數(shù)字信號(hào)處理IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1、第一節(jié)第一節(jié) 數(shù)字濾波器的基本概念數(shù)字濾波器的基本概念一、數(shù)字濾波器基本概念一、數(shù)字濾波器基本概念數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器: 輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，經(jīng)過一定運(yùn)算輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，經(jīng)過一定運(yùn)算 關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì) 比例或者濾除某些頻率成分的器件。比例或者濾除某些頻率成分的器件。優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 精度高，穩(wěn)定，體積小，重量輕，靈活，不精度高，穩(wěn)定，體積小，重量輕，靈活，不 要求阻抗匹配，能實(shí)現(xiàn)模擬濾波器要求阻抗匹配，能實(shí)現(xiàn)模擬濾波器(AF)無法無法 實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能。1. 數(shù)字濾波器的分類（回憶）數(shù)字濾波器的分類（回憶）2.數(shù)字濾

2、波器的技術(shù)要求數(shù)字濾波器的技術(shù)要求3. 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法概述1、數(shù)字濾波器的分類、數(shù)字濾波器的分類 經(jīng)典濾波器經(jīng)典濾波器：即一般濾波器（輸入信號(hào)中有用的頻即一般濾波器（輸入信號(hào)中有用的頻 率成分和希望濾除的頻率成分各占有率成分和希望濾除的頻率成分各占有 不同的頻帶，通過以合適的選頻濾波不同的頻帶，通過以合適的選頻濾波 器達(dá)到目的）器達(dá)到目的） 現(xiàn)代濾波器現(xiàn)代濾波器：如維納濾波器，卡爾曼濾波器，自適如維納濾波器，卡爾曼濾波器，自適 應(yīng)濾波器等最佳濾波器（按隨機(jī)信號(hào)應(yīng)濾波器等最佳濾波器（按隨機(jī)信號(hào) 內(nèi)部的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，從干擾中最佳內(nèi)部的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，從干擾中最佳 提取信號(hào)）

3、提取信號(hào)）經(jīng)典濾波器的幾種類型：經(jīng)典濾波器的幾種類型： 數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖濾波器和有限脈沖響應(yīng)響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為：IIR濾波器濾波器 FIR濾波器濾波器 N1iiiM0iiiza1zb)z(H 1N0nnz )n(h)z(H用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)H(z)逼近逼近此性能指標(biāo)此性能指標(biāo)按設(shè)計(jì)任務(wù)，按設(shè)計(jì)任務(wù)，確定濾波器性能要求確定濾波器性能要求，制

4、定技術(shù)指，制定技術(shù)指標(biāo)標(biāo)利用有限精度算法利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算結(jié)構(gòu)、：如運(yùn)算結(jié)構(gòu)、字長(zhǎng)的選擇等字長(zhǎng)的選擇等實(shí)際技術(shù)實(shí)現(xiàn)：軟件法、硬件法或?qū)嶋H技術(shù)實(shí)現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法芯片法2、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程3、數(shù)字濾波器的技術(shù)要求數(shù)字濾波器的技術(shù)要求 我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假我們通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)設(shè)數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(e j)用下式表示：用下式表示：)( jj j e)H(e)H(e 幅頻特性幅頻特性|H(ej )|： 信號(hào)通過濾波器后的各頻率成分衰減情況信號(hào)通過濾波器后的

5、各頻率成分衰減情況。相頻特性相頻特性 ( )：各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。n通帶：通帶： 1| )(|1|1 jpeHan阻帶：阻帶：2| )(|aeHjs n過渡帶：過渡帶：sp| ：阻帶截止頻率：阻帶截止頻率：通帶截止頻率：通帶截止頻率：通帶容限：通帶容限：阻帶容限：阻帶容限p s 1a2a 通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用dB數(shù)表示，通帶數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用內(nèi)允許的最大衰減用 p表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用用 s表示，表示， p和和 s分別定義為：分別定義為：dBeH20

6、dBeHeH20pp0jjjp)(lg)()(lg dBeH20dBeHeH20ss0jjjs)(lg)()(lg 通通帶帶截截止止頻頻率率。為為，為為我我們們稱稱此此時(shí)時(shí)的的，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)3dBdB 0.707eHccppjp 322)( 上式中，上式中， 歸一化為歸一化為1。| )(|0jeH 用一因果穩(wěn)定的離散用一因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)逼近給定的性能要求：系統(tǒng)逼近給定的性能要求：s s平面逼近：模擬濾波器的設(shè)計(jì)平面逼近：模擬濾波器的設(shè)計(jì)z z平面逼近：數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)平面逼近：數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)4、IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法 先設(shè)計(jì)模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器先設(shè)計(jì)模

7、擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器 N1iiiM0iiiza1zb)z(H 即為求濾波器的各系數(shù)：即為求濾波器的各系數(shù)：iiba 和和第二節(jié)第二節(jié) 模擬濾波器的設(shè)計(jì)模擬濾波器的設(shè)計(jì) 模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如：熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如： 1) 巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)濾波器濾波器 2) 切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)濾波器濾波器 3) 橢圓橢圓(Ellipse)濾波器濾波器 4) 貝塞爾貝塞爾(Bessel)濾波器濾波器 這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線

8、這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。和圖表供設(shè)計(jì)人員使用。1、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法、模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有 p和和s分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率， p是通帶是通帶(0p)中的最大衰減系數(shù)中的最大衰減系數(shù) s是阻帶是阻帶s的最小衰減系數(shù)的最小衰減系數(shù)dBeH20dBeHeH20pp0jajajap)(lg)()(lg dBeH20dBeHeH20ss0jajajas)(lg)()(lg c稱為稱為3dB截止頻率：截止頻率：707022jHca.)( d

9、B3jH20ca )(lg 濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)數(shù)Ha(s)，希望其希望其幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)滿足給定的指標(biāo) p和和 s，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，有：一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，有：jsaaaaasHsHjHjHjH)()()()()(*22、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法(1) 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2 用下式表示：用下式表示：NcajH2211)( N越大，越接近理想濾波器，越大，越接近理想濾波器，N越大，濾波器

10、的實(shí)現(xiàn)也越復(fù)雜。越大，濾波器的實(shí)現(xiàn)也越復(fù)雜。特點(diǎn)：特點(diǎn)：;c; 0(2)幅度平方函數(shù)極點(diǎn)分布及幅度平方函數(shù)極點(diǎn)分布及Ha(s)的構(gòu)成的構(gòu)成將幅度平方函數(shù)將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2寫成寫成s的函數(shù)：的函數(shù)：21( )()1()aaNcHs Hssj上式表明，極點(diǎn)上式表明，極點(diǎn)sk用下式表示：用下式表示：1121()222( 1)()kjNNkccsje 為形成穩(wěn)定的濾波器，為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中個(gè)極點(diǎn)中只取只取s平面左半平面的平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。Ha(s)的表示式為的表示式為10( )()Nca

11、NkkHsss設(shè)設(shè)N=3，極點(diǎn)有極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為個(gè)，它們分別為23012321334135jccjcjccjcsessesesse 取取s平面左半平面的極點(diǎn)平面左半平面的極點(diǎn)s0,s1,s2組成組成Ha(s)：)()()(32323 jcjcccaesesssH (3) 頻率歸一化頻率歸一化 由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對(duì)的頻率歸一化。這里采用對(duì)3dB截止頻率截止頻率c歸一化，歸一歸一化，歸一化后的化后的Ha(s)表示為表示為 101( )()aNkkccHsss式中，式中，s/c=j/c。 令令=

12、/c，稱為歸一化頻率稱為歸一化頻率；令；令 p = j= j/c ， p =s/c稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸稱為歸一化復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為函數(shù)為101( )()aNkkHppp式中，式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：121()22,0,1,1kjNkpekN帶入帶入Ha(p)表達(dá)式，得到的表達(dá)式，得到的Ha(p)的分母是的分母是p的的N階多項(xiàng)式，階多項(xiàng)式，用下式表示：用下式表示：NNNappbpbbpH11101)(歸一化的傳輸函數(shù)系數(shù)歸一化的傳輸函數(shù)系數(shù)Ha (p) 的系數(shù)以及極點(diǎn)可以查表得到。的系數(shù)以及極點(diǎn)可以查表得到。表表6.

13、2.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) (4)階數(shù)階數(shù)N的確定的確定 階數(shù)階數(shù)N的大小主要影響幅度特性下降的速度，它應(yīng)該的大小主要影響幅度特性下降的速度，它應(yīng)該由技術(shù)指標(biāo)確定。將由技術(shù)指標(biāo)確定。將 = p代入幅度平方函數(shù)中代入幅度平方函數(shù)中:2)(lg10)(lg20ppjapjapeHeH NcppajH2211)( 102101pNcp 將將 = s代入幅度平方函數(shù)中代入幅度平方函數(shù)中:2)(lg10)(lg20ssjasjaseHeH NcssajH2211)( 102101sNcs 102101pNcp 102101sNcs 1101101010 spNsp

14、,pssp 令：令：110110k1010sppsspsplgklgN用上式求出的用上式求出的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。的最小整數(shù)。 關(guān)于關(guān)于3dB截止頻率截止頻率c，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以按照下面兩式求出：可以按照下面兩式求出：102101pNcp 102101sNcs Npcp2110)110( Nscs2110)110( 通常是用一個(gè)算出通常是用一個(gè)算出c，然后用另一個(gè)然后用另一個(gè)(反過來反過來)來檢驗(yàn)。來檢驗(yàn)?？偨Y(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟設(shè)計(jì)步驟如下：如下：(1) 根據(jù)技

15、術(shù)指標(biāo)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p, p,s, s，求出濾波器的階數(shù)求出濾波器的階數(shù)N。(2) 求出歸一化極點(diǎn)求出歸一化極點(diǎn)pk，得到歸一化傳輸?shù)玫綒w一化傳輸函數(shù)函數(shù)Ha(p)。 (3) 將將Ha(p)去歸一化。將去歸一化。將p=s/c代入代入Ha(p)，得到實(shí)際的濾波器得到實(shí)際的濾波器 傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)Ha(s)。121()22,0,1,1kjNkpekNNNNappbpbbpH11101)(spsplgklgNcspaapHsH )()(例：例： 已知通帶截止頻率已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減通帶最大衰減 p=2dB，阻帶阻帶截止頻率截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減阻帶最小衰減 s=

16、30dB，按照以上技術(shù)指按照以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解：解： (1) 確定階數(shù)確定階數(shù)N：0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN (2) 求極點(diǎn)：求極點(diǎn)：歸一化傳輸函數(shù)為歸一化傳輸函數(shù)為401( )()akkHppp121()22,0,1,1kjNkpekN 上式分母可以展開成為五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在上式分母可以展開成為五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在一起，形成因式分解形式。不如直接查表簡(jiǎn)單，由一起，形成因式分解形式。不如直接查表簡(jiǎn)單，由N=5，直接直接查表得到：查表得到：極

17、點(diǎn)：極點(diǎn)：-0.3090j0.9511、-0.8090j0.5878、 -1.00005432432101( )aHppb pb pb pb pb其中：其中： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(3) 為將為將Ha(p)去歸一化，先求去歸一化，先求3dB截止頻率截止頻率c。)/(2755. 52)110(2110sradkNpcp 將將p=s/c代入代入Ha(p)中得到：中得到：554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsb)/(525.102)110(2110sradkNcss 檢驗(yàn)：檢驗(yàn)： 可以看出，

18、滿足可以看出，滿足 s=30dB 的真實(shí)的真實(shí)fs在在10.525kHz處，與處，與12kHz比，還有富裕量。比，還有富裕量。Matlab的實(shí)現(xiàn)的實(shí)現(xiàn)n調(diào)用的函數(shù)見教材調(diào)用的函數(shù)見教材P160 ：buttap, buttord, buttern設(shè)計(jì)程序見教材設(shè)計(jì)程序見教材P161 第三節(jié)第三節(jié) 用脈沖響應(yīng)不變法用脈沖響應(yīng)不變法 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器 利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的系設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)統(tǒng)函數(shù)H(z)。 因此，它歸根結(jié)底是一個(gè)由因此，它

19、歸根結(jié)底是一個(gè)由S平面映射到平面映射到Z平面平面的變換，這個(gè)變換通常是復(fù)變函數(shù)的映射變換，為的變換，這個(gè)變換通常是復(fù)變函數(shù)的映射變換，為了保證了保證轉(zhuǎn)換后的轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，這個(gè)映，這個(gè)映射變換必須滿足以下兩條基本要求。射變換必須滿足以下兩條基本要求。(2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻 響，響，s平面的虛軸映射為平面的虛軸映射為z平面的單位圓，相應(yīng)的頻平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成率之間成線性線性關(guān)系。關(guān)系。(1) 因果穩(wěn)定因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍 是因果穩(wěn)定的。

20、即是因果穩(wěn)定的。即 S平面的左半平面必須映射平面的左半平面必須映射到到Z平面單位圓的內(nèi)部平面單位圓的內(nèi)部。兩條基本要求：兩條基本要求：工程上常用的轉(zhuǎn)換方法：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法工程上常用的轉(zhuǎn)換方法：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法一、脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換原理一、脈沖響應(yīng)不變法的轉(zhuǎn)換原理 通過對(duì)連續(xù)函數(shù)通過對(duì)連續(xù)函數(shù)ha(t)等間隔采樣得到離散序列等間隔采樣得到離散序列ha(nT)。令令h(n)= ha(nT) ，T為采樣間隔。為采樣間隔。它是一它是一種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法。種時(shí)域上的轉(zhuǎn)換方法。)()()()()(zHnhnThthsHZaaa 變換變換等間隔采樣等間隔采樣拉氏逆變換拉氏逆變換設(shè)

21、模擬濾波器的傳輸函數(shù)為設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t)( )( )aaHsLT h t 設(shè)模擬濾波器設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示：用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss式中式中si為為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：NitsiatueAthi1)()( 式中式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對(duì)是單位階躍函數(shù)。對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣進(jìn)行等間

22、隔采樣，采樣間隔為間隔為T，得到：得到：1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT對(duì)上式進(jìn)行對(duì)上式進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 11( )1iNis TiAH zez11 zeAssATsiiii( )( ) ()aanhth ttnT設(shè)設(shè)ha(t)的采樣信號(hào)用的采樣信號(hào)用 表示，表示，)(tha二、二、S平面和平面和Z平面之間的映射關(guān)系平面之間的映射關(guān)系拉氏變換：拉氏變換：snTnastnastaaenThdtenTtthdtethsH )()()()()( sTsTezeznnazHznh )()( 上式表示采樣信號(hào)的拉氏變

23、換與相應(yīng)的序列的上式表示采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間變換之間的的映射關(guān)系映射關(guān)系可用下式表示：可用下式表示：sTez sTez 由：由： jrezjsTjTjeere 得到：得到： TerT j S平面平面Z平面平面RezjImz =0 (s平面虛軸平面虛軸) r=1 (z平面單位圓平面單位圓) 0 (s左半平面左半平面) r0 (s右半平面右半平面) r1 (z平面單位圓外部平面單位圓外部) r與與 的關(guān)系的關(guān)系 與與 的關(guān)系：的關(guān)系： = T =0 (s平面實(shí)軸平面實(shí)軸) =0 (z平面正實(shí)軸平面正實(shí)軸) = 0 = 0T (s平面平行于實(shí)軸的直線平面平行于實(shí)軸的直線) (z

24、平面始于原點(diǎn)，輻角為平面始于原點(diǎn)，輻角為 0T的輻射線的輻射線) ：從從 - /T /T ：從：從 - (s平面為平面為2 /T的一個(gè)水平帶的一個(gè)水平帶) (z平面輻角轉(zhuǎn)了一周，覆蓋整個(gè)平面輻角轉(zhuǎn)了一周，覆蓋整個(gè)z平面平面) Z平面平面jImzRez j S平面平面- /T /T3 /T-3 /T多值映射多值映射 將將s=j代入上式，得代入上式，得 我們知道模擬信號(hào)我們知道模擬信號(hào)ha(t)的傅里葉變換的傅里葉變換Ha(j)和其采樣信和其采樣信號(hào)號(hào) 的傅里葉變換的傅里葉變換 之間的關(guān)系滿足：之間的關(guān)系滿足：)(tha)( jHa ksaajkjHTjH)(1)(sTezksaazHjksHTs

25、H )()(1)( 存在的問題：混疊失真存在的問題：混疊失真可得：可得：由：由： ksajksHTzH)(1)( TkjHTeHkaj 21)(數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。 只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)頻率以內(nèi)時(shí)，時(shí)，才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真。即：失真。即： TjHTeHaj 1)(| 但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬

26、濾波器頻率響應(yīng)都不但是，任何一個(gè)實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的（非理想），是嚴(yán)格限帶的（非理想）， 變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延變換后就會(huì)產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，時(shí)數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而是有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊而是有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊頻率以上處衰減越大、越快時(shí)，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字失真就越小。這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法

27、設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。濾波器才能得到良好的效果。脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象脈沖響應(yīng)不變法的頻率混疊現(xiàn)象優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完脈沖響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)完 全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時(shí)域逼時(shí)域逼 近良好近良好。 模擬頻率模擬頻率和數(shù)字頻率和數(shù)字頻率之間之間呈線性關(guān)系呈線性關(guān)系=T。 因而，一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾因而，一個(gè)線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾 波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個(gè)線性波器）通過脈沖響應(yīng)不變法得到的仍然是一個(gè)線性 相位的數(shù)字濾波器。相

28、位的數(shù)字濾波器。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 有頻率響應(yīng)的有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)混疊效應(yīng)。 所以，所以， 脈沖響應(yīng)不變脈沖響應(yīng)不變 法只適用于限帶的模擬濾波器法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性例如，衰減特性 很好的低通或帶通濾波器很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，而且高頻衰減越快 ，混疊效應(yīng)越小。，混疊效應(yīng)越小。 對(duì)于對(duì)于高通和帶阻濾波器高通和帶阻濾波器，由于它們?cè)诟哳l部分，由于它們?cè)诟哳l部分 不衰減，不衰減， 因此因此會(huì)產(chǎn)生混疊現(xiàn)象會(huì)產(chǎn)生混疊現(xiàn)象。第四節(jié)第四節(jié) 用雙線性變換法用雙線性變換法 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器數(shù)字低通濾波器一、變換原理一、變換原理 了解決上一節(jié)的混疊問題，我們應(yīng)想辦

29、法讓了解決上一節(jié)的混疊問題，我們應(yīng)想辦法讓S到到Z域的映射域的映射為為單值映射單值映射。方法：方法： 先采用線性壓縮的方法，將模擬角頻率先采用線性壓縮的方法，將模擬角頻率 壓縮至折疊頻率壓縮至折疊頻率以內(nèi)。即：以內(nèi)。即： 若：若： ： - 0 , 壓縮后得到壓縮后得到 1 1：-/T 0 /T )21(21TtgT非線性壓縮非線性壓縮SS1單值映射單值映射S1Z)21(21TtgTTsez1 找找Z與與S的關(guān)系：的關(guān)系：，得：由：)21(21TtgT2)(2)(2)21cos()21sin(22222111111TjTjTjTjeejeeTTTT)()(222221111TjTjTjTjeee

30、eTj)1 ()1 (2)()(21111112222TsTsTsTsTsTseeTeeeeTs)1 ()1 (211zzTs)2()2(sTsTz一般來說，為使一般來說，為使AF與與DF的某一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，可引入常數(shù)的某一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，可引入常數(shù)C：)21(1TtgC )1()1(11 zzCs)()(sCsCz 及：及： 變換常數(shù)變換常數(shù)C的選?。旱倪x?。?常數(shù)常數(shù)C用來調(diào)節(jié)頻率間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：用來調(diào)節(jié)頻率間的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 若希望若希望AF與與DF在在低頻處有較為確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系低頻處有較為確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系， 可以選擇：可以選擇：TC2 解釋：解釋：在低頻處有較為確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即要求低頻處：

31、在低頻處有較為確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即要求低頻處：1 當(dāng)當(dāng) 1較小時(shí)，處于低頻處，此時(shí)有：較小時(shí)，處于低頻處，此時(shí)有：TTtg1121)21( 而而 和和 1的對(duì)應(yīng)公式為：的對(duì)應(yīng)公式為：TCTtgC1121)21( TC2 sTsTzzzTs 22)1()1(211二、優(yōu)點(diǎn)、問題及其解決辦法二、優(yōu)點(diǎn)、問題及其解決辦法 1、優(yōu)點(diǎn)：、優(yōu)點(diǎn)：)21(21TtgT 2、問題：、問題：)21(2)21(21 tgTTtgT 系的對(duì)應(yīng)關(guān)系為非線性關(guān)與 3、解決：、解決：0 T/0 0011)2(222 tgTtgSZ0 指標(biāo)轉(zhuǎn)換指標(biāo)轉(zhuǎn)換預(yù)畸預(yù)畸指標(biāo)轉(zhuǎn)換指標(biāo)轉(zhuǎn)換不預(yù)畸不預(yù)畸220 tgT SZ00112222)2

32、(2 tgTTtgTtg產(chǎn)生畸變產(chǎn)生畸變不產(chǎn)生畸變不產(chǎn)生畸變T 22tgT ()jH e()aHj34214321預(yù)畸變特征雙線性變換時(shí)頻率的預(yù)畸變雙線性變換時(shí)頻率的預(yù)畸變 利用模擬濾波器設(shè)計(jì)利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟數(shù)字低通濾波器的步驟。(1) 確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：p、 p、s、 s(2) 將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的 技術(shù)指標(biāo)：技術(shù)指標(biāo)：如果采用如果采用脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為如果采用如果采用雙線性變換法雙線性變換法，

33、邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為T )21(2 tgT (3) 按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器Ha(s)。(4) 將模擬濾波器將模擬濾波器Ha(s)，從從s平面轉(zhuǎn)換到平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通平面，得到數(shù)字低通 濾波器系統(tǒng)函數(shù)濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。spsp,例：設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于例：設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2rad時(shí)，時(shí)， 容許幅度誤差在容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率以內(nèi)；在頻率0.3到到之間的阻帶衰之間的阻帶衰 減大于減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。

34、指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。 試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。解：解： (1) 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為 p=0.2rad, p=1dB; s=0.3rad, s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為 T=1s,p=0.2rad/s, p=1dB; s=0.3rad/s, s=15dB設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。先計(jì)算階數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。先計(jì)算階數(shù)N及及3dB截止頻率截止頻率c。0.10.1lglg0.31.50.

35、21010.092101lg0.0925.884lg1.5psspspssppspkNkN 根據(jù)階數(shù)根據(jù)階數(shù)N=6，查表得到歸一化傳輸函數(shù)為：查表得到歸一化傳輸函數(shù)為：234561( )13.86377.46419.14167.46413.8637aHppppppp由式：由式：Npcp2110)110( 得到：得到：c=0.7032rad/s 最后，去歸一化，將最后，去歸一化，將p=s/c代入代入Ha(p)中，得到實(shí)際的傳中，得到實(shí)際的傳輸函數(shù)輸函數(shù)Ha(s)62652433425665432( )3.86377.46419.14167.46413.86370.12092.7163.6913.

36、1791.8250.1210.1209accccccHsssssssssssss 用脈沖響應(yīng)不變法將用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將首先將Ha(s)進(jìn)行部分進(jìn)行部分 分式分解，然后再轉(zhuǎn)換分式分解，然后再轉(zhuǎn)換 z=esT。1112121120.28710.44662.14281.1454( )10.12970.69491 1.06910.36991.85580.630410.99720.2570zzH zzzzzzzz(2) 用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為 p=0.2rad, p=1dB; s

37、=0.3rad, s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為21tan,122tan0.10.65/ ,12tan0.151.019/ ,15ppPpssTTrad sdBrad sdB 設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計(jì)算如下：計(jì)算如下：lglg1.0191.5680.650.092lg0.0925.306lg1.568spspssppspkNkN 取取N=6。并求得：并求得：c=0.7662rad/s 根據(jù)根據(jù)N=6，查表查表6.2.1得到的歸一化傳輸函數(shù)得到的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/c代入代入Ha(p)，得實(shí)際的得實(shí)際的Ha(s)2220.2024( )(0.3960.5871)(1.0830.5871)(1.4800.5871)aHsssssss 用雙線性