有限單元法平面問題例題

1、平面有限元解法n設(shè)有對角受壓的正方形薄板（如上圖所示），載荷沿厚度均勻分布，為2N/m。試對該結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析，建立整體剛度矩陣和整體結(jié)點載荷列陣，建立整體結(jié)點方程組，通過編程求解出結(jié)點的位移，并從而求出各單元的應(yīng)力。（為簡單起見，取板的厚度t= 1 , 彈性常數(shù)E =1,泊松比0）n右圖為取1/4模型，離散后，單元、結(jié)點、荷載和約束的簡圖。1 簡化力學(xué)模型、選取單元類型 結(jié)構(gòu)及荷載沿雙軸對稱，選取1/4結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)。 圖所示為平面應(yīng)力問題，平面應(yīng)力單元類型中，3結(jié)點三角形單元2 結(jié)構(gòu)離散，單元編號、結(jié)點編號n將對象劃分成4個單元，共有6個結(jié)點，單元和結(jié)點上均編上號碼，其中結(jié)點的整體編碼1至6，以

2、及個單元的結(jié)點局部編碼i,j,m,均示于上圖中。單元號局部編碼整體編碼i3526j1253m2435n3.1 結(jié)點位移列陣、荷載列陣3 單元分析（對逐個單元進(jìn)行分析。以單元1為例）n3.2 位移函數(shù)3 單元分析n3.3 討論位移函數(shù)的收斂性n （1）完備性n （2）協(xié)調(diào)性3 單元分析n3.4 推導(dǎo)形函數(shù)（只需分析1個單元，其余可直接用公式計算） 代入結(jié)點坐標(biāo)和位移3 單元分析 常數(shù)3 單元分析 設(shè)3 單元分析 得到3 單元分析3 單元分析3 單元分析得到內(nèi)部任意一點位移和結(jié)點位移的關(guān)系式3 單元分析得到內(nèi)部任意一點位移和結(jié)點位移的關(guān)系式3 單元分析得到形函數(shù)矩陣3 單元分析3.5 推導(dǎo)內(nèi)部任意

3、一點應(yīng)變和結(jié)點位移的轉(zhuǎn)換關(guān)系3 單元分析3 單元分析3 單元分析3 單元分析3.6 推導(dǎo)內(nèi)部任意一點應(yīng)力和結(jié)點位移的轉(zhuǎn)換關(guān)系平面應(yīng)力的彈性矩陣為3 單元分析把D、B矩陣代入公式即可應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S3 單元分析3.7 得到單元剛度矩陣 把B和D矩陣代入對3結(jié)點三角形，可以簡化為3 單元分析3.8 單元等效荷載計算 4 組成整體剛度矩陣n暫時不考慮位移邊界條件，把所分析結(jié)構(gòu)的整體結(jié)點平衡方程組列出：111213141516112122232425262231323334353633414243444546445152535455565561626364656666KKKKKKuFKKKKKKuFKK

4、KKKKuFKKKKKKuFKKKKKKuFKKKKKKuFn整體剛度矩陣寫成66的矩陣，它的每個子塊是22的矩陣，實際它是一個1212的矩陣。如K23，它的四個元素表示當(dāng)結(jié)構(gòu)的結(jié)點3沿x或y方向有單位位移時，在結(jié)點2的x方向或y方向引起的結(jié)點力。4 組成整體剛度矩陣n整體剛度矩陣寫成66的矩陣，它的每個子塊是22的矩陣，實際它是一個1212的矩陣。如K23，它的四個元素表示當(dāng)結(jié)構(gòu)的結(jié)點3沿x或y方向有單位位移時，在結(jié)點2的x方向或y方向引起的結(jié)點力。4 整體剛度矩陣?yán)m(xù)n由于于結(jié)點3和結(jié)點2在結(jié)構(gòu)中是通過和這兩個單元相聯(lián)系，因而K23應(yīng)是單元 的k23和單元 的k23之和。同理，可以找到各單元

5、剛度矩陣中所有子矩陣在整體剛度矩陣K中的位置，得到整體勁度矩陣。111112313223113134344222233422344444000000000000jjjmjimjmmjjiimiimjmjiijjiimmiiimmjjmjjmjimjmmmiijjijmmjimiijjmmmiijimiikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkKkkkkkkkkkkkkkkk n式中k的上標(biāo)1,2,3,4表示是哪一個單元的剛度矩陣中的子矩陣，空白處是22的零矩陣。4 整體剛度矩陣?yán)m(xù)n對于單元、，根據(jù)公式，可求得A=0.5m2，0.50000.5000.250.2500.250.2500.250

6、.2500.250.250000.500.50.50.250.2500.750.2500.250.250.50.250.75kEn將上式中各子塊的具體數(shù)值代入整體剛度矩陣K表達(dá)式中，得出整體剛度矩陣。1,0,1,0,1,1ijmijmbbbccc n對于單元，根據(jù)公式，可求得A=0.5m2，1,0,1,0,1,1ijmijmbbbccc n把0，t1m，代入單元的剛度矩陣，得兩種單元的剛度矩陣k都是：(37)4 整體剛度矩陣n整體剛度矩陣K0.2500.250.2500.2500000000.500.5000000000.2501.50.2510.250.250.2500.25000.250.

7、50.251.50.250.500.50.250000010.251.50.25000.50.2500.250.2500.250.50.251.5000.25100000.250000.750.KE250.50.2500000.250.5000.250.7500.25000000.250.50.250.501.50.250.50.25000.2500.2510.250.250.251.500.25000000000.500.5000000.250000.250.2500.25(38)5 引入位移邊界條件n位移邊界條件為：1244560uuuvvvn因此，整體結(jié)點的位移列陣就簡化為：123356

8、()Tvvuvuu5 引入位移邊界條件n與這6個零位移分量相應(yīng)的6個平衡方程不必建立，因此，將整體剛度矩陣中，第1、3、7、8、10、12各行以及同序號的各行劃去，因而整體勁度矩陣K簡化為：0.50.500000.51.50.250.50.25000.251.50.250.5000.50.251.50.25000.250.50.251.50.500000.50.5KE6 整體結(jié)點載荷列陣n確定了每個單元的結(jié)點載荷列陣：n根據(jù)各單元的結(jié)點局部編碼與整體編碼的關(guān)系，確定三個子塊FLi,FLj,FLm在FL中的位置。TLixLiyLjxLjyLmxLmyFFFFFFTeLLiLjLmFFFF1112

9、32134324234546LjLmLjLiLiLmLjLmLiLjLmLiLLLLLLLFFFFFFFFFFFFFFFFFFF6 整體結(jié)點載荷列陣n由于該結(jié)構(gòu)只是在結(jié)點1受有向下1N/m的載荷，因而，非零元素子塊，只有101LLjFFn在考慮了邊界條件后，整體載荷列陣為：( 100000)LF 平面有限元解法求解整體結(jié)點載荷列陣n求解化簡后的整體剛度矩陣：1233560.50.5000010.51.50.250.50.250000.251.50.250.50000.50.251.50.250000.250.50.251.50.5000000.50.50vvuEuuu(39)LKFn求解以后，

10、得結(jié)點位移：1233563.2531.2530.08810.3740.1760.176vvuuEuu平面有限元解法求解應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣n應(yīng)用單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S，求出各單元中的應(yīng)力：q根據(jù)0，以及已求出的A、b和c的值，再由式(21)和(22)得出應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣如下，對于單元、 ：n對于單元10001000010100.50.500.50.5SE10001000010100.50.500.50.5SE平面有限元解法求解各單元中的應(yīng)力（續(xù)）n應(yīng)用單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S，求出各單元中的應(yīng)力：331121000100.08800001012.00000.50.500.50.50.4400 xyxyuvEvv Pa單元單元5220100010025300.50.500.50.5000 xyxyuEv Pa平面有限元解法求解各單元中的應(yīng)力n應(yīng)用單元的應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣S，求出各單元