圓錐曲線題型總結(jié)

1、直線和圓錐曲線?？碱}型運用的知識：1、中點坐標(biāo)公式：X xx2,y y1一y2 ,其中x,y是點A(Xi, y) B(x2, y?)的中點坐標(biāo)。 222、弦長公式：若點A(x1,y1), B(x2, y2)在直線y kx b(k 0)上，則yi kxi b, y2 kx2 b ,這是同點縱橫坐標(biāo)變換，是兩大坐標(biāo)變換技巧之一，AB J(k x2)2 (yy2)2.(K x2)(權(quán) kx2), (1 k )(x1x2)(1 k )(xi x2)4x1x2T2T2,11、2212x x2)(y1 y2)< x1x2)(y1 w) ( (1 , 2)(y1 ¥2),k kkJ(1 J)

2、(y1 y2)24丫以。3、兩條直線： y k)x bi,l2 : y k2x b2垂直：則 k1k21兩條直線垂直，則直線所在的向量v1?v2 0bc4、韋達te理：右一兀一次方程ax bx c 0(a0)有兩個不同的根x1, x2,則x1x2 , x1x2aa常見的一些題型： 題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系 題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動弦過定點的問題題型四：過已知曲線上定點的弦的問題題型五：共線向量問題 題型六：面積問題題型七：弦或弦長為定值問題題型八：角度問題問題九：四點共線問題問題十：范圍問題(本質(zhì)是函數(shù)問題)四邊形(矩問題H一、存在性問題：(存在點，存在直線 y

3、=kx+m,存在實數(shù)，存在圖形：三角形(等比、等腰、直角)形、菱形、正方形)，圓)題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系22例題1、已知直線l : y kx 1與橢圓C : y- 1始終有交點，求 m的取值范圍 4 m22解：根據(jù)直線l : y kx 1的方程可知，直線恒過定點（0, 1）,橢圓C:上 上 1過動點（0, 4 m22果直線l : y kx 1和橢圓C : 1始終有交點，則 Vm 1,且m 4 ,即1 mH m 4。4 m規(guī)律提示：通過直線的代數(shù)形式，可以看出直線的特點：l: y kx 1 過定點（0,1）l: y k（x 1）過定點（1, 0）l : y 2 k（x 1）

4、過定點（1, 2）題型二：弦的垂直平分線問題例題2、過點T（-1,0）作直線l與曲線N : y2 x交于A、B兩點，在x軸上是否存在一點 E（x0,0）邊三角形，若存在，求出 x0;若不存在，請說明理由。Jm),且m 4 ,如,使得ABE是等解：依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線 l:y k(x 1), k 0, A(x1,y1), B(x2,y2)。y k(x 1)2222由 2消y整理，得k2x2 (2k2 1)x k2 0y x由直線和拋物線交于兩點，得(2 k2 1)24k44k2 1 0由韋達定理，得：x1 x22k2 12, xx2 k，2k2 1 1、AB的中點為（-,

5、）。2k 2k12k211E( 2 -,0)2k 2線段的垂直平分線方程為:111 2k2y ( x 2)令 y=0,得 x02k k 2k1* ABE為正三角形，E（一2*2k21一,0）到直線2AB的距離|ab oJ(x1、22x2)(y1 y2)1 4k2k21 k22k出d 4k2 |k2k2 I丁廠解得k 2k,39滿足式此時x013題型三：動弦過定點的問題2 x 例題3、已知橢圓C:i2 a2-y21(a bb2上的頂點分別為 A(-2,0),A2(2,0)。(I )求橢圓的方程;(II )若直線l : x t(t 2)與x軸交于點任一點，直線 PA,PA2分別與橢圓交于 M0)的

6、離心率為Y3 ,且在x軸2圓的焦點并證明你的結(jié)論解：(I)由已知橢圓C的離心率e,a 2,則得 cJ3,b 1。2從而橢圓的方程為一4(II )設(shè) M (x11y1),N%, y2)，直線AM的斜率為兄，則直線AiM的方程為y ki(x 2),由<(x4y22)消y 4整理得(1 4kl2)x2216k2x 16k2 4 0； 2和入是方程的兩個根，2x1216kl2 41 4k28kl21 4kl24k1y114kl22,即點M的坐標(biāo)為(2_8,4), 1 4kl2 1 4k2同理，設(shè)直線A2N的斜率為k2,則得點N的坐標(biāo)為(8k2 2 -4k2-)1 4k2 1 4k； i1 yp

7、K(t2)，yP k2(t 2) K2,二直線MN的萬程為: ty y1x x1y2y1x2 x1x2y1x1y2 ,將點 Myy2N的坐標(biāo)代入，化簡后得：xi *又J 2,4,，-2：橢圓的焦點為 t(3,0)MN過橢圓的焦點。題型四：過已知曲線上定點的弦的問題例題4、已知點A B、C是橢圓E:橢圓的中心O,且AC|BC 0, |2y 1 (a bAC,如圖。b2P、Q,使得直線 PC與直線QC關(guān)于直線0)上的三點，其中點 A(2j3,0)是橢圓的右頂點，直線 BC過(I)求點C的坐標(biāo)及橢圓E的方程；(II)若橢圓E上存在兩點x J3對稱，求直線PQ的斜率。,且BC過橢圓白中心O解：(I)2

8、0 ACO又：'a(2 V3,o)點 c 的坐標(biāo)為(J3, J3)。 2彳A(2j3,0)是橢圓的右頂點，a 2J3,則橢圓方程為:將點C(J3, J3)代入方程，得b2 42橢圓E的方程為上122 X 122 y 了2y 1 b2得:(1 3k2)x2 6 3k(1 k)x9k218k(II):直線PC與直線QC關(guān)于直線xJ3對稱,設(shè)直線PC的斜率為k ,則直線QC的斜率為k(x V3),即 y kx 73(1 k),J3是方程的一個根,PC的方程為:y kx 73(1 k)消 y,整理 22_x3y 12 0一 2 一 一XP柩一即XP29k 18k 3 r=-同理可得:、 3(1

9、 3k )xQ29k 18k 3工 3(1 3k2)i Vp VqkxP3(1 k)kxQ J3(1 k) = k(xpXq)2V3k= 2k,3(1 3k2)XPXQ9k2 18k 3丫3(1 3k2)9k218k 3.3(1 3k2)3(136k3k2)PQVpxpVqxQ則直線PQ的斜率為定值題型五：共線向量問題例題5、設(shè)過點D(0,3)的直線交曲線M:y24111于P、Q兩點，且DP二IDG ,求實數(shù)A的取值范圍。I I解：設(shè) P(X1,y 1),Q(x 2,y 2), DP 二1DQ . (x 1,y 1-3)= I (x 2,y 2-3)即，x-X2V1 二 3一而2- 3)判別式

10、法、韋達定理法、配湊法設(shè)直線PQ的方程為：ykx 3,k 0,由y kx 3 4x2 9y2消y整理后,36_ 22(4 9k )x54kx 450'P、Q是曲線M上的兩點(54 k)24 45(49k2) = 144k2 80 0即 9k2 5 d由韋達定理得:Xix254 k2，X1X2454 9k2”(Xi x2)2上乂2x227 9kX1X22 2245rh即入J 19k49k221365(1)211由得0 j 1,代入，整理得9k 5當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即x 0時,易知 5或總之實數(shù)A的取值范圍是?5。題型六：面積問題2 x例題6、已知橢圓C: Q a2 y_ b21 （

11、a>b>0）的離心率為46,短軸一個端點到右焦點的距離為33（I）求橢圓C的方程;（n）設(shè)直線l與橢圓C交于A B兩點，坐標(biāo)原點 O到直線l的距離為,求AOB®積的最大值。2解：（I）設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意a6,b 1,a-./3>?2所求橢圓方程為y2 1。3(n)設(shè) A(。y3 B(x2,y2）。（1）當(dāng) ABX x軸時,ABAB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為y kxm 。由已知m_1 k23 2 一(k41)。把y kx m代入橢圓方程，整理得 （3k2 1）x26kmx23m6 kmx1 x2. XiX23k 123(m2 1) O3k2 1AB2(

12、1 k2)(x2K)22(1 k )36k2m2(3k2 1)2-212(m 1)3 k2 112(k2 1)(3k2 1 m2)(3k2 1)23(k2 1)(9k2 1)(3k2 1)2312k29k4 6k2 13一 219k k2(k 0)< 36122 3 64°理時等號成立。當(dāng)k 0時,3AB 4321當(dāng)且僅當(dāng)9k , gp kk綜上所述ABmax 2 ° , _ 一 _1AB3.3omax 22當(dāng)AB最大時，4AOB面積取最大值S 題型七：弦或弦長為定值問題例題7、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，過定點C (0, p)作直線與拋物線 x2=2py (p>

13、;0)相交于A、B兩點。(I)若點N是點C關(guān)于坐標(biāo)原點。的對稱點，求 ANB面積的最小值；(n)是否存在垂直于 y軸的直線l ,使得l 被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由。(I)依題意，點 N的坐標(biāo)為N (0,-p )，可設(shè)A (xi,yi) ,B (X2,y 2),直線AB的方程為y=kx+p,與x2=2py聯(lián)立得x22 py1消去 y 得 x -2pkx-2p =0.由韋達te理得xi+x2=2pk,xix2=-2p.于是 S ABNS BCNS ACN 2 Pxix2ABN BCN ACN12ykx p.2=px1x2p7(xix2)24Kx2 =

14、 p，4p2k2 8p22p27'k2 2.當(dāng)k 0時，(SABN)min 2. 2p2.(n)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為y=a,AC的中點為O,t與AC為直 徑的圓相交于點 P、Q PQ的中點為H,則O H PQ,O點的坐標(biāo)為xi yip I _ _i 1 八 ci 1 '_2'721 /225,丁)OP/c|2”(0p)=2/TVOHa yyp 12a yi p, |PH2 OP2 O H 2 = 1(yi2 p2) ；(2a yi p)2PQ2 (2PH)2 = 4 (a )y2令a - 0,得a2,此時|PQ 22其方程為y p,2a(p a) .p為定

15、值，故滿足條件的直線即拋物線的通徑所在的直線(I)前同解法1,再由弦長公式得解法2:AB 由k2|xik24r(Xx2)24x1x2<1k214p2k28p2= 2p,1 k2 ,k2 2.又由點到直線的距離公式得2p1 k21 一從而，S abn d | ABPQ|x3x4,4(a 1)V1a(p a)2，(a 凱 a(p a).令a p 0,得a E,此時PQ 22p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y E.22 2"1k2 k22:2 2P2 k22,當(dāng) k 0時，(S abn) max 2j2p2.(n)假設(shè)滿足條件的直線t存在，其方程為y=a,則以AC為直徑的圓

16、的方程為(x 0)(x Xi) (y p)(y y1) 0,將直線方程y=a代入得2XXiX (a p)(a %) 0,則=x； 4(a p)(a vJ 4 (a ?) y1 a(p a).設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點為P (X2,y2),Q (X4,y4),則有即拋物線的通徑所在的直線。題型八：角度問題例題8、(如圖(21)圖,M (-2, 0)和N (2, 0)是平面上的兩點，動點P滿足：PM PN| 6. (I)求點P的軌跡方程；(n)若PM PN =,求點P的坐標(biāo).1 cos MPN解：(I)由橢圓的定義，點P的軌跡是以 M N為焦點，長軸長 2a=6的橢圓.o Mini因此半焦距

17、c=2,長半軸a=3,從而短半軸ffl _22b= J a2 c2J5所以橢圓的方程為 1.95(n)由 PM |PN2，得 PM |PN cosMPN1 cosMPN 'PM I PN 2.因為cosMPN1,P不為橢圓長軸頂點，故P、M N構(gòu)成三角形.在PMN MN 4,由余弦定理有2_2_2_MN PM| |PN 2 PMl PN cosMPN.將代入，得 42PMPN2( PM I PN2).故點P在以M N為焦點，實軸長為2、3的雙曲線y2 1 上.由（I ）知，點P的坐標(biāo)又滿足由方程組5X22X29y2 45,3y2 3.解得X3 3_52即P點坐標(biāo)為,33 .5、(T ,

18、 )'223,32.53.3)、 (22問題九：四點共線問題2例題9、設(shè)橢圓C :今a2 y b21(a b0)過點M (J2,1),且著焦點為F1( J2,0)(i)求橢圓C的方程;(n)當(dāng)過點P（4,1）的動直線l與橢圓C相交與兩不同點 A, B時，在線段AB上取點證明:點Q總在某定直線上由題意:_22a2c1b22a1,解得a2b2（2）方法由題設(shè)知從而24,b2 2,所求橢圓方程為4A B的坐標(biāo)分別為（x, y）,（Xi,y1）,（X2,y2）。AP, PB, AQ ,QBX11X1X2X22Xi2 2X2均不為零，記Q四點共線，從而y2y1Q,則 0且1y11y22 yi2

19、2y2丁 y24x , (1),(2)11又點A B在橢圓C上，即22x1 2y1 4,HI(1) + (2) x 2并結(jié)合(3),(4)22x22 y24,得 4s 2y 4MN44即點Q(x, y)總在定直線2x y方法設(shè)點 Q(x, y), A(xi,y1)，B(X2,y2),由題設(shè),pA,pB, aQ,Qb均不為零。又P, A,Q,B四點共線，可設(shè)pAaQ,pB bQ(0, 1)，于xi£彳1彳(1)(2)由于A(xi,y。B(x2,y2)在橢圓C上，將(1),(2)分別代入C的方程x2 2y2 4,整理得2_ 2(x 2y 4)4(2x2)14(3)(x2 2y2 4)4(

20、2x2)14(4)(4) -(3)得 8(2 x2)0,： 2x即點Q(x, y)總在定直線2x y問題十：范圍問題(本質(zhì)是函數(shù)問題)2設(shè)F1、F2分別是橢圓 y21的左、右焦點。4(I)若P是該橢圓上的一個動點，求 PE PF2的最大值和最小值;(n)設(shè)過定點M (0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B,且/ AOB為銳角(其中。為坐標(biāo)原點)，求直線l的斜率k的取值范圍。解：(I)解法一：易知 a 2,b 1,c 石所以 F1石,0 , F2 73,0，設(shè) P x, y，則, 3 x, y , 、，3 x, yX2122_2x_1_2_x2 y2 3 x2 1 33x2 8因為x 2,2

21、 ,故當(dāng)x 0,即點P為橢圓短軸端點時,PF1 pf22有最小值 2當(dāng)x 2,即點P為橢圓長軸端點時，PF1 PF2有最大值1解法二：易知a 2,b1,c 4，所以 F173,0 ,F2 &0，設(shè) P x, y ,則cos F1PF2IIPF1 Ipf2PF1y2 3 （以下同解法一）12 x(D)顯然直線0不滿足題設(shè)條件,可設(shè)直線l ： y kx 2,A。丫2 ,B x2, y2 ,聯(lián)立y2 x4kx消去整理得:k22x 4kx 3XiX24kk2,X1X22m2 81 2k24k4k2 3.30付：k 或k2又00A0B900cosA0B 00OA OBy»20又 yy2

22、2 kx22k x1x22k x1 x23k22 1k 48k2k2k2k2k2k2 14k20,即k2 4故由、得 2 k問題十一、存在性問題:（存在點，存在直線 y=kx+m,存在實數(shù)，存在圖形：三角形（等比、等腰、,四邊形（矩形、菱形、正方形），圓）22_設(shè)橢圓E:" y_ 1 (a,b>0)過M (2, 72), N( 76,1)兩點，O為坐標(biāo)原點,a b(I )求橢圓E的方程;(II )是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點 A,B,且oB若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。22解：(1)因為橢圓E:與ya2

23、b21 (a,b>0)過 M (2, 22 ),N( J6 ,1)兩點,42d1121所以a2b2 解得a28所以a26111b1222a2b2b248橢圓E的方程為土482y4(2)假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且 OoB,設(shè)該圓的切線方程為y kx m解方程組y kx m22 得 x2x y 可x184_2_ 222(kx m) 8,即(1 2k )x24kmx 2m 8 0,則=16k2m2 4(1 2k2)(2m2 8)8(8k2 m2 4) 0,即 8k2 m2 4 0Xix24km1 2k2YiY2(kx1 m)(kx2 m)22k x1x2 km(x1 x2) mX1X22m2 81 2k2222 2k (2 m