勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全

1、勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全一基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：1：勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2c2）要點(diǎn)詮釋：勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，則，）（2）已知直角三角形的一邊及另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題2：勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一

2、定理時(shí)應(yīng)注意：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；（2）驗(yàn)證c2及a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2a2+b2，則ABC是以C為直角的直角三角形（若c2>a2+b2，則ABC是以C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2，則ABC為銳角三角形）。（定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）3：勾股定理及勾股定理逆定理的區(qū)別及聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理及其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都及直角三角形有關(guān)。4：互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另

3、一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。5：勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見(jiàn)方法如下：方法一：，化簡(jiǎn)可證方法二：四個(gè)直角三角形的面積及小正方形面積的和等于大正方形的面積四個(gè)直角三角形的面積及小正方形面積的和為大正方形面積為所以方法三：，化簡(jiǎn)得證6：勾股數(shù)能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時(shí)，稱，為一組勾股數(shù)記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高

4、解題速度，如；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）二、規(guī)律方法指導(dǎo)1勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積及代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的主要錯(cuò)誤。4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c有下列關(guān)系：a2+b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法5.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過(guò)程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)學(xué)習(xí)

5、加深對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理及勾股定理逆定理）勾股定理典型例題及專項(xiàng)訓(xùn)練專題一：直接考查勾股定理及逆定理例.在中，已知，求的長(zhǎng) 已知，求的長(zhǎng)分析：練習(xí)：1、如圖所示，在四邊形ABCD中，BAD=，DBC=，AD=3，AB=4，BC=12，求CD。2已知等腰三角形腰長(zhǎng)是10，底邊長(zhǎng)是16，求這個(gè)等腰三角形的面積。3、已知：如圖，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。例2：已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和12，求第三邊。練習(xí)：在ABC

6、中，AB=13，AC=15，高AD=12，則BC的長(zhǎng)為多少？例3：（1）.已知ABC的三邊、滿足，則ABC為三角形（2）.在ABC中，若=（+）（-），則ABC是三角形，且練習(xí)：1、已知 及互為相反數(shù)，試判斷以、為三邊的三角形的形狀。2、.若ABC的三邊、滿足條件，試判斷ABC的形狀。3.已知?jiǎng)t以、為邊的三角形是例4：已知如圖，在ABC中，C=60°，AB=，AC=4，AD是BC邊上的高，求BC的長(zhǎng)。如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于D，設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求證：（1）（2）（3）以為三邊的三角形是直角三角形經(jīng)典圖形突破：練習(xí)1.如圖，A

7、BC中，AB=AC，A=45º，AC的垂直平分線分別交AB、AC于D、E，若CD=1，則BD等于(    )A1                         B              

8、0;     C                    D2.已知一直角三角形的斜邊長(zhǎng)是2，周長(zhǎng)是2+，求這個(gè)三角形的面積3.ABC中，D是AB的中點(diǎn)，若AC=12，BC=5，CD=65 求證：ABC是直角三角形4.如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且EC=BC，猜想AF及EF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由5.如圖，,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積6.如

9、圖2-10，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點(diǎn)，且ADAC，求BD的長(zhǎng)7.如圖2-9，ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足PA=3，PB=1，PC=2，求BPC的度數(shù)8.已知ABC中，ACB=90°，AC=3,BC=4,（1）AD平分BAC,交BC于D點(diǎn)。求CD長(zhǎng) （2）BE平分ABC,交AC于E，求CE長(zhǎng)9.如圖，在四邊形ABCD中，A600，BD900，BC2，CD3，求AB的長(zhǎng)10.如圖，P為ABC邊BC上一點(diǎn)，PC2PB，已知ABC450，APC600，求ACB的度數(shù)。11、已知ABC中，BAC750，C600，BC，求A

10、B、AC的長(zhǎng)。12、如圖，ABC中，AD是高，CE是中線，DCBE，DGCE于G。 （1）求證：G是CE的中點(diǎn)； （2）B2BCE。 （3）若AC=6,AB=8，求DG的長(zhǎng)。專題二 勾股定理的證明1、利用四個(gè)全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形，這個(gè)圖形被稱為弦圖從圖中可以看到：大正方形面積小正方形面積四個(gè)直角三角形面積因而c2化簡(jiǎn)后即為c2abc2、如圖，是2019年8月北京第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，由4個(gè)全等的直角三角形拼合而成，若圖中大小正方形的面積分別為52和4，則直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為abcl3、2019年8月2028日在北京召開(kāi)了第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示

11、，它是由四個(gè)相同的直角三角形拼成的（直角邊長(zhǎng)分別為2和3），則大正方形的面積是4、如圖，直線上有三個(gè)正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（）（）4（）6（）16（）55aAADAABCbc第4題圖5、一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法.如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面倒下到的位置，連結(jié)，設(shè)，請(qǐng)利用四邊形的面積證明勾股定理：.6、如圖是2019年8月在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)中的圖案，其中四邊形ABCD和EF都是正方形. 證：ABFDAE7、（2019年遼寧省丹東市）圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，小穎將圖圖第7題圖圖中的陰影部分拼成圖的形狀，由圖和圖能驗(yàn)證的

12、式子是（ ）ABCD專題三 網(wǎng)格中的勾股定理1、如圖1，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是（） （A）CD、EF、GH （B）AB、EF、GH （C）AB、CD、GH （D）AB、CD、EF2、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格上的三角形ABC中，邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是（ ）A 0 B 1 C 2 D 33、（2019年四川省眉山市）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，A、B、C是小正方形的頂點(diǎn)，則ABC的度數(shù)為（ ）A90° B60° C45° D30°4、如圖，小正方形邊長(zhǎng)為1，

13、連接小正方形的三個(gè)得到，可得ABC，則邊AC上的高為（ ）A. B. C. D. 5、如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，請(qǐng)以圖中的格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為3、的三角形所畫(huà)的三角形是直角三角形嗎?說(shuō)明理由6、如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，在圖中畫(huà)出面積為2的三個(gè)形狀不同的三角形（要求頂點(diǎn)在交點(diǎn)處，其中至少有一個(gè)鈍角三角形）專題四 實(shí)際應(yīng)用建模測(cè)長(zhǎng)1、如圖（8），水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.2、有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何

14、東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開(kāi)？3、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時(shí)的速度沿北偏東30º方向往C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或走過(guò)四級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響.（1）該城市是否會(huì)受到這交臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多少？（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)

15、力為幾級(jí)？專題五 梯子問(wèn)題1、如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？AABABOA第20題圖2、一架方梯長(zhǎng)25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？ 3、如圖，梯子AB斜靠在墻面上，ACBC，AC=BC，當(dāng)梯子的頂端A沿AC方向下滑x米時(shí)，梯足B沿CB方向滑動(dòng)y米，則x及y的大小關(guān)系是（ ）A. B. C. D. 不能確定專題六 最短路線1、如圖，學(xué)校教學(xué)樓旁有一塊矩形花鋪，有極少數(shù)同學(xué)為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”他們僅僅少走了（

16、）步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草A、6B、5C、4D、32、如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20，高AB為10，BC是上底面的直徑。一螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程。3、如圖，有一個(gè)圓柱體，底面周長(zhǎng)為20，高AB為10，在圓柱的下底面A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想繞圓柱體側(cè)面一周爬行到它的頂端C點(diǎn)處，那么它所行走的路程是多少？AC4、如圖，假如這是一個(gè)圓柱體的玻璃杯， AD是杯底直徑，C是杯口一點(diǎn)，其他已知條件不變，螞蟻從外部點(diǎn)A處爬到杯子的內(nèi)壁到達(dá)高CD的中點(diǎn)E處，最短該走多遠(yuǎn)呢？(杯子的厚度不計(jì)）5、為籌備迎新生晚會(huì)，同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏

17、繞紅色油紙，如圖，已知圓筒高108cm，其圓筒底面周長(zhǎng)為36cm，如果在表面纏繞油紙4圈，應(yīng)裁剪多長(zhǎng)油紙？BA6、如圖，一只螞蟻從一個(gè)棱長(zhǎng)為1米，且封閉的正方體盒子外部的頂點(diǎn)A向頂點(diǎn)B爬行，問(wèn)這只螞蟻爬行的最短路程為多少米？7、（2019淄博）如圖是一塊長(zhǎng)，寬，高分別是6cm，4cm和3cm的長(zhǎng)方體木塊一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是（）A、（3+2）cmB、cmC、cmD、cm8、如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm，寬為10cm，高 為20cm，點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為5cm，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到B

18、點(diǎn)，需要爬行的最短距離是多少？BCA2015109、如圖為一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？10、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為2m、0.3m、0.2m，A和B是臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，問(wèn)螞蟻沿著臺(tái)階爬行到B點(diǎn)的最短路程是多少？AB030.22.11、(2019福建泉州市惠安縣)如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm 和3cm，高為6cm如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要_cm；如

19、果從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞3圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要_cm專題七 折疊三角形1、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6，BC=8?，F(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且及AE重合，求CD的長(zhǎng) 2、如圖，小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片，使A及B重合，折痕為DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的長(zhǎng)嗎？3、三角形ABC是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，將AB向AC方向?qū)φ?，再將CD折疊到CA邊上，折痕CE，求三角形ACE的面積4、如圖, ABC的三邊BC=3，AC=4、AB=5,把ABC沿最長(zhǎng)邊AB翻折后得到ABC，則CC的長(zhǎng)等于（ ）A.

20、B. C. D.專題八 折疊四邊形1、折疊矩形ABCD的一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處,已知AB=8CM,BC=10CM,求（1）CF的長(zhǎng) （2）EC的長(zhǎng).2、在矩形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按圖所示方式折疊，使點(diǎn)B及點(diǎn)D重合，折痕為EF，求（1）DE的長(zhǎng)；（2）EF的長(zhǎng)。3.(2019福建泉州市惠安縣)矩形紙片ABCD的邊長(zhǎng)AB=4，AD=2將矩形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A及點(diǎn)C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為_(kāi).ABCDEG第16題圖F4、如圖2-3，把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在C的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分EBD的面積

21、為_(kāi)5、如圖5，將正方形ABCD折疊，使頂點(diǎn)A及CD邊上的點(diǎn)M重合，折痕交AD于E，交BC于F，邊AB折疊后及BC邊交于點(diǎn)G。如果M為CD邊的中點(diǎn)，且DE=6，求正方形ABCD的面積6、矩形ABCD中，AB=6，BC=8，先把它對(duì)折，折痕為EF，展開(kāi)后再沿BG折疊，使A落在EF上的A1，求第二次折痕BG的長(zhǎng)。7、如圖，把矩形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處。（1）求證：；（2）設(shè)，試猜想之間的一種關(guān)系，并給予證明8、如圖，B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6（1） ACD是什么三角形？為什么？（2） 把ACD沿直線AC向下翻折，CD交AB于點(diǎn)E，若重疊部分面積為4

22、，求D'E的長(zhǎng)。9、邊長(zhǎng)為8和4的矩形OABC的兩邊分別在直角坐標(biāo)系的x軸和y軸上，若沿對(duì)角線AC折疊后，點(diǎn)B落在第四象限B1處，設(shè)B1C交x軸于點(diǎn)D，求（1）三角形ADC的面積，（2）點(diǎn)B1的坐標(biāo)，（3）AB1所在的直線解析式.10、（2019年廣東省廣州市）如圖所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（及端點(diǎn)B、C不重合），過(guò)點(diǎn)D作直線交折線OAB于點(diǎn)E（1）記ODE的面積為S，求S及的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形OA1B1C1，試探究OA1B1C1及矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.CDBAEO專題九旋轉(zhuǎn)問(wèn)題：1、如圖，ABC是直角三角形，BC是斜邊，將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能及ACP重合，若AP=3，求PP的長(zhǎng)。2、如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=,PC=4,求ABC的邊長(zhǎng).3、如圖，ABC為等腰直角三角形，BAC=90