直線平面簡單幾何體(B)(第29課)多面體歐拉定理的發(fā)現(一)

1、精品資源歡下載課題：9. 10研究性課題：多面體歐拉定理的發(fā)現 （一）教學目的:1 . 了解多面體與簡單多面體的概念、發(fā)現歐拉公式.2 .培養(yǎng)學生發(fā)現問題、探究問題、歸納總結能力.教學重點：歐拉公式的發(fā)現過程.教學難點：歐拉定義及其證明.授課類型：新授課.課時安排：1課時.教 具：多媒體、實物投影儀 .內容分析：本節(jié)為研究性課題.通過研究歐拉定理的發(fā)現過程，讓學生了解歐拉公式及 其簡單應用，擴大學生的知識面，培養(yǎng)學生學習數學的興趣 教學過程：一、復習引入：1 .歐拉生平事跡簡說： 歐拉（Euler），瑞士數學家及自然科學家.1707年4月15 日出生于瑞士巴塞爾的一個牧師家庭，自幼受父親的教育

2、，13歲入讀巴塞爾大學15歲大學畢業(yè)，16歲獲碩士學位，1783年9月18日于俄國彼得堡去逝. （詳 細資料附后）.2 .多面體的概念：由若干個多邊形圍成的空間圖形叫 多面體；每個多邊形叫多 面體的面，兩個面的公共邊叫多面體的 棱，棱和棱的公共點叫多面體的 頂點， 連結不在同一面上的兩個頂點的線段叫多面體的 對角線.3 .凸多面體：把多面體的任一個面展成平面，如果其余的面都位于這個平面的 同一側，這樣的多面體叫凸多面體.如圖的多面體則不是凸多面體4 .凸多面體的分類： 多面體至少有四個面，按照它的面數分別叫四面體、五面 體、六面體等.二、講解新課：1.簡單多面體：考慮一個多面體，例如正六面體，

3、假定它的面是用橡膠薄膜做 成的，如果充以氣體，那么它就會連續(xù)（不破裂）變形，最后可變?yōu)橐粋€球面.如圖：象這樣，表面經過連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做簡單多面體.說明：棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡單多面體2.五種正多面體的頂點數、面數及棱數:正多囿體頂點數V面數F棱數E正四向體446正六面體8612正八面體6812正十二面體201230正二十面體122030V、面數F、和棱數E,并計算V、面數F、和棱數E,并驗證上面公式是否還成發(fā)現：它們的頂點數 V、面數F及棱數E有共同的關系 式：V 十F -E =2.上述關系式對簡單多面體都成立3.歐拉公式的探究1 .請查出圖的頂點數V+ F-

4、E= 6+6-10=22 .查出圖中的頂點數 立？3 .假如圖一圖的多面體表面是像皮膜，向內充氣則將變成一個 球面，圖將變成兩個緊貼的球面，圖將變成一個環(huán)面。 10可以驗證：只有像這樣，經過連續(xù)變形，表面能變?yōu)橐粋€球面的多面體才滿足公式 V+ F- E= 2。這個公式稱為 歐拉公式，這樣的多面體稱為 簡單多 面體。4.歐拉定理(歐拉公式)：簡單多面體的頂點數 V、面數F及棱數E有關系式：V +F -E =2 .證明：(方法一)如圖(10):將多面體的底面ABCD耍掉，抻成平面圖形，其頂點、棱數，面數(剪掉面用右圖中 ABCD豉示)均沒有變，故所有面的內角總和不變。設左圖中共有F個面，分別是n1

5、,n2,|,nF邊形，頂點數為V,棱數為E, 則 n1 n2 | H nF = 2E .左圖中，所有面的內角總和為(n1 -2)180 (n2 -2)180 (nF -2)180=(n1 +n2 +nF 2F)180口=(2E -2F)180二(E - F )360右圖中，所有面的內角總和為V上360斗(V下一2)180葉(V下一2)180口(剪掉的底面內角和)=(V± + V±一2)360° = (V -2)3600(E -F)360° = (V -2)3600整理得V F - E =2.(方法二)以四面體 ABCD為例來說明：將它的一個面 BCD去掉

6、，并使其變?yōu)槠矫鎴D形，四面體的頂點數V、棱數E與剩下的面數(F -1)變形后都沒有變.因此，要研究V、E和F的關系，只要去掉一個面，將它變形為平面圖形即可對平面圖形，我們來研究：(1)去掉一條棱，就減少一個面 ,例如去掉BC ,就減少一個面 ABC . 同理，去掉棱 CD、BD ,也就各減少一個面 ACD、ABD .所以(F1)一E、V的值都不變，因此 V十(F 1)E的值也不變.(2)再從剩下的樹枝形中，去掉一條棱，就減少一個頂點.例如去掉CA ,就減少一個頂點C.同理，去掉 DA就減少一個頂點 D ,最后剩下AB (如圖).在此過程中V -E的值不變，但這時面數 F是0 ,所以V +(f

7、-1)-E的值也不變.由于最后只剩下 AB ,所以V +(F -1)-E =2 + 01 =1 ,最后加上去掉的一個面，就得到V +F - E = 2.4.歐拉示性數：在歐拉公式中令 f(p)=V+FE, f(p)叫歐拉示性數.說明：(1)簡單多面體的歐拉示性數f ( P) = 2 .(2)帶一個洞的多面體的歐拉示性數f(p)=0.例如：長方體挖去一個洞連結底面相應頂點得到的多面體f(p)=16+16 32=0.三、講解范例：例1 .一個n面體共有8條棱，5個頂點，求n.解：V + F E = 2, . F = E +2V = 5, . n =5.例2. 一個正n面體共有8個頂點，每個頂點處共

8、有三條棱，求 n,一 8 3解：V =8, E =8=12 ,2F = E +2 -V =6,''' n = 6 .四、小結：歐拉定理及其證明；歐拉示性數.五、課后作業(yè)： 六、板書設計（略）.七、歐拉(Euler Lonhard , 17071783)歐拉，瑞士數學家及自然科學家.在1707年4月15日出生于瑞士的巴 塞爾,1783年9月18日于俄國的彼得堡去逝.歐拉出生于牧師家庭，自 幼已受到父親的教育.13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業(yè)，16歲獲 得碩士學位.歐拉的父親希望他學習神學，但他最感興趣的是數學 .在上大學時， 他已受到約翰第一.伯努利的特別指導，專心

9、研究數學，直至18歲，他徹底的放棄當牧師的想法而專攻數學，于 19歲時（ 1726年）開始創(chuàng)作 文章，并獲得巴黎科學院獎金.1727年，在丹尼爾伯努利的推薦下，到俄國的彼得堡科學院從事研究工作.并在1731年接替丹尼爾第一 伯努利，成為物理學教授.在俄國的14年中，他努力不懈地投入研究，在分析學、數論及力學方面均有出色的表現匕外，歐拉還應俄國政府的要求，解決了不少如地圖學、造船業(yè)等的實際問題，1735年,他因工作過度以致右眼失明.在1741年，他受到普魯士 腓特烈大帝的邀請到德國科學院擔任 物理數學所所長一職.他在柏林期間，大大的擴展了研究的內容，如行星運動、剛體運動、熱力學、彈道學、人口學等

10、，這些工作與他的數學研究互相推動著,與此同時，他在微分方程、曲面微分幾何及其它數學領域均有開創(chuàng)性的發(fā)現 .1766年，他應俄國沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡 .在1771年，一場重病使他的左眼亦 完全失明.但他以其驚人的記憶力和心算技巧繼續(xù)從事科學創(chuàng)作.他通過與助手們的討論以 及直接口授等方式完成了大量的科學著作，直至生命的最后一刻.歐拉是18世紀數學界最杰出的人物之一，他不但為數學界作出貢獻，更把數學推至幾 乎整個物理的領域.此外，他 是數學史上最多產的數學家，寫了大量的力學、分析學、幾何 學、變分法的課本，無窮小分析引論（1748）,微分學原理（1755）,以及積分學原理（1768-1770

11、 ）都成為數學中的經典著作*歐拉最大的功績是擴展了微積分的領域，為微分幾何及分析學的一些重要分支（如無窮 級數、微分方程等）的產生與發(fā)展奠定了基礎.歐拉把無窮級數由一般的運算工具轉變?yōu)橐粋€重要的研究科目.他計算出E函數在偶數點的值.他證明了 a2k是有理數，而且可以伯努利數來表示 .此外，他對調和級數亦有所研究，并相當精確的計算出歐拉常數丫的值，其值近似為0.57721566490153286060651209在18世紀中葉，歐拉和其它數學家在解決物理方面的問過程中，創(chuàng)立了微分方程學.當中，在常微分方程方面，他 完整地解決了 n階常系數線性齊次方程的問題，對于非齊次方程，他提出了一種降低方程階

12、的解法；而在偏微分方程方面，歐拉將二維物體振動的問題，歸結出了一、二、三維波動方程的解法.歐拉所寫的方程的積分法研究更是 偏微分方程在純數學研究中的第一篇論文.在微分幾何方面（微分幾何是研究曲線、曲面逐點變化性質的數學分支），歐拉引入了 空間曲線的參數方程， 給出了空間曲線曲率半徑的解析表達方式.在1766年，他出版了關于曲面上曲線的研究，這是歐拉對微分幾何最重要的貢獻，更是微分幾何發(fā)展史上一個里程碑.他將曲面表為z=f（x,y），并引入一系列標準符號以表示z對x, y的偏導數，這些符號至今仍通用匕外，在該著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截線的曲率公式.歐拉在分析學上的貢獻不勝枚舉，如他引入

13、了 G函數和B函數，這證明了橢圓積分的加法定理，以及最早引入二重積分等等.在代數學方面，他發(fā)現了每個實系數多項式必分解為一次或二次因子之積， 即a+bi的形式.歐拉還給出了費馬小定 理的三個證明，并引入了 數論中重要的歐拉函數 ?。╪）,他研究數論的一系列成果奠定了數論成為數學中的一個獨立 分支歐拉又用解析方法討論數論問題，發(fā)現了 E函數所滿足的函數方程，并引入歐拉乘積 . 而且還解決了著名的柯尼斯堡七橋問題.歐拉的風格是很高的，拉格朗日是稍后于歐拉的大數學家,從19歲起和歐拉通信、討論等周問題的一般解法， 從而引起了變分法的誕生.等周問題是歐拉多年來苦心考慮的問題，拉格朗日的解法，博得了歐拉

14、的熱烈贊揚，1759年10月2日歐拉在回信中盛贊拉格朗日的成就，并謙恭地壓下自己在這方面較不成熟的作品暫不發(fā)表，使年輕的拉格朗日的著作得以發(fā) 表和流傳，贏得巨大聲譽.1783年9月18日下午，歐拉為了慶祝他計算氣球上升定律的成功，請朋友們吃飯.那時天王星剛發(fā)現不久，歐拉寫出計算天王星軌道的要領，還和他的孫子逗笑，喝茶后，突然 疾病發(fā)作，煙斗從手中落下歐拉就這樣“停止了生命和計算”歷史學家把歐拉和阿基米德、牛頓、高斯并列為有史以來貢獻最大的四位數學家.他 們有一個值得注意的共同點，就是在創(chuàng)建純粹理論的同時，還應用這些數學工具去解決大量 天文、物理、力學等方面的實際問題.他們的工作常常是跨學科的，他們不斷地從