高二數(shù)學(xué)期末考試

1、2016 學(xué)年第二學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末考試一、填空題 ( 本大題滿分 54 分)本大題共有 12 題，其中第 1 題至第 6 題每小題 4 分，第 7 題至第 12 題每小題 5 分，考生應(yīng)在答題紙上相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，否則一律得零分1. 的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為 _【答案】【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為，故答案為10.2. 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且方向向量為，則原點(diǎn)到直線的距離為_(kāi).【答案】1 【解析】直線的方向向量為，所以直線的斜率為，直線方程為，由點(diǎn)到直線的距離可知，故答案為1.3. 已知全集，集合, 若，則實(shí)數(shù)的值為 _.【答案】 2 【解析】試題分析：由題意

2、，則，由得，解得考點(diǎn)：集合的運(yùn)算4. 若變量滿足約束條件則的最小值為 _.【答案】【解析】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，化目標(biāo)函數(shù)，得， 由圖可知， 當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在y軸上的截距最小，有最小值為，故答案為. 點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題 .求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”： （ 1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）； （2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）； （3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.5. 直線上與點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是_.【答案】或. 【解析

3、】解：因?yàn)橹本€上與點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是和6. 某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過(guò)2 個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是 ，則這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個(gè)路口時(shí)第一次遇到紅燈的概率是_.【答案】【解析】設(shè)“這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個(gè)路口首次遇到紅燈”為事件，則所求概率為，故答案為.7. 某學(xué)校隨機(jī)抽取名學(xué)生調(diào)查其上學(xué)所需時(shí)間（單位： 分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學(xué)所需時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，則該校學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間的均值估計(jì)為_(kāi) （精確到分鐘） . 【答案】 34. . 點(diǎn)睛：本題考查頻率分布直方圖，解題的關(guān)鍵是理解直方圖中各個(gè)小矩形的面積

4、的意義及各個(gè)小矩形的面積和為 1，本題考查了識(shí)圖的能力；根據(jù)直方圖求平均值的公式，各個(gè)小矩形的面積乘以相應(yīng)組距的中點(diǎn)的值，將它們相加即可得到平均值.8. 一個(gè)口袋內(nèi)有4 個(gè)不同的紅球，6 個(gè)不同的白球，若取一個(gè)紅球記2 分，取一個(gè)白球記1 分，從中任取 5 個(gè)球，使總分不少于7 分的取法有多少種_.【答案】 186 【解析】試題分析：設(shè)取紅球個(gè)，白球個(gè)，則考點(diǎn)：古典概型.9. 如圖，三棱錐滿足：，則該三棱錐的體積v的取值范圍是 _【答案】【解析】由于平面，在中，要使面積最大，只需，的最大值為，的最大值為，該三棱錐的體積v的取值范圍是.10. 是雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值等

5、于_.【答案】 9 【解析】試題分析：兩個(gè)圓心正好是雙曲線的焦點(diǎn)，再根據(jù)雙曲線的定義得的最大值為. 考點(diǎn)：雙曲線的定義，距離的最值問(wèn)題.11. 棱長(zhǎng)為 1 的正方體及其內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，集合, 則集合構(gòu)成的幾何體表面積為_(kāi).【答案】【解析】試題分析：. 考點(diǎn)：幾何體的表面積.12. 在直角坐標(biāo)平面中，已知兩定點(diǎn)與位于動(dòng)直線的同側(cè)，設(shè)集合點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離之差等于， 記,.則由中的所有點(diǎn)所組成的圖形的面積是_.【答案】【解析】過(guò)與分別作直線的垂線，垂足分別為，則由題意值，即，三角形為正三角形，邊長(zhǎng)為，正三角形的高為，且， 集合對(duì)應(yīng)的軌跡為線段的上方部分，對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)榘霃綖?的單位圓內(nèi)部，根據(jù)的定義可知

6、，中的所有點(diǎn)所組成的圖形為圖形陰影部分陰影部分的面積為，故答案為.二、選擇題 (本大題滿分 20 分) 本大題共有 4 題，每題只有一個(gè)正確答案. 考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5 分，否則一律得零分13. 已知為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的虛部為（）a. 2b. 0c. -2d. -2【答案】 c 【解析】復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，化為，解得，的虛部為，故選 c.14. 已知條件：“直線在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等”，條件：“直線的斜率等于”，則是的（）a. 充分非必要條件b. 必要非充分條件c. 充要條件d. 既非充分又非必要條件【答案】 b 【解析】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線在兩條坐

7、標(biāo)軸上的截距相等，斜率可以為任意數(shù)，故不成立；當(dāng)直線的斜率等于，可設(shè)直線方程為，故其在兩坐標(biāo)軸上的截距均為，故可得成立，則是的必要非充分條件，故選b.15. 如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，已知直三棱柱的頂點(diǎn)在 軸上，平行于軸，側(cè)棱平行于軸當(dāng)頂點(diǎn)在軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下關(guān)于此直三棱柱三視圖的表述正確的是（）a. 該三棱柱主視圖的投影不發(fā)生變化；b. 該三棱柱左視圖的投影不發(fā)生變化；c. 該三棱柱俯視圖的投影不發(fā)生變化；d. 該三棱柱三個(gè)視圖的投影都不發(fā)生變化【答案】 b 【解析】 a、該三棱柱主視圖的長(zhǎng)度是或者在軸上的投影， 隨點(diǎn)得運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化，故錯(cuò)誤； b、設(shè)是 z 軸上一點(diǎn)，且，則該三棱柱左視圖

8、就是矩形，圖形不變故正確；c、該三棱柱俯視圖就是，隨點(diǎn)得運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化，故錯(cuò)誤d、與矛盾故錯(cuò)誤；故選b. 點(diǎn)睛：本題考查幾何體的三視圖，借助于空間直角坐標(biāo)系本題是一個(gè)比較好的題目，考查的知識(shí)點(diǎn)比較全，但是又是最基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)；從正面看到的圖叫做主視圖，從左面看到的圖叫做左視圖，從上面看到的圖叫做俯視圖，根據(jù)圖中c 點(diǎn)對(duì)三棱柱的結(jié)構(gòu)影響進(jìn)一步判斷.16. 如圖，兩個(gè)橢圓，內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線，是曲線上任意一點(diǎn)，給出下列三個(gè)判斷： 到、四點(diǎn)的距離之和為定值；曲線關(guān)于直線、均對(duì)稱；曲線所圍區(qū)域面積必小于上述判斷中正確命題的個(gè)數(shù)為（）a. 0 個(gè)b. 1 個(gè)c. 2 個(gè)d. 3 個(gè)【答案】 c 【解

9、析】對(duì)于，若點(diǎn)在橢圓上， 到、兩點(diǎn)的距離之和為定值、到、兩點(diǎn)的距離之和不為定值，故錯(cuò)；對(duì)于，兩個(gè)橢圓，關(guān)于直線、均對(duì)稱，曲線關(guān)于直線、均對(duì)稱，故正確；對(duì)于，曲線所圍區(qū)域在邊長(zhǎng)為6 的正方形內(nèi)部，所以面積必小于36，故正確；故選c.三、解答題 (本大題滿分 76 分) 本大題共有 5 題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟17. 已知復(fù)數(shù)滿足，（其中是虛數(shù)單位） ，若，求的取值范圍【答案】或【解析】試題分析：化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為分式的形式，利用復(fù)數(shù)同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為的形式即可得到，根據(jù)模長(zhǎng)之間的關(guān)系，得到關(guān)于的不等式，解出的范圍 . 試題解析：，即，解得或18. 如圖，直四

10、棱柱底面直角梯形，是棱上一點(diǎn)，. （1）求異面直線與所成的角；（2）求證：平面. 【答案】（1）（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析： （1）本題中由于有兩兩垂直，因此在求異面直線所成角時(shí)，可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角求出所求角；（2）同（ 1）我們可以用向量法證明線線垂直，以證明線面垂直，易得當(dāng)然我們也可直線用幾何法證明線面垂直，首先，這由已知可直接得到，而證明可在直角梯形通過(guò)計(jì)算利用勾股定理證明，因此，得證 . （1） 以原點(diǎn)，、分別為軸、 軸、 軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，. 3 分于是, 異面直線與所成的角的大小等于. 6 分（2）過(guò)作交于，在中，則，10 分，.又，平面. 12分

11、考點(diǎn)：（1）異面直線所成的角； （2）線面垂直 .19. 如圖， 圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，線段和線段都是底面圓的直徑，且直線與直線的夾角為，已知，（1）求該圓錐的體積；（2）求證：直線平行于平面，并求直線到平面的距離【答案】（1）（2）【解析】試題分析： （1）利用圓錐的體積公式求該圓錐的體積；（ 2）由對(duì)稱性得，即可證明直線平行于平面，到平面的距離即直線到平面的距離，由，求出直線到平面的距離 . 試題解析：（1）設(shè)圓錐的高為，底面半徑為，則，圓錐的體積；（2）證明：由對(duì)稱性得，不在平面，平面，平面，c 到平面的距離即直線到平面的距離，設(shè)到平面的距離為，則由，得，可得，直線到平面的距離為20

12、. 閱讀：已知，求的最小值 . 解法如下：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)，則的最小值為. 應(yīng)用上述解法，求解下列問(wèn)題：（1）已知，求的最小值；（2）已知，求函數(shù)的最小值；（3）已知正數(shù)，求證：.【答案】（1）9（ 2）18（3）見(jiàn)解析【解析】試題分析：本題關(guān)鍵是閱讀給定的材料，弄懂弄清給定材料提供的方法（“1”的代換），并加以運(yùn)用 .主要就是，展開(kāi)后就可應(yīng)用基本不等式求得最值.（ 1）； （2）雖然沒(méi)有已知的“1”，但觀察求值式子的分母， 可以湊配出 “1”：，因此有，展開(kāi)后即可應(yīng)用基本不等式；（ 3）觀察求證式的分母，結(jié)合已知有， 因此有此式中關(guān)鍵是湊配出基本不等式所需要的兩項(xiàng)，如與合并相加利用基

13、本不等式有，從而最終得出. （1），2 分而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，則，即的最小值為. 5 分（2）， 7 分而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)，則，所以函數(shù)的最小值為. 10 分（3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，則. 16 分考點(diǎn)：閱讀材料問(wèn)題，“1”的代換，基本不等式.21. 設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為、短半軸長(zhǎng)為，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為、短半軸長(zhǎng)為，若，則我們稱橢圓與橢圓是相似橢圓已知橢圓，其左頂點(diǎn)為、右頂點(diǎn)為（1）設(shè)橢圓與橢圓是“相似橢圓”，求常數(shù)的值；（2）設(shè)橢圓，過(guò)作斜率為的直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)為作斜率為的直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)， 當(dāng)為何值時(shí)取得最小值， 并求其最小值；（3）已知橢圓與橢圓是相似橢圓橢圓上異于的任意一點(diǎn)，求證：的垂心在橢圓上【答案】（1）或 ； （2）當(dāng)時(shí)，取得最小值 （3）見(jiàn)解析【解析】試題分析： （ 1）運(yùn)用 “ 相似橢圓 ” 的定義，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐標(biāo)， 可得直線與直線的方程， 代入橢圓的方程， 運(yùn)用判別式為，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得橢圓的方程，設(shè)出橢圓上的任意一點(diǎn)，代入橢圓的方程