最小值.2021-2021學年福建省泉州市九年級上期末數(shù)學試卷參考答案與試題解析-、選擇題：此題共 10小題，每題 4分，共40分.【考點】72:二次根式有意義的條件【專題】514:二次根式【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式即可.【解答】解：假設(shè) 口 有意義，那么x-50.所以x-5 ,應(yīng)選：D .【點評】此題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵.【考點】77:同類二次根式【分析】根據(jù)同類二次根式的意義，將選項中的根式化簡，找到被開方數(shù)為2者即可.【解答】解：A、 =2 2與2被開方數(shù)相同，是同類二次根式；b、.10

10、與被開方數(shù)不同，不是同類二次根式；C、12.3與2被開方數(shù)不同，不是同類二次根式；D、27 =3.3與、2被開方數(shù)不同，不是同類二次根式.應(yīng)選：A.【點評】要判斷幾個根式是不是同類二次根式，須先化簡根號里面的數(shù)， 把非最簡二次根式化成最簡二次根式，然后判斷.【考點】S1 :比例的性質(zhì)【專題】513：分式 【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進行解答.I解答】解：由就，設(shè)“，扌巴a =5x,b =3x代入-_ 5x 3x 25x 5應(yīng)選：B .【點評】此題考查比例的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)比例的性質(zhì)解答.【考點】A6 :解一元二次方程一配方法【專題】523: 元二次方程及應(yīng)用【分析】把常數(shù)項移到方程右側(cè)，再把方程兩邊

11、加上9,然后把方程左邊寫成完全平方的形式即可.【解答】解：x2_6x=-1 ,2x6x 9=8,2(x-3) =8 .應(yīng)選：B .【點評】此題考查了解一元二次方程配方法：將一元二次方程配成(x m)2 = n的形式,再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.【考點】X1:隨機事件【專題】541 :數(shù)據(jù)的收集與整理【分析】根據(jù)必然事件，不可能事件，隨機事件的定義對各小題分析判斷即可得解.【解答】 解：A、擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，擲得的點數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，是必然 事件，錯誤；B、從一副撲克牌中任意抽出一張，花色是黑桃，是隨機事件，錯誤；C、拋一枚普通的硬幣，正面朝上，是隨機事

12、件，錯誤；D、從裝滿紅球的袋子中摸出一個白球是不可能事件，正確；應(yīng)選：D .【點評】此題考查了隨機事件，解決此題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定 不發(fā)生的事件不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事 件.【考點】KX :三角形中位線定理【專題】552:三角形【分析】根據(jù)三角形中位線定理分別求出DE、EF、DF，根據(jù)三角形的周長公式計算即可.【解答】解：D、E分別為AB、BC的中點,.DE AC =5 ,21 1同理，DF BC =8, FE AB =4 ,2 2DEF 的周長=4 5

13、8 =17(cm),【點評】此題考查的是三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.【考點】X4 :概率公式【專題】65：數(shù)據(jù)分析觀念；543：概率及其應(yīng)用【分析】由一個學習小組有 4個男生、3個女生，現(xiàn)要從這 7名學生中選出一人擔當組長， 直接利用概率公式求解即可求得答案.【解答】解：丁一個學習小組有4個男生、3個女生，共7人，4.選出“男生為小組長的概率是 ，7應(yīng)選：D .【點評】此題考查了概率公式的應(yīng)用. 用到的知識點為：概率二所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.【考點】T9 :解直角三角形的應(yīng)用 -坡度坡角問題【專題】55E :解直角三角形及其應(yīng)用【分析】坡度二坡角的正切

14、值，據(jù)此直接解答.【解答】解：tan =1= 3 ,3-坡角=60 .應(yīng)選：B .【點評】此題主要考查學生對坡度及坡角的理解及掌握，關(guān)鍵是坡度二坡角的正切值解答.【考點】S9 :相似三角形的判定與性質(zhì)；K5 :三角形的重心【專題】552:三角形【分析】連接AG并延長交BC于H ,根據(jù)重心的概念得到 AG =2GH ,根據(jù)平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)計算即可.【解答】解：連接AG并延長交BC于H ,:G為ABC的重心，.AG =2GH ,7 DE / /BC ,AD AG 2 AB 一 AH 一 3 '7 DE / /BC ,.CADE s.'ABC，相似比為-,34ADE與A

15、BC的面積之比為,94ADE與四邊形DBCE的面積比為，5應(yīng)選：C .【點評】此題考查的是三角形的重心的概念、相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍.【考點】A3 :一元二次方程的解【專題】523: 一元二次方程及應(yīng)用【分析】 利用一元二次方程根的定義得到2021 2所以 為方程cy by a =0(ac = 0) 根. 2021應(yīng)選：A.【點評】此題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.二、填空題：此題共 6小題，每題4分，共24分.【考點】75:二次根式的乘除法a 2021b 0

16、，兩邊除以20212得到11 1、 22cb a =0，從而可判斷為方程cy by a =0(ac廠0) 根.202120212021【解答】 解：把x=2021代入方程ax2 bx c =0得20212a 2021b 7=0，1 1所以2 c 一 b a = 0，20212021【分析】 直接利用二次根式的乘法運算法那么求出即可.【解答】解：(U)2=3 .2 4故答案為：3 .4【點評】此題主要考查了二次根式的乘法運算，正確掌握運算法那么是解題關(guān)鍵.【考點】A8 :解一元二次方程一因式分解法【專題】11:計算題【分析】x2_3x有公因式x可以提取，故用因式分解法解較簡便.【解答】 解：原式

17、為 x 3x=0, x(x3)=0, x=0 或 x3=0,石=0 , %=3 .2， 方程 x 3x =0 的解是 X =0, x2 =3 .【點評】此題考查簡單的一元二次方程的解法，在解一元二次方程時應(yīng)當注意要根據(jù)實際情況選擇最適宜快捷的解法.【考點】KQ :勾股定理；T1 :銳角三角函數(shù)的定義【專題】11:計算題【分析】先根據(jù)勾股定理計算出 AB = . BC AC = . 34 =5，然后根據(jù)正弦的定義得到BC 3到 sin AAB 5【解答】 解：C =90 , BC =3 , AC =4 ,.AB = BC2 AC2 二 3242 =5 ,.A BC 3.sin A AB 5故答案

18、為3.5【點評】此題考查了正弦的定義：在直角三角形中，一銳角的正弦等于這個角的對邊與斜邊的比值也考查了勾股定理.【考點】S4 :平行線分線段成比例【專題】55D :圖形的相似【分析】直線 U/I2/I3，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得到一個含有 EF與線段的比例式，從而可求得EF的長.【解答】解：Tl! /I2 /I3 ,AB DE . . r ?BC EF:AB =3 , BC =5 , DE =2 ,10故答案為10T【點評】此題考查的是平行線分線段成比例定理,線段成比例是解題的關(guān)鍵.掌握三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)【考點】10 :數(shù)學常識；SA:相似三角形的應(yīng)用；LE:正方形的性質(zhì)

19、【專題】55D :圖形的相似【分析】設(shè) EF由 CAFEs ACB，可得 EFBCAFAC，由此構(gòu)建方程即可解決問題【解答】解：丁四邊形EFCD是正方形，.EF / /CD， EF 二 FC 二CD 二 DE，設(shè) EF 二 x .：AFEs，ACB ,EF AF' BC ACx 12 x5 一 1260故答案為6017【點評】此題考查相似三角形的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù),構(gòu)建方程解決問題，屬于中考常考題型.【考點】S8 :相似三角形的判定【專題】55D :圖形的相似【分析】分兩種情形分別求解即可.【解答】解：如圖，；.ADB 二/ADC ,當 BAD 二 DA

20、C 時，；AD =AD ,.：ADB = ADC (ASA),BD CD b , 當.BAD = . ACD 時,.：ADBs . CDA ,AD BDCD AD，2aBD »b故答案為b或b【點評】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型.三、解答題：此題共 9小題，共86分.【考點】79:二次根式的混合運算；T5 :特殊角的三角函數(shù)值【專題】514:二次根式【分析】根據(jù)二次根式的乘除法那么和特殊角的三角函數(shù)值進行計算.【解答】解：原式 門- 242乎= 2.3-33=2 .3 .【點評】此題考查了二次根式的混合運算：先把各二次根式

21、化簡為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈 活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.【考點】X4 :概率公式；X6 :列表法與樹狀圖法【專題】543:概率及其應(yīng)用【分析】依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率.【解答】解：用表格來說明紅色黃色紅1紅1,紅紅1,黃紅2紅2,紅紅2,黃黃色黃，紅黃，黃由表知共有6種等可能結(jié)果，其中能“配橙色的有3種結(jié)果,3 1所以游戲者獲勝的概率為 -.6 2【點評】此題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺

22、漏地列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件用到的知識點為：概率二所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.【考點】SD:作圖一位似變換【專題】558:平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；24:網(wǎng)格型；13:作圖題【分析】1根據(jù)位似變換的定義和性質(zhì)作出點A, B , C的對應(yīng)點，再首尾順次連接即可得；2 點A的坐標為0,4、B的坐標為20、C 的坐標為4, -2.【點評】此題主要考查了作圖-位似變換，根據(jù)位似變換的定義和性質(zhì)得出對應(yīng)點位置是解 題關(guān)鍵.【考點】TA :解直角三角形的應(yīng)用 -仰角俯角問題【專題】554:等腰三角形與直角三角形【分析】根據(jù)解直角三角形的知識進行解答即可.【解答】解：由條件得： ABC =30 ,ZB

23、AC =6030 =90 ,AB 在 Rt ABC 中，cos ABC =一BCABAB 60 l /、i/、.BC40.3 (米),cosABC cos30 * 寸3T答：這棟樓高BC的長為40 3米.【點評】此題考查仰角俯角的定義，要求學生能借助仰角俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形，難度一般.【考點】AD : 一元二次方程的應(yīng)用【專題】34：方程思想；523： 一元二次方程及應(yīng)用【分析】設(shè)第二個月鋼鐵產(chǎn)量的增長率為x，那么第三個月的增長率為2x，根據(jù)該鋼鐵廠月份及三月份的產(chǎn)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.【解答】解：設(shè)第二個月鋼鐵產(chǎn)量的增長率為x，那么第三個月的

24、增長率為 2x ,根據(jù)題意得：100(1x)(12x) =132 ,整理得：50x2 75x -8 =0 ,解得：x =0.1 =10% , x -1.6 (舍去).答：第二個月鋼鐵產(chǎn)量的增長率為10% .【點評】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.【考點】S7 :相似三角形的性質(zhì)【專題】1:常規(guī)題型【分析】先根據(jù)題意畫出圖形，寫出，求證，再證明即可.【解答】 ：ABCs ABC ，相似比為k , AD是 ABC的高，AD是厶ABC的 高，求證：-AD 二 k ,adt；ABC s ABC ,zb zb；7AD 是 ABC 的高，A D 是 A B C

25、 的高，.ADB =/AD B： =90 ,.ABDs ABD ,AD AB ,kaD ab - 【點評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，能熟練地運用定理進行推理是解此題的關(guān)鍵.【考點】AA :根的判別式； AB :根與系數(shù)的關(guān)系【專題】11：計算題；523: 元二次方程及應(yīng)用【分析】(1)因為方程有兩個實數(shù)根，得到由此可求k的取值范圍；(2)由一元二次方程的解的定義得出，xi2 - -3xi - k 3，將它代入xi2 2 X2 k =3，得出洛=X2；那么 =3 -4(k-3)=0,即可求出k的值.【解答】解：(1)：關(guān)于x的一元二次方程x2 3x k -0有兩個實數(shù)根, =32 -4(

26、k-3)0，解得 k, 21 ,4時，關(guān)于X的一元二次方程42x 3x k -3 =0有兩個實數(shù)根;(2) x是關(guān)于x的一元二次方程x2 3x 0的根，2 2.x1 3x1 k -3 =0 ,即卩為二一3X1 k 3 . X； 2x1 x2 k =3 ,x1 = X2 ；A 2 =3 -4(k -3) =0, 解得k二21 .4【點評】此題考查了根的判別式，一元二次方程ax2 bx 0(-= 0)的根與 =b2 -4ac有如下關(guān)系： 當0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根； 當 =0時，方程有兩個相等的實數(shù)根； 當 ：0時，方程無實數(shù)根.上面的結(jié)論反過來也成立.也考查了-兀二次方程的解的定義.【考點

27、】FI :一次函數(shù)綜合題【專題】537：函數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】(I)根據(jù)待定系數(shù)法得出解析式即可;(n)分兩種情況，禾U用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可；(川)連接QE，OE，禾U用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可.3【解答】解：(I) t直線y =-x b經(jīng)過點A(0,3),43.直線AB的解析式為：y x 3 ;43(n)在 y x 3 中，令 y=o ,可得：x-4 ,4 B(40),由(I)得： A(0,3) , 0A=3，在Rt OAB中，由勾股定理得：AB二韶2 32丄5 ,AQ 4AB訂，_44AQ AB5=4 ,55當點Q在y軸的左側(cè)時，如圖TpQ _ AB , OB 0A ,

28、. PQA - AOB =90 , T - BAO 二 PAQ , .: PAQs . BAO ,aq _ apAO AB4 AP解得:20AP盲，11.點P的坐標為0,盲，當點Q在y軸的右側(cè)時,20同可得：AP-20，3小 2029.OP3 二3 329.點P的坐標為0, ，3綜上所述，點P的坐標為川如圖2,連接QE，OE，在Rt BPQ中,.EQ =-BP，2J/I0圖2 'EQ是Rt BPQ斜邊BP邊上的中線,1同理，EOpBP，.EQ =EO，即 EQO是等腰三角形, '：EF是EQO的中線, .EF _OQ，.QFE =90 ，TOQ / /BP，. GEP QFE

29、=90，:BPQ 二 GPE ,.BPQs . GPE ,PG PEPB PQ， PeLpB =PG_PQ ,"PEPB , 21PBLpB rPG PQ ,2.PB2 =2PGL_PQ .【點評】此題考查了一次函數(shù)的綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點進行解答，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行計算的能力，題目綜合性比擬強，有一定的難度.【考點】LO :四邊形綜合題【專題】153:代數(shù)幾何綜合題；556 :矩形 菱形 正方形；55D :圖形的相似【分析】1由正方形的性質(zhì)可得對角線的長；2由點A與點A關(guān)于PQ對稱知.APQ與厶APQ關(guān)于PQ對稱，

30、再證.PAD = AQC ,由AB=4 , AP =3PD得PD =1 , AP =PA=：3 , AD =2 2，利用正切函數(shù)的定義即可得答案；3過點Q作直線MN _ AD于點M，交BC于點N，貝U MN _ BC，證.：APQ :CTQ得空=如,設(shè)qh那么Q N4 -, CT二弐4耳,繼而知CT QNhS=1 ah - 1|_ah_4 -h,整理得 ah2 -4 a S h 8 a= 0 根據(jù)方程有實數(shù)根得4a，S232a2 ,結(jié)合4a，S0知S4.2-4a ,最后根據(jù)S=42-4a時可得 h =2 2 .【解答】 解：1：四邊形ABCD是正方形，且 AB=4 ,.AB =BC =4，乙B

31、AC ACB =45 ,.AC 二 AB2 BC 4242 =4.2 ,故答案為：4.2 ；(2) 如圖1,:點A與點A關(guān)于PQ對稱，.：APQ與厶APQ關(guān)于PQ對稱，.DAC =/QA P =/QCD =45 , AP =PA ,+. QAD - . QA P . PAD ,.QA D =/QCD . AQC ,.PAD =. AQC ,7 AB =4 , AP =3PD ,.PD =1 , AP =PA' =3 ,在Rt PDA 中，由勾股定理得 AD = 2.2 ,那么 tan . A QC 二tan . PA D 二12.2(3)如圖2,過點Q作直線 MN _ AD于點M，交B

32、C于點N，貝U MN _ BC ,Yap/ct ,.：APQs . CTQ ,AP QMCT - QN，設(shè) QM 二h ,貝U QN =4 -h ,CT 4 h2亠解得CT二叱整理得：ah? _(4a S)h 8a =0, t此關(guān)于h的方程有實數(shù)根,. =(4a S)2 -4|_a_8a0，即(4a S)232a2,.S(4.2-4)a , 當S =(4 2 -4)a時，由方程可得h =2.2，滿足題意;故當h =2 . 2時，APQ和.CTQ面積之和S的最小值為 件2 4)a .【點評】此題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程根的

33、判別式等知識點.考點卡片1數(shù)學常識數(shù)學常識此類問題要結(jié)合實際問題來解決， 生活中的一些數(shù)學常識要了解 比方給出一個物體的高度 要會選擇它適宜的單位長度等等平時要注意多觀察，留意身邊的小知識2二次根式有意義的條件判斷二次根式有意義的條件：(1 )二次根式的概念.形如(a> 0)的式子叫做二次根式.(2) 二次根式中被開方數(shù)的取值范圍二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)(3) 二次根式具有非負性.(a > 0)是一個非負數(shù).學習要求：能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的非負性解決相關(guān)問題.【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件1. 如果一個式

34、子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開 方數(shù)都必須是非負數(shù).2. 如果所給式子中含有分母，那么除了保證被開方數(shù)為非負數(shù)外，還必須保證分母不為零.3. 二次根式的乘除法(1 )積的算術(shù)平方根性質(zhì)：？(a>0, b>0)(2) 二次根式的乘法法那么：？(a>0, b>0)(3) 商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：(a > 0, b> 0)(4) 二次根式的除法法那么：(a>0, b>0)規(guī)律方法總結(jié)：在使用性質(zhì)？ (a>0, b> 0)時一定要注意a> 0, b>0的條件限制，如果 av 0, bv 0,使用

35、該性質(zhì)會使二次根式無意義，如()x ()工-4X- 9;同樣的在使用二次根式的乘法法那么，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運算也是如此.4同類二次根式 同類二次根式的定義：一般地， 把幾個二次根式化為最簡二次根式后， 如果它們的被開方數(shù)相同， 就把這幾個 二次根式叫做同類二次根式合并同類二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變【知識拓展】同類二次根式 把幾個二次根式化為最簡二次根式以后， 如果被開方數(shù)相同， 那么這幾個二次根式叫做同類 二次根式1同類二次根式類似于整式中的同類項2幾個同類二次根式在沒有化簡之前，被開方數(shù)完全可以互不相同3判斷兩個二次根式是否是同類二

36、次根式，首先要把它們化為最簡二次根式，然后再看 被開方數(shù)是否相同5二次根式的混合運算1二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法那么的綜合運用學習二次 根式的混合運算應(yīng)注意以下幾點： 與有理數(shù)的混合運算一致，運算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面 的 在運算中每個根式可以看做是一個 “單項式 “，多個不同類的二次根式的和可以看作 “多 項式“2二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式 3在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當 的解題途徑，往往能事半功倍6.一元二次方程的解1一元二次方程的解根的意義：又因為只含有一個未知能使一元二次方程左右

37、兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根22元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解. 這xi,X2是一元二次方程ax +bx+c=0 a工0的兩實數(shù)根，那么以下兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.22axi +bxi+c= 0 (0), ax2+bx2+c= 0 (0).7解一元二次方程 -配方法2(1) 將一元二次方程配成(x+m) 2= n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二 次方程的方法叫配方法(2) 用配方法解一元二次方程的步驟：2 把原方程化為ax+bx+c= 0 (0)的形式； 方程兩邊

38、同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為 1，并把常數(shù)項移到方程右邊； 方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方； 把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)； 如果右邊是非負數(shù)，就可以進一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個負 數(shù)，那么判定此方程無實數(shù)解8解一元二次方程 -因式分解法(1 )因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法， 這種方法簡便易用， 是解一元二次方程 最常用的方法因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把

39、解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學轉(zhuǎn)化思想)(2) 因式分解法解一元二次方程的一般步驟： 移項，使方程的右邊化為零； 將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積； 令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程； 解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程 的解9根的判別式利用一元二次方程根的判別式(=b2-4ac)判斷方程的根的情況.22一元二次方程 ax +bx+c = 0 (0)的根與= b - 4ac有如下關(guān)系： 當> 0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根； 當= 0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根； 當< 0時，方程無實數(shù)根.上面的結(jié)論反過來也成立10根與系數(shù)的關(guān)系(1 )

40、假設(shè)二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：xi, X2是方程x2+ px+q = 0的兩根時，xi+x2=- p, xix2= q，反過來可得p =-( xi+x2), q = xix2，前者是系數(shù)確定根的相關(guān)冋題，后者是 兩根確定方程中未知系數(shù)(2) 假設(shè)二次項系數(shù)不為 1,那么常用以下關(guān)系：xi, X2是一元二次方程ax2+bx+c= 0 (a工0) 的兩根時，xi + x2, Xix2,反過來也成立，即(xi + x2), X1X2.(3) 常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下冋題： 不解方程,判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根 方程及方程的一個根,求 另一個根及未知數(shù). 不解方程求關(guān)于根的式子的值，如

41、求，x/+x22等等.判斷兩根的符號 求作新方程 由給出的兩根滿足的條件,確定字母的取值這類冋題比擬綜合, 解題時除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時還要考慮az 0，上0這兩個前提條件.11一元二次方程的應(yīng)用1、列方程解決實際冋題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù),列出方程,解所列方程求所列 方程的解,檢驗和作答2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見冋題：(1) 數(shù)字問題：個位數(shù)為 a,十位數(shù)是b，那么這個兩位數(shù)表示為 10b+a.(2) 增長率問題：增長率=增長數(shù)量 /原數(shù)量x 100% .如：假設(shè)原數(shù)是a,每次增長的百分率 為x,那么第一次增長后為 a (1 + x)；第二次增長后為a (1+x) 2,即

42、 原數(shù)x( 1+增長百分率) 2 =后來數(shù).(3) 形積問題： 利用勾股定理列一元二次方程, 求三角形、 矩形的邊長. 利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積,以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程. 利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系, 列比例式, 通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積, 得到一元二次方 程.(4) 運動點問題：物體運動將會沿著一條路線或形成一條痕跡,運行的路線與其他條件會 構(gòu)成直角三角形,可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解.【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣1. 審：理解題意,明確未知量、量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.2. 設(shè)：根據(jù)題意,可以直接設(shè)未知數(shù),也可以間接設(shè)未知數(shù).3.

43、 列：根據(jù)題中的等量關(guān)系,用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量,從而列出方程.4. 解：準確求出方程的解.5. 驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題.6. 答：寫出答案.12一次函數(shù)綜合題1一次函數(shù)與幾何圖形的面積問題 首先要根據(jù)題意畫出草圖，結(jié)合圖形分析其中的幾何圖形，再求出面積2一次函數(shù)的優(yōu)化問題通常一次函數(shù)的最值問題首先由不等式找到 x 的取值范圍， 進而利用一次函數(shù)的增減性在前 面范圍內(nèi)的前提下求出最值3用函數(shù)圖象解決實際問題 從函數(shù)圖象中獲取信息，求出函數(shù)值、函數(shù)表達式，并解答相應(yīng)的問題13三角形的重心1三角形的重心是三角形三邊中線的交點2重心的性質(zhì)： 重心到頂點的距離與重心

44、到對邊中點的距離之比為2： 1 重心和三角形 3 個頂點組成的 3 個三角形面積相等 重心到三角形 3 個頂點距離的和最小 等邊三角形 14勾股定理1勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平 方如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a, b,斜邊長為c,那么a2+=c2.2勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中2 2 23 勾股定理公式a +b = c的變形有：a, b及c.4由于a2+b2 = c2>a2，所以c>a,同理c>b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形 中的每一條直角邊.15. 三角形中位線定理 1三角形中位線定理： 三角形的中位線

45、平行于第三邊,并且等于第三邊的一半. 2 幾何語言：如圖，點D、E分別是AB、AC的中點 DE / BC, DEBC .16. 正方形的性質(zhì)(1) 正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.(2) 正方形的性質(zhì) 正方形的四條邊都相等，四個角都是直角； 正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角； 正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì). 兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形, 有四條對稱軸.17. 四邊形綜合題四邊形綜合題.18. 比例的性質(zhì)(1 )比例的根本性質(zhì)：組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項

46、.兩端的兩項叫做比例的外項，中間的兩項叫做比例的內(nèi)項.(2 )常用的性質(zhì)有： 內(nèi)項之積等于外項之積.假設(shè)，那么ad= be. 合比性質(zhì).假設(shè)，那么. 分比性質(zhì).假設(shè)，那么. 合分比性質(zhì).假設(shè)，那么. 等比性質(zhì).假設(shè)(b+d+n豐0),貝佃.平行線分線段成比例(1) 定理1:三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例.(2) 推論1:如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.(3) 推論2:平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線，所截得

47、的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.20.相似三角形的性質(zhì)相似三角形的定義：如果兩個三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形相 似.(1) 相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.(2) 相似三角形(多邊形)的周長的比等于相似比；相似三角形的對應(yīng)線段(對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高)的比也等于相似比.(3 )相似三角形的面積的比等于相似比的平方.由三角形的面積公式和相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方.21 相似三角形的判定(1)平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；這是判定三角形相似的一種

48、根本方法相似的根本圖形可分別記為“A型和“ X型，女口圖所示在應(yīng)用時要善于從復雜的圖形中抽象出這些根本圖(2 )三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；(3) 兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；(4) 兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.22 相似三角形的判定與性質(zhì)(1) 相似三角形相似多邊形的特殊情形，它沿襲相似多邊形的定義，從對應(yīng)邊的比相等和對應(yīng)角相等兩方面下定義；反過來，兩個三角形相似也有對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.(2) 三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、 公共邊等隱含條件，以充分發(fā)

49、揮根本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)根本圖形對圖形進行分解、 組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形， 判定三角形相似的方法有事可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還是綜合運用，都要具備應(yīng)有的條件方可.23. 相似三角形的應(yīng)用(1)利用影長測量物體的高度.測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和在同一時刻物高與影長的比相等原理解決 測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測 量物的長度 2利用相似測量河的寬度測量距離 測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構(gòu)造“ A型或“ X型相似圖，三點應(yīng)在一條直線上必須保證在一條直線上， 為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形 測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三 角形相似，對應(yīng)邊成比例可求出河的寬度.3借助標桿或直尺測量物體的高度利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的 高長作為三角形的邊， 利用視點和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形， 用相似三角形對應(yīng)邊的 比相等的性質(zhì)求物體的高度.24. 作圖-位似變換1畫位似圖形的一般步驟為： 確定位似中心； 分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點； 根據(jù)位似比，確 定能代表所作的位似圖形的關(guān)鍵點；順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形.借助橡皮筋、 方格紙、 格點