一線三等角專題訓(xùn)練

1、一、問題引入如圖，ABC中，B求證： ABBA CED一線三等角問題90 , CD AC，過D作DE AB交BC延長線與 巳其他常見的一線三等角圖形（等腰三角形中底邊上一線三等角）角）（等腰梯形中底邊上一線三等F（直角坐標(biāo)系中一線三等角）（矩形，正方形中一線三等角）（1）等腰三角形中一線三等角例1、如圖，已知在厶ABC中，AB=AC=6, BC=5, D 是 AB 上一點，BD=2, E 是 BC 上一動點，聯(lián)結(jié)DE,并作 DEFB，射線EF交線段AC于F.(1)求證： DBEA ECF；（2）當(dāng)F是線段AC中點時,求線段BE的長；（3）聯(lián)結(jié)DF,如果 DEF與厶DBE相似，求FC的長.（1、

2、 本題中，第一問的結(jié)論是這類題共同的特性，只要等腰三角形底邊上有三等角，（必用圖） 有三角形相似；（2、 第二問中根據(jù)相似求線段的長，也很常見；有時候會反過來問，線段的長是多少時,三角線相似。變式練習(xí) 1就是這類題型；（3、 第三問，中間的三角形與左右兩個形似時，有兩種情況，一種是DF與底邊平行，一種是E為中點；（4、 在等腰梯形中，將腰延長會交于一點，也構(gòu)成等腰三角形，故而以上三點，在等腰 梯形中也適用。變式練習(xí)1 （浦東新區(qū)22題）如圖，已知等邊厶 ABC的邊長為8，點D、F、E分別在邊 AB、BC、AC上，BD 3，E為AC中點，當(dāng) BPD與厶PCE相似時，求 BP的值變式練習(xí)2 （寶山

3、22題）如圖6，已知 ABC中，AB AC ,點E、F在邊BC上，滿足/ EAF =/ C.求證:2BF CE AB ；（2 ）等腰梯形中一線三等角 例2.（長寧區(qū)18題）如圖，等腰梯形 ABCD中，AD / BC , AD .2 , BC 4.2 ,/ B 45?,直角三角板含45度角的頂點E在邊BC上移動，一直角邊始終經(jīng)過點A，斜邊與CD交于點F 若 ABE為等腰三角形，則 CF的長等于.EC例3（徐匯區(qū)25）.如圖，在梯形ABCD中，AD / BC , AB CD BC 6 , AD 3 點M為邊BC的中點，以M為頂點作 EMF 交腰CD于點F，聯(lián)結(jié)EF (1) 求證： MEF BEM

4、;(2) 若厶BEM是以BM為腰的等腰三角形，求(3) 若EF CD，求BE的長.B，射線ME交腰AB于點E，射線MFEF的長;例4、(楊浦區(qū)基礎(chǔ)考) 四邊形ABCD中，AD / BC , ABC0°90° ,AB DC 3, BC 5 點P為射線BC上動點(不與點 B、C重合)，點E在直線DC上，且 APE 記 PAB 1, EPC2, BP x, CE y .(1) 當(dāng)點P在線段BC上時，寫出并證明1與 2的數(shù)量關(guān)系；(2) 隨著點P的運動，(1)中得到的關(guān)于1與 2的數(shù)量關(guān)系，是否改變?nèi)粽J為不改變,請證明；若認為會改變，請求出不同于(1)的數(shù)量關(guān)系，并指出相應(yīng)的 x的

5、取值范圍；1(3 )若cos =，試用x的代數(shù)式表示y .(3) 坐標(biāo)系中一線三等角4例5.(金山區(qū)24)如圖，住平面直角系中，直線 AB : y -x 4 a 0分別交x軸、ya軸于B、A兩點，直線AE分別交x軸、y軸于E、A兩點，D是x軸上的一點，OA OD，過D作CD x軸交AE于C，連接B C，當(dāng)動點B在線段OD上運動(不與點0點D重合)且AB BC時(1)求證： ABO s BCD ;求線段CD的長(用a的代數(shù)式表示)；13(3)若直線AE的方程是yx b，求tan BAC的值.16變式練習(xí)3、在平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)OB 900, A 60°,點 A 的坐標(biāo)為.3,1(1) 求

6、點B的坐標(biāo)；(2) 若拋物線y ax2 bx c經(jīng)過A、O、B三點，求函數(shù)解析式。(4) 矩形中一線三等角例6、(長寧區(qū)24題).如圖，在矩形 ABCD中，AB 4 , AD 6，點P是射線DA上 的一個動點，將三角板的直角頂點重合于點 P，三角板兩直角中的一邊始終經(jīng)過點 C，另 一直角邊交射線BA于點E (1) 判斷 EAP與厶PDC 一定相似嗎請證明你的結(jié)論；(2) 設(shè)PD x , AE y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；(3) 是否存在這樣的點 P，是 EAP周長等于厶PDC周長的2倍若存在，請求出 PD的 長度；若不存在，請簡要說明理由.p一線三等角與因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題的綜合題目(徐匯 24)如圖，等腰梯形ABCD 中，AD II BC , AB DC 5, AD =2, BC =8,MEN B MEN的頂點E在邊BC上移動，一條邊始終經(jīng)過點A，另一邊與CD交于點F ,聯(lián)接AF.(1) 設(shè)BE x, DF y，試建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)定義域;(2) 若 AEF為等腰三角形，求出 BE的長.4（虹口期中 24）梯形 ABCD,AD/ BC,AB=CD=5 AD=, sinB=-,E 在 AB 邊上，BE=3, P 是 BC上動5點，聯(lián)結(jié)