中考數(shù)學(xué)常見(jiàn)題型幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題型研究（一）動(dòng)點(diǎn)幾何問(wèn)題例 1：在ABC 中，B=60°,BA=24CM,BC=16CM,(1) 求ABC 的面積；(2) 現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿射線 AB 向點(diǎn) B 方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) Q 從 C 點(diǎn)出發(fā)，沿射線 CB 也向點(diǎn) B 方向運(yùn)動(dòng)。如果點(diǎn) P 的速度是 4CM/秒，點(diǎn) Q 的速度是 2CM/秒，它們同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，PBQ 的面積 ABC 的面積的B一半(3)在第（2）問(wèn)題前提下，P,Q 兩點(diǎn)之間的距離是多少CA例 2: ()已知正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)是 1，E 為 CD 邊的中點(diǎn)， P 為正方形 ABCD 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)

2、，沿 A B C E 運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn) E.若點(diǎn) P 經(jīng)過(guò)的路程為自變量 x，APE的面積為函數(shù) y，（1）寫出 y 與 x 的關(guān)系式(2)求當(dāng) y13時(shí)，x 的值等于多少例 3：如圖 1 ，在直角梯形 ABCD 中，B=90°，DCAB，動(dòng)點(diǎn) P 從 B 點(diǎn)出發(fā)，沿梯形的邊由 BC D A 運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)的路程為 x ABP 的面積為 y , 如果關(guān)于 x 的函數(shù) y 的圖象如圖 2 所示 ，那么ABC 的 面積為（ ）A32 B18 C16 D10y例 4：直線 y =-34x +6與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P、Q同時(shí)從OB點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá) A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止點(diǎn) Q 沿線段

3、 OA運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 1 個(gè)單P位長(zhǎng)度，點(diǎn) P 沿路線 O B A運(yùn)動(dòng)（1）直接寫出 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；O Q Ax（2）設(shè)點(diǎn) Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒， OPQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)S =485時(shí)，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn) O、P、 Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn) M 的坐標(biāo)例 5：已知：等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)為 4 厘米，長(zhǎng)為 1 厘米的線段 MN 在 ABC 的邊 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米/秒的速度向 B 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，點(diǎn) M 與點(diǎn) A 重合，點(diǎn) N 到達(dá)點(diǎn) B 時(shí)運(yùn)動(dòng)終止），過(guò)點(diǎn) M 、 N 分別作AB邊的垂線，與 ABC 的其它邊交

4、于P、Q兩點(diǎn)，線段 MN 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（1） 線段 MN 在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中， t 為何值時(shí)，四邊形 MNQP 恰為矩形并求出該矩形的面積；（2） 線段 MN 在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形 MNQP 的面積為 S ，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t 求四邊形 MNQP 的面積 S隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍CQP例 6：如圖（ 3 ），在梯形 ABCD 中， DC AB，ÐA =90°，AD =6厘米，A M NBDC =4 厘米，BC 的坡度 i =34，動(dòng)點(diǎn) P 從 A 出發(fā)以 2 厘米/秒的速度沿 AB 方向向點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn) B出發(fā)以 3 厘米/秒的速度沿

5、B ® C ® D方向向點(diǎn)DCD運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停Q止設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t 秒（1）求邊 BC 的長(zhǎng)；AP E圖（3）B（2）當(dāng) t 為何值時(shí)， PC 與 BQ相互平分；（3）連結(jié) PQ，設(shè) PBQ 的面積為 y，探求 y 與 t 的函數(shù)關(guān)系式，求 t 為何值時(shí)， y 有最大值最大值是多少二、利用函數(shù)與方程的思想和方法將所解決圖形的性質(zhì)（或所求圖形面積）直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方 程。例 7：如圖，已知 ABC中， AB =AC =10厘米，BC =8厘米，點(diǎn) D 為 AB 的A中點(diǎn)（1）如果點(diǎn) P 在線段 BC 上以 3 厘米/

6、秒的速度由 B 點(diǎn)向 C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn) QDQ在線段 CA 上由 C 點(diǎn)向 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)BPC若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò) 1 秒后 BPD與CQP是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；若點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn) P 的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn) Q 的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使 BPD 與 CQP 全 等（2）若點(diǎn) Q 以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) C 出發(fā)，點(diǎn) P 以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn) B 同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿 ABC 三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 第一次在 ABC 的哪條邊上相遇例 8：如圖，在梯形 ABCD 中，AD BC，AD =3，DC =5，AB =4 2，B =45°

7、動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段 BC以每秒 2 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn) N 同時(shí)從 C 點(diǎn)出發(fā)沿線段 CD 以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）求 BC的長(zhǎng)（2） 當(dāng) MN AB 時(shí)，求 t 的值（3） 試探究： t 為何值時(shí)， MNC 為等腰三角形例 9：（如圖，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC90º，AB12cm，AD8cm，BC22cm，AB 為O 的直徑，動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開(kāi)始沿 AD 邊向點(diǎn) D 以 1cm/s 的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) C 開(kāi)始沿 CB 邊向點(diǎn) B 以 2cm/s 的速度運(yùn)動(dòng)， P、Q 分別從點(diǎn) A、C 同

8、時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t(s)(1) 當(dāng) t 為何值時(shí)，四邊形 PQCD 為平行四邊形(2) 當(dāng) t 為何值時(shí)，PQ 與O 相切A P DA PDOOBQCBQC例 10.如圖，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分別從 A，B，C，D 出發(fā)沿 AD，BC，CB，DA 方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ=xcm(x ¹0)，則 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm（1）當(dāng) x 為何值時(shí)，以 PQ，MN 為兩邊,以矩形的邊（AD 或 BC）的一部

9、分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；()（2） 當(dāng) x 為何值時(shí)，以 P，Q，M，N 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；（3） 以 P，Q，M，N 為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形如果能，求 x 的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由AP NDBQ M（第 25 題）C練習(xí) 11正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 2cm ，在對(duì)稱中心 O 處有一釘子動(dòng)點(diǎn) P ，Q 同時(shí)從點(diǎn) A 出發(fā)，點(diǎn) P 沿 A ® B ® C方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿A ® D方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D停止P，Qx兩點(diǎn)用一條可伸縮的細(xì)橡皮筋聯(lián)結(jié)，設(shè)秒后橡皮筋掃過(guò)的面積為0 x 1 時(shí)，求 y 與 x 之

10、間的函數(shù)關(guān)系式；（1）當(dāng)ycm2BCP（2）當(dāng)橡皮筋剛好觸及釘子時(shí)，求 x 值；O（3）當(dāng) 1 x 2 時(shí)，求 y 與停止時(shí)POQ 的變化范圍；x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出橡皮筋從觸及釘子ABQPDC到運(yùn)動(dòng)O（4）當(dāng)0 x 2時(shí)，請(qǐng)?jiān)诮o出的直角坐標(biāo)系中畫出 y 與 x 之間的函數(shù)圖象解 （1）當(dāng)0 x 1時(shí)，AP =2 x，AQ =x，y =12AQ AP =x2，A3yQDy =x即（2）當(dāng)2S = 四邊形ABPQ12S正方形ABCD時(shí)，橡皮筋剛好觸及釘子，21BP =2 x -2，AQ =x，1 1 4 2 x -2 +x ´2 = ´2 2 ， x =2 2 3O12

11、x4（3）當(dāng) 1 x 時(shí)， AB =23PB =2 x -2 ， AQ =x ，3y y =AQ +BP x +2 x -2AB = ´2 =3 x -2 2 2，2即y =3 x -21作OE AB，E為垂足O142x當(dāng)43 x 2 時(shí)， BP =2 x -2 ， AQ =x ， OE =1 ，32DACD梯形 OBCD2y =S梯形 BEOP+S梯形 OEAQ=1 +2 x -2 1 +x 3 3 ´1+ ´1 = x ，即 y = x 2 2 2 290 POQ 180（4）如圖所示：或180 POQ 2702.如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線 AB 與 x 軸

12、, y 軸分別交于 A(3,0),B(0, 3 )兩點(diǎn), ,點(diǎn) C 為線段 AB 上的一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn) C 作 CDx軸于點(diǎn) D.(1)求直線 AB 的解析式;(2)若S梯形 OBCD4 33,求點(diǎn) C 的坐標(biāo);(3)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn) P,使得以 P,O,B 為頂點(diǎn)的 三角形與OBA 相似.若存在,請(qǐng)求出所有符合條件 的點(diǎn) P 的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解（1）直線 AB 解析式為：y=-33x+ 3 （2）方法一：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-3 3 x+ 3 ），那么 ODx，CD -3 3x+3S梯形 OBCD(OB+CD )´CD2-36x2+ 3由題意：-3 4 3x + 3 ，

13、解得 6 3x =2, x =4 1 2（舍去） （，33）方法二：SDAOB=1 3 3 4 3 3 OA ´OB = , S ， S =2 2 3 6由 OA=3OB，得BAO30°，AD=3CDSDACD123 3 3CD×AD CD 可得 CD 2 6 3 AD=，ODC（，（）當(dāng)OBPRt時(shí)，如圖33）若BOPOBA 則BOPBAO=30°，BP=3OB=3，P1（3，33）334324若BPOOBA 則BPOBAO=30°,OP=33OB=1P2（1，3）當(dāng)OPBRt時(shí) 過(guò)點(diǎn) P 作 OPBC 于點(diǎn) P(如圖)，此時(shí)PBOOBA B

14、OPBAO30° 過(guò)點(diǎn) P 作 PMOA 于點(diǎn) M方法一： 在 RtPBO 中，BP1 3 3 OB ，OP 3 BP 2 2 2 在 RtPO 中，OPM30°， OM1 3 3 3 3 3 3 OP ；PM 3 OM P （ ， ）2 4 4 4 4方法二：設(shè)（x ，-3 3 x+ 3 ），得 OMx ，PM -3 3x+3由BOPBAO,得POMABOtanPOM=PMOM=3- x + 33x，tanABOC=OAOB=3-33x+333 3 3 3x，解得 x 此時(shí)， P （ ， ）4 4 4若POBOBA(如圖)，則OBP=BAO30°，POM30&#

15、176; PM3 3OM 3 4P4（3 3， ）（由對(duì)稱性也可得到點(diǎn) P 的坐標(biāo)） 4 4當(dāng)OPBRt時(shí)，點(diǎn) P 在軸上,不符合要求.綜合得，符合條件的點(diǎn)有四個(gè)，分別是：P1（3，333 3 3 3 3）， P （1， 3 ）， P （ ， ）， P （ ， ）4 4 4 4解3如圖所示，在平面直角坐標(biāo)中，四邊形 OABC 是等腰梯形，BCOA，OA=7，AB=4， COA=60°，點(diǎn) P 為 x 軸 上的個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) P 不與點(diǎn) 0、點(diǎn) A 重合連結(jié) CP，過(guò)點(diǎn) P 作 PD 交 AB 于點(diǎn) D(1) 求點(diǎn) B 的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)什么位置時(shí)，OCP 為等腰三角形，求這時(shí)

16、點(diǎn) P 的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn) P 運(yùn)動(dòng)什么位置時(shí)，使得CPD=OAB，且 (1)作 BQx 軸于 Q. 四邊形 ABCD 是等腰梯形,BAQCOA60°在 RtBQA 中,BA=4,BD 5= ，求這時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)。 AB 8BQ=AB·sinBAO=4×sin60°=2 3AQ=AB·cosBAO=4×cos60°=2,OQ=OA-AQ=7-2=5點(diǎn) B 在第一象限內(nèi),點(diǎn) B 的的坐標(biāo)為(5,2 3)(2)若OCP 為等腰三角形,COP=60°,此時(shí)OCP 為等邊三角形或是頂角為 120°的等腰三角形若

17、OCP 為等邊三角形,OP=OC=PC=4,且點(diǎn) P 在 x 軸的正半軸上,點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(4,0)若OCP 是頂角為 120°的等腰三角形,則點(diǎn) P 在 x 軸的負(fù)半軸上,且 OP=OC=4 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(-4,0)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(4,0)或(-4,0)(3)若CPD=OABCPA=OCP+COP而OAB=COP=60°,OCP=DPA此時(shí)OCPADPOP OC=AD APBD 5=AB 8AB =2 221 325 BD =5 58 2,AD=AB-BD=4-5 3=2 2AP=OA-OP=7-OPOP 4=3 7 - OP2得 OP=1 或 6點(diǎn) P 坐標(biāo)為(

18、1,0)或(6,0).4 已知：如圖，在 RtABC 中，C=900，AC=4cm，BC=3cm，點(diǎn) P 由 B 出發(fā)沿 BA 方向向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 1cm/s；點(diǎn) Q 由 A 出發(fā)沿 AC 方向向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 2cm/s；連接 PQ若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t（s）（0<t<2），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng) t 為何值時(shí)，PQBC（2）設(shè)AQP 的面積為 y（cm2），求 y 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻 t，使線段 PQ 恰好把 RtABC 的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分若存在，求出此時(shí) t 的值；若不存在，說(shuō)明理由；（4）如圖，連接 PC，并把PQC沿 QC 翻折，得到四邊形 PQPC，那么是否存在某一時(shí)刻 t，使四邊形 PQPC 為菱形若存在，求出此時(shí)菱形的 邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由解：（1）在 RtABC 中， AB = BC +AC =5 ，由題 意知：AP = 5t，AQ = 2t，A Q圖BPH C若 PQBC，則APQ ABC，（2）過(guò)點(diǎn) P 作 PHAC 于 H APH AB