第十八章勾股定理導(dǎo)學(xué)案

1、第十八章 勾股定理 河南省湯陰縣實(shí)驗中學(xué) 梁舜南18.1勾股定理（一）課前準(zhǔn)備：每小組制作四個全等直角三角形引言：直角三角形三邊之間有著怎樣的關(guān)系呢？早在公元前1100年，我國勞動人民就知道了。他們把直角三角形中短的直角邊叫做勾，長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。若勾是三，股是四，則弦就是五。后來人們進(jìn)一步驗證了直角三角形三邊之間的關(guān)系：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方-這就是著名的勾股定理。一、 閱讀課本64頁-65頁的探究，完成下列問題：1、 如圖，等腰直角三角形中，以兩條直角邊為邊長的正方形面積之和與以斜邊為邊長的正方形面積之間有著怎樣的關(guān)系？2、 利用課本圖18.1-2的方格紙求出正方形A

2、.、B、C和正方形A、B、C的面積，并說明求面積的方法。SA=_， SB=_，SC=_。則_+_=_SA=_，SB=_，SC=_.。則_+_=_3、 由以上兩題中的面積關(guān)系，猜想：如果直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么_二、 動手操作：每個小組利用自制的四個全等直角三角形進(jìn)行拼圖驗證你上面的猜想，從而體驗勾股定理的證明方法。三、 運(yùn)用勾股定理計算：1、在RtABC中C=900， a=3,b=4, c=_; a=6,c=7 , b=_; b=40, c=41, a=_ 運(yùn)用勾股定理計算時，一定要說明三角形是直角三角形，同時要說明哪個角是直角。2、如圖，由于受影響，一棵樹在離地4

3、m處斷裂，樹的頂部倒在離根部3m處，這棵樹被折斷前有多高？（提示：在圖中標(biāo)出字母，寫出解題過程。）四、 展示你的能力：1、 在RtABC中，C=900 已知：a=b=5,則c=_ 已知：a=1 c=2 b=_ 已知：c=17 b=8 a=_2、 如圖，在RtABC中，C=600 ，AC=4，求邊BC和邊AB的長。 18.1勾股定理（二）一、閱讀課本66頁-67頁的探究1，思考并回答下列問題：1、木板橫著放或者豎著放，是否能從門框內(nèi)通過？如果不能的話，請你想個辦法設(shè)法設(shè)把木板通過門框。2、交流探究：有一個邊長為50cm的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少需多長？（結(jié)果保留整數(shù)）

4、二、閱讀課本67頁的探究2，思考并完成下列問題。1、在梯子下滑的過程中，梯子長度改變嗎？2、在運(yùn)算過程中，會_次用到勾股定理，可以分別求出_和_.再用_減去_，就可以求出BD的長。3、如圖，一個梯子AB長為2.5m，頂端A靠在墻AC上，這時梯子下端B與墻角C距離1.5m，梯子滑動后停在DE位置上，測得BD長為0.5m，求梯子頂端A下滑了多少米？4、有一個10m長的梯子AB如圖放置，已知BH=8m，在B下方1m的C處有一個釘子，現(xiàn)在梯子突然下滑，幸好被釘子擋住，在HA的延長線上的D處有一個花盆，已知AD=1.1m，問：這次梯子下滑會碰到花盆嗎？為什么？18.1 勾股定理（三）一、利用勾股定理在數(shù)

5、軸上描出表示無理數(shù)的點(diǎn)。自學(xué)課本68頁探究3，完成下列練習(xí)。1、5可以寫成哪兩個正整數(shù)的平方和_以為斜邊的直角三角形，其直角邊長度為正整數(shù)、則直角邊長可以是_2、（1）在數(shù)軸上畫出表示的點(diǎn) （2）在數(shù)軸上做出表示的點(diǎn)3、 你知道表示-和+2的點(diǎn)在哪里嗎？在數(shù)軸上把它們畫出來。二、用勾股定理解決其它非直角三角形中的問題1、如圖，等邊三角形的邊長為6。(1)求高AD的長（結(jié)果保留三位小數(shù)）（2）、求這個三角形的面積（結(jié)果保留1位小數(shù)） 2、已知：如圖在ABC中，AD是BC邊上的高，且AC=,AB=,AD= 求BC的長。3、已知等腰三角形腰長是10，底邊長是16，求這個等腰三角形的面積。（要求畫出圖

6、形，標(biāo)上字母，寫出解題過程）4、圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的，在RtABC中，若直角邊AC=8，BC=6，將四個直角三角形中邊長為8的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，求這個風(fēng)車外圍的周長。18.2勾股定理的逆定理（一）一、根據(jù)三角形三邊的數(shù)量關(guān)系判斷直角三角形閱讀課本73頁-74頁內(nèi)容，完成下列問題。1、由古埃及人畫直角的方法猜想：如果一個三角形的三邊為3、4、5，且32+42=52.那么這個三角形是_三角形。2、因為62+82=102，所以，畫一個以6cm、8cm、10cm為邊長的三角形，用量角器測量一下，看這個三角形是_三角

7、形。3、由上面的動手操作，請猜想：如果三角形的三邊長為a、b、c且滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是_三角形。二、閱讀課本74頁的探究，回答下列問題：1、在A/B/C/中，你能求出A/B/與AB的關(guān)系嗎？從而得出ABC與A/B/C/有什么關(guān)系？C/與C的大小關(guān)系是什么？2、用_可以證明勾股定理的逆命題是正確的？這個定理叫_.即：若三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2,則這個三角形是_三角形（要說清哪個角是直角）三、運(yùn)用勾股定理的逆定理求解。1、判斷由線段a、b、c組成的三角形是不是直角三角形： 、a=15 b=8 c=17 a=13 b=14 c=15 a=15 b=20 c=25

8、 2、在ABC中，AB=13cm,AC=24cm ,中線BD=5cm,求證：ABC是等腰三角形。（畫出圖形，寫出證明過程）3、若ABC的三邊a、b、c滿足條件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。試判斷ABC的形狀。4、如圖，某工廠A前面有一條筆直的公路，原來有兩條路AB、AC可以從工廠A到達(dá)公路，經(jīng)測量AB=6千米，AC=8千米，BC=10千米，現(xiàn)要修建一條公路，使工廠A到公路的距離最短，請你幫工廠設(shè)計一種方案，并求出最短公路的長。18.2 勾股定理的逆定理 （二）一、知道原命題和逆命題的關(guān)系，會寫一個命題的逆命題。1、_叫命題。命題由_和_兩部分組成，_是已知項，_是由已知項推

9、出的事項。2、如果_成立，那么_一定成立的命題叫_；如果_成立時，不能保證_一定成立的命題叫_。3、命題的正確性經(jīng)過推理證實(shí)是_的真命題叫做_.。4、命題有_,有_；_一定是真命題。二、閱讀73頁-74頁課文，完成下列問題。1、若兩個命題的_、_正好相反，則這兩個命題叫做_命題。2、寫出下列命題的逆命題，并說明這些命題的逆命題成立嗎?兩直線平行，內(nèi)錯角相等。如果兩個實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；全等三角形的對應(yīng)角相等； 到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。3、一般地，如果一個定理的_經(jīng)過證明是_，它也是一個定理，稱這兩個定理_.三、用勾股定理的逆定理解決一些簡單的問題：1、一根30米長的細(xì)繩

10、折成3段，圍成一個三角形，其中一條邊的長度比較短邊長7米，比較長邊短1米，請你判斷這個三角形的形狀。2、古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾經(jīng)指出，如果m表示大于1的整數(shù)，a=2m,b=m2-1,c=m2+1，那么a、b、c為勾股數(shù)你認(rèn)為對嗎？為什么?你能利用這個結(jié)論找一些勾股數(shù)嗎？3、在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達(dá)C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西400。問甲巡邏艇的航向？4、如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且EC=BC,求證：AF

11、EF.18.2 勾股定理的逆定理（三）一、會靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解題1、在RtABC中，C=900，a=8,b=15；則C=_在RtABC中，B=900，a=3,b=4；則C=_在RtABC中，C=900，c=10,a：b=3:4 ，則a=_,b=_已知直角三角形的兩邊長分別是3和5，則第三邊的長為_2、 已知x-6+(z-10)2=0，則由x、y、z的長為三邊的三角形是_三角形。、三角形的三邊為3、4、5；則其面積為_.、ABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC邊上的中線AD=12cm,求AC的長。二、加深勾股定理與逆定理之間的關(guān)系1、如圖，在四邊形ABCD中，B=900，AB=1

12、，BC=1，DC=,AD=，試求DCB的大小。2、若ABC的三邊a、b、c滿足a：b：c=1:1：，試判斷ABC的形狀。3、已知，如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC是長方形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為A(10，0),C（0,4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動，求當(dāng)ODP是腰長為5的等腰三角形時，點(diǎn)P的坐標(biāo)。18章 勾股定理全章復(fù)習(xí)一、選選、算算、填填1.下圖陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為 _cm22下列各組線段中，能夠組成直角三角形的是（  ）    A6，7，8    B5，6，7 

13、;   C4，5，6    D3，4，53一個三角形的三邊的比為51213，它的周長為60cm，則它的面積是cm24若等邊ABC的邊長為2cm，那么ABC的面積為（  ）    Acm2    B2 cm2   C3 cm2     D4cm25、直角三角形的兩直角邊分別為5cm，12cm；其中斜邊上的高為（）A6cm B85cm Ccm Dcm6.已知一個RtABC的兩邊長分別為3和4，則第三邊長是_ ；7.在Rt

14、ABC中， a，b，c分別是三條邊，B=90°，已知a=6，b=10，求邊長c談?wù)勀愕膶W(xué)習(xí)收獲二、學(xué)以致用1. 有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線長，已知門寬4尺求竹竿高與門高2. 如圖，臺風(fēng)過后，一希望小學(xué)的旗桿在離地某處斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部8m處，已知旗桿原長16m，你能求出旗桿在離底部什么位置斷裂的嗎？請你試一試8mOBBAA3.如圖所示，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O 的距離為2m，梯子的頂端B到地面的距離為7m現(xiàn)將梯子的底端A向外移動到A,使梯子的底端A到墻根O的距離為3m，同時梯子的頂端B下

15、降到B，那么BB也等于1m嗎?勾股定理檢測題1. ABC的三邊分別為AB=，BC=，AC=（8分）（1）探究這個三角形是不是直角三角形 （2）如果是直角三角形，分析哪個是直角.2.甲、乙兩艘輪船于上午8時同時從A碼頭分別向北偏東23°和北偏西67°的方向出發(fā)，甲輪船的速度為每小時24海里，乙輪船的速度為每小時32海里，則下午1時兩船相距多少海里？（8分）3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P點(diǎn)在第二象限，OP與軸的正半軸的夾角為30°，OP=2.求P點(diǎn)的坐標(biāo).（8分）4、.過直線l外的點(diǎn)A、B作l的垂線，垂足分別為M、N，已知AM+BN=12,MN=5.若一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，爬到直線l上的某點(diǎn)迅速向終點(diǎn)B爬行.求螞蟻爬行的最短距離 .（8分）5、.如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，以AE為折痕使點(diǎn)D落在AC上F處，求DE的長.（10分）6、.在等邊ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，已知PA=3，PB=4，PC=5.現(xiàn)將APB繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)60°，使P點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn)，連PQ，猜想PQC的形狀，并論證你的猜想(10分).7如圖，ABC中，C90º，AD是角平分線，CD1.5，BD2.5求AC的長（10分）（第7題）8今有一個水面邊長為10尺的正方形水池，在正中央有一