迅達高中數(shù)學時簡單線性規(guī)劃的應用同步導學案北師大版必修

1、【迅達教育 助你成才】簡單線性規(guī)劃的應用講義（第3課時）知能目標解讀1.能從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題.2.能利用簡單線性規(guī)劃知識解決實際問題.重點難點點撥重點：1.準確理解題意，由線性約束條件列出不等式，找出目標函數(shù).2.數(shù)形結合找出最優(yōu)解的存在位置，特別是整數(shù)最優(yōu)解問題.難點：最優(yōu)解存在位置的探求和整點最優(yōu)解的找法.學習方法指導1.列線性規(guī)劃問題中的線性約束條件不等式時，要準確理解題意，特別是“至多”、“至少”“不超過”等反映“不等關系”的詞語.還要注意隱含的限制條件，如x、y是正數(shù).x、y是正整數(shù)等等.有時候把約束條件用圖示法或列表表示，便于準確的寫出不等式組.2.線性規(guī)

2、劃的應用：線性規(guī)劃也是求值的一種，是求在某種限制范圍之下的最大值或最小值的問題，其關鍵是列出這些限制條件，不能有遺漏的部分，如有時變量要求為正實數(shù)或自然數(shù).其次是準確找到目標函數(shù)，如果數(shù)量關系多而雜，可以用列表等方法把關系理清.應用線性規(guī)劃的方法，一般須具備下列條件：（1）一定要能夠?qū)⒛繕吮磉_為最大或最小化的問題；（2）一定要有達到目標的不同方法，即必須要有不同選擇的可能性存在；（3）所求的目標函數(shù)是有約束（限制）條件的；（4）必須將約束條件用數(shù)字表示為線性等式或線性不等式，并將目標函數(shù)表示為線性函數(shù).線性規(guī)劃的理論和方法經(jīng)常被應用于兩類問題中：一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使

3、用其完成最多的任務；二是給定一項任務，如何合理安排和規(guī)劃，能用最少的人力、物力、資金等資源來完成這項任務.3.解線性規(guī)劃應用題的步驟：（1）轉化設元，寫出約束條件和目標函數(shù)，從而將實際問題轉化為數(shù)學上的線性規(guī)劃問題.(2)求解解這個純數(shù)學的線性規(guī)劃問題.求解過程：作圖畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平面直線系中的任意一條直線l.平移將l平行移動，以確定最優(yōu)解所對應的點的位置.求值解有關方程組求出最優(yōu)解的坐標，再代入目標函數(shù)，求出目標函數(shù)的最值.（3）作答就應用題提出的問題作出回答.4.可行域內(nèi)最優(yōu)解為整點的問題的處理用圖解法解線性規(guī)劃題時，求整數(shù)最優(yōu)解是個難點，對作圖精確度要求較

4、高，平行直線系f(x,y)t的斜率要畫準，可行域內(nèi)的整點要找準.那么如何解決這一實際問題呢？確定最優(yōu)整數(shù)解常按以下思路進行：(1)若可行域的“頂點”處恰好為整點，那么它就是最優(yōu)解（在包括邊界的情況下）；(2)若可行域的“頂點”不是整點或不包括邊界時，一般采用網(wǎng)格法，即先在可行域內(nèi)打網(wǎng)格、描整點、平移直線l、最先經(jīng)過或最后經(jīng)過的整點坐標是整數(shù)最優(yōu)解.這種方法依賴作圖，所以作圖應盡可能精確，圖上操作盡可能規(guī)范.(3)采用優(yōu)值調(diào)整法，此法的一般步驟為：先求出非整點最優(yōu)解及其相應的最優(yōu)值；調(diào)整最優(yōu)值，代入約束條件，解不等式組；根據(jù)不等式組的解篩選出整點最優(yōu)解.知能自主梳理線性規(guī)劃解決的常見問題有問題、

5、問題、問題、問題、問題等.答案物資調(diào)配產(chǎn)品安排合理下料產(chǎn)品配方方案設計思路方法技巧命題方向求實際應用問題中的最大值例1某公司計劃2011年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘.已知甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元，問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？分析設出未知數(shù)，列出約束條件，作出可行域，確定最優(yōu)解.解析設公司在甲、乙兩個電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元.由題意得x+y

6、300500x+200y90000，目標函數(shù)為z=3000x+2000y.x0，y0 x+y300二元一次不等式組等價于 5x+2y900 ，x0，y0作出可行域（如圖所示），如上圖，作直線l:3000x+2000y=0,當直線z=3000x+2000y過點M時，z最大. x+y=300由 ，得M（100，200）.5x+2y=900zmax=3000×100×+2000×200=700 000(元).因此該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大值為70萬元.說明解答線性規(guī)劃應用題應注意以下幾點：（1）在線性規(guī)劃問題的應用

7、中，常常是題中的條件較多，因此認真審題非常重要；（2）線性約束條件中有無等號要依據(jù)條件加以判斷；（3)結合實際問題，分析未知數(shù)x、y等是否有限制，如x、y為正整數(shù)、非負數(shù)等；（4）分清線性約束條件和線性目標函數(shù)，線性約束條件一般是不等式，而線性目標函數(shù)卻是一個等式；（5）圖對解決線性規(guī)劃問題至關重要，關鍵步驟基本上都是在圖上完成的，所以作圖應盡可能地準確，圖上操作盡可能規(guī)范.但作圖中必然會有誤差，假如圖上的最優(yōu)點不容易看出時，需將幾個有可能是最優(yōu)點的坐標都求出來，然后逐一檢查，以確定最優(yōu)解.變式應用1某公司計劃在今年內(nèi)同時出售變頻空調(diào)機和智能洗衣機，由于這兩種產(chǎn)品的市場需求量非常大，有多少就能

8、銷售多少，因此該公司要根據(jù)實際情況（如資金、勞動力）確定產(chǎn)品的月供應量，以使得總利潤達到最大.已知對這兩種產(chǎn)品有直接限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關于這兩種產(chǎn)品的有關數(shù)據(jù)如下表：資金單位產(chǎn)品所需資金（百元）月資金供應量（百元）空調(diào)機洗衣機成本3020300勞動力(工資)510110單位利潤68試問：怎樣確定兩種貨物的月供應量，才能使總利潤達到最大，最大利潤是多少？解析設生產(chǎn)空調(diào)機x臺，洗衣機y臺，則30x+20y30000，5x+10y11000x，yN, 3x+2y3000即 x+2y2200，利潤z=6x+8y. x,yN 3x+2y=3000 x=400 由 ，得 . x+2y

9、=2200 y=900畫圖可知當直線6x+8y=z經(jīng)過可行域內(nèi)點A（400，900）時，z取最大值，zmax=6×400+8×900=9600（百元）.答：當生產(chǎn)空調(diào)機400臺，洗衣機900臺時，可獲最大利潤96萬元.命題方向求實際應用問題中的最小值例2某營養(yǎng)師要為某個兒童預訂午餐和晚餐.已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C.一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C.如果一個單位的午餐、晚餐的費用

10、分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐？分析可以先設出未知數(shù)，列出約束條件和目標函數(shù)，再在可行域內(nèi)找出最優(yōu)解.解析設需要預訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位，所花的費用為z元，則依題意得：z=2.5x+4y,且x,y滿足x0，y0,x0，y012x+8y64.即 3x+2y16 .6x+6y42 x+y76x+10y54 3x+5y27讓目標函數(shù)表示的直線2.5x4y=z在可行域上平移.由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)處取得最小值.(如圖)因此，應當為該兒童預訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐，就可滿足要求.變

11、式應用2某公司租賃甲、乙兩種設備生產(chǎn)A、B兩類產(chǎn)品，甲種設備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件，乙種設備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.已知設備甲每天的租賃費為200元，設備乙每天的租賃費為300元.現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件，B類產(chǎn)品140件，所需租賃費最少為元.答案2300分析甲、乙兩種設備每天生產(chǎn)A類、B類產(chǎn)品件數(shù)已知；甲、乙兩種設備的租賃已知；生產(chǎn)A類、B類產(chǎn)品數(shù)量已知.解答本題可先設出變量，建立目標函數(shù)和約束條件，轉化為線性規(guī)劃問題來求解.解析設需租賃甲種設備x臺，乙種設備y臺，租賃費z元， 5x+6y50由題意得 10x+20y140x,y0且x,yN,z=200

12、x+300y.作出如圖所示的可行域.令z=0,得l0:2x+3y=0,平移l0可知，當l0過點A時，z有最小值. 5x+6y=50又由 ，得A點坐標為（4，5）.10x+20y=140所以zmax=4×200+5×300=2300.探索延拓創(chuàng)新命題方向線性規(guī)劃中的整點問題例3要將兩種大小不同的鋼板截成A、B、C三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示： 規(guī)格類型鋼板類型A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板212第二種鋼板123今需要A、B、C三種規(guī)格的成品分別為15、18、27塊，問各截這兩種鋼板多少張可得所需三種規(guī)格的成品，且使所用鋼板張數(shù)最少.解析設需截第一

13、種鋼板x張，第二種鋼板y張.2x+y15可得x+2y18，且x,y都是整數(shù)，2x+3y27x0,y0求目標函數(shù)z=x+y取最小值時的x,y.作出可行域如圖所示：平移直線z=x+y可知直線經(jīng)過點（，）時，z取最小值.此時x+y=，但與都不是整數(shù)，所以可行域內(nèi)點（，）不是最優(yōu)解.如何求整點最優(yōu)解呢？法一：平移求解法：首先在可行域內(nèi)打網(wǎng)格，其次找出A（）附近的所有整點，接著平移直線l:x+y=0，會發(fā)現(xiàn)當移至B（3，9），C（4，8）時，直線與原點的距離最近，即z的最小值為12.法二：特值驗證法:由法一知，目標函數(shù)取得最小值的整點應分布在可行域的左下側靠近邊界的整點，依次取滿足條件的整點A0（0，1

14、5），A1（1，13），A2（2，11），A3（3，9），A4（4，8），A5（5，8），A6（6，7），A7（7，7），A8（8，7），A9（9，6），A10（10，6），A27（27，0）.將這些點的坐標分別代入z=x+y，求出各個對應值，經(jīng)驗證可知，在整點A3（3，9）和A4（4，8）處z取得最小值.法三：調(diào)整優(yōu)值法:由非整點最優(yōu)解（）知，z=,z12，令x+y=12,則y=12-x代入約束條件整理，得3x,x=3,x=4，這時最優(yōu)整點為（3，9）和（4，8）.變式應用3某人有樓房一幢,室內(nèi)面積共計180 m2，擬分割成兩類房間作為旅游客房.大房間每間面積為18 m2，可住游客5名，每名

15、旅客每天住宿費40 元；小房間每間面積為15 m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿費為50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需600元.如果他只能籌款8000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應隔出大房間和小房間各多少間，能獲得最大收益？解析設隔出大房間x間，小房間y間，收益為z元，則x,y滿足18x+15y180 6x+5y601 000x+600y8 000，即 5x+3y40x0，y0， x0，y0z=200x+150y.作出可行域，如圖所示.當直線z=200x+150y經(jīng)過可行域上的點M時，z最大. 6x+5y=60解方程組 ，得點M的坐標為（），5x+3y=40由于點B

16、的坐標不是整數(shù)，而最優(yōu)解（x,y）是整點，所以可行域內(nèi)點M（）不是最優(yōu)解.經(jīng)驗證：經(jīng)過可行域內(nèi)的整點，且使z=200x+150y取得最大值，整點是（0，12）和（3，8），此時zmax=1800元.答：應只隔出小房間12 間，或大房間3 間、小房間8 間，可以獲得最大利潤，最大利潤為1800元.名師辨誤做答例4已知一元二次方程x2+ax+b=0的一個根在-2與-1之間，另一個根在1與2之間，如圖示以a,b為坐標的點（a,b）的存在范圍.并求a+b的取值范圍.誤解令f（x）=x2+ax+b.由題設f（-2）0 2a-b-40 f（-1）0 ， a-b-10 ， f（1）0 a+b+10f（2）0

17、 2a+b+40 作出平面區(qū)域如圖.令t=a+b，則t是直線b=-a+t的縱截距，顯然當直線b=-a+t與直線a+b+1=0重合時，t最大，tmax=-1.當直線b=-a+t經(jīng)過點（0，-4）時.t最小，tmin=-4，-4t-1.辨析誤解中忽視了點（a,b）的存在范圍不包含邊界.正解令f（x）=x2+ax+b.由題設f（-2）0 2a-b-40f（-1）0， a-b-10f（1）0 a+b+10f（2）0 2a+b+40 ,作出平面區(qū)域如圖.令t=a+b，則t是直線b=-a+t的縱截距，顯然當直線b=-a+t與直線a+b+1=0重合時，t最大，tmax=-1.當直線b=-a+t經(jīng)過點（0，-

18、4）時.t最小，tmin=-4，又點（a,b）的范圍是如圖陰影部分且不含邊界，-4<t<-1.課堂鞏固訓練一、選擇題1.某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸.銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是（）A.12萬元B.20萬元C.25萬元D.27萬元答案D解析設生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸時，則獲得的利潤為z5x+3y.x0由題意，得 y0 ，3x+y132x+3y18可行域如圖陰影所示.由圖可知當

19、x、y在A點取值時，z取得最大值，此時x=3,y=4, z=5×3+3×427（萬元）.2.有5輛載重6噸的汽車，4輛載重4噸的汽車，要運送最多的貨物，設需載重6噸的汽車有x輛，載重4噸的汽車y輛，則完成這項運輸任務的線性目標函數(shù)為（）A.z=6x+4yB.z=5x+4yC.z=x+yD.z=4x+5y答案A3.某加工廠用某原料由甲車間加工出A產(chǎn)品，由乙車間加工出B產(chǎn)品，甲車間加工一箱原料需耗費工時10小時可加工出7千克A產(chǎn)品，每千克A產(chǎn)品獲利40元，乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時可加工出4千克B產(chǎn)品，每千克B產(chǎn)品獲利50元.甲、乙兩車間每天共能完成至多70箱原料的加工

20、，每天甲、乙兩車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計劃為（）A.甲車間加工原料10箱，乙車間加工原料60箱B.甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱C.甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱D.甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱答案B解析設甲車間加工原料x箱，乙車間加工原料y箱，由題意可知x+y7010x+6y480，x0y0甲、乙兩車間每天總獲利為z=280x+200y.畫出可行域如圖所示.點M（15，55）為直線x+y=70和直線10x+6y=480的交點，由圖像知在點M（15，55）處z取得最大值.二、填空題4.(2010·陜西)

21、鐵礦石A和B的含鐵率為a,冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c，如下表：ab(萬噸)c(百萬元)A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9（萬噸）鐵，若要求CO2的排放量不超過2（萬噸），則購買鐵礦石的最少費用為（百萬元）.答案15解析設購買A,B兩種礦石分別為x萬噸、y萬噸,購買鐵礦石的費用為z百萬元，則z=3x+6y.由題意可得約束條件為1.9x+y2 ，x0y0作出可行域如圖所示，由圖可知，目標函數(shù)z=3x+6y在點A（1，2）處取得最小值,zmin=3×1+6×2=15.課后強化作業(yè)一、選擇題1.在ABC中，三頂點分別為A（2，4），B

22、（-1，2），C（1，0），點P（x，y）在ABC內(nèi)部及其邊界上運動，則m=y-x的取值范圍為（）A.1，3B.-3，1C.-1，3D.-3，-1答案C解析直線m=y-x,斜率k1=1kAB=，經(jīng)過C時m最小為-1，經(jīng)過B時m最大為3. x+y-302.設z=x-y，式中變量x和y滿足條件 ，則z的最小值為（）x-2y0A.1B.-1C.3D.-3答案A解析作出可行域如圖中陰影部分.直線z=x-y即y=x-z.經(jīng)過點A（2，1）時，縱截距最大，z最小. zmin=1.3.設變量x,y滿足|x|+|y|1,則x+2y的最大值和最小值分別為（）A.1,-1B.2,-2C.1,-2D.2,-1答案B

23、解析本題主要考查線性規(guī)劃問題.不等式|x|+|y|1表示的平面區(qū)域如圖所示，當目標函數(shù)z=x+2y 過點(0,-1),(0,1)時，分別取最小和最大值，所以x+2y的最大值和最小值分別為2,-2,故選B.4.某廠擬用集裝箱托運甲、乙兩種貨物，集裝箱的體積、重量、可獲利潤和托運能力限制數(shù)據(jù)列在下表中，那么，為了獲得最大利潤，甲、乙兩種貨物應各托運的箱數(shù)為（）貨物體積每箱(m3)重量每箱50 kg利潤每箱(百元)甲5220乙4510托運限制2413A.4，1B.3，2C.1，4D.2，4答案A 5x-11y-225.某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y需滿足約束條件 2x+3y9 ，則z=10

24、x+10y2x11的最大值是（）A.80B.85C.90D.95答案C 5x-11y-22解析畫出不等式組 2x+3y9 表示的平面2x11區(qū)域，如右圖所示.x=由 ，解得A()5x-11y=-22 而由題意知x和y必須是正整數(shù)，直線y=-x+向下平移經(jīng)過的第一個整點為（5，4）.z=10x+10y取得最大值90，故選C. x+y-106.已知 x-y+10,z=x2+y 2-4x-4y+8，則z的最小值為（）y1A.B.C.D.答案B解析畫出可行域如圖所示.z=(x-2) 2+(y-2) 2為可行域內(nèi)的點到定點（2，2）的距離的平方，zmin= ()2=.7.某學校用800元購買A、B兩種教

25、學用品，A種用品每件100元，B種用品每件160元，兩種用品至少各買一件，要使剩下的錢最少，A、B兩種用品應各買的件數(shù)為（）A.2件，4件B.3件，3件C.4件，2件D.不確定答案B解析設買A種用品x件，B種用品y件，剩下的錢為z元，則x1y1 ，100x+160y800求z=800-100x-160y取得最小值時的整數(shù)解（x,y），用圖解法求得整數(shù)解為（3，3）.8.某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車.某天需送往A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運送一次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450元；派用的每

26、輛乙型卡車需配1名工人；運送一次可得利潤350元，該公司合理計劃當天派用兩類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤z=（）A.4650元B.4700元C.4900元D.5000元答案C解析設當天派用甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，由題意得2x+y19x+y1210x+6y720x8 .0y7x,yN設每天的利潤為z元，則z450x+350y.畫出可行域如圖陰影部分所示 x+y=12由圖可知z=450x+350y=50(9x+7y),經(jīng)過點A時取得最大值，又由 得2x+y=19x=7 即A(7，5)y=5當x=7,y=5時，z取到最大值，zmax=450×7350×54900（元）.故選C.

27、二、填空題 x+y19.設x、y滿足約束條件 yx ，則z=2x+y的最大值是.y0答案2解析可行域如圖,當直線z=2x+y即y=-2x+z經(jīng)過點A（1，0）時，zmax=2. yx,10.設m>1,在約束條件 ymx，下，目標函數(shù)z=x+5y的最大值為4， x+y1則m的值為.答案3解析本題是線性規(guī)劃問題.先畫出可行域，再利用最大值為4求m.由m>1可畫出可行域如圖所示，則當直線z=x+5y過點A時z有最大值.由y=mx 得A(),代入得=4,x+y=1即解得m=3.11.某運輸公司接受了向地震災區(qū)每天至少運送180t支援物資的任務，該公司有8輛載重為6t的A型卡車和4輛載重為1

28、0t的B型卡車，有10名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車4次，B型卡車3次，每輛卡車每天往返的成本費用為A型卡車為320元，B型卡車為504元.每天調(diào)配A型卡車輛，B型卡車輛，可使公司所花的成本費用最低.答案52解析設每天調(diào)出A型車x輛，B型車y輛，公司所花的成本為z元，x8y4 0x8 x+y10 0y4依題意有 4x·6+3y·10180 x+y10 .x0,y0 4x+5y30x,yN x,yN目標函數(shù)z=320x+504y(其中x,yN).作出上述不等式組所確定的平面區(qū)域如圖所示，即可行域.由圖易知，直線z=320x+504y在可行域內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點中，點（5

29、，2）使z320x+504y取得最小值，z最小值320·5504·22608（元）.12.購買8角和2元的郵票若干張，并要求每種郵票至少有兩張.如果小明帶有10元錢，共有種買法答案12解析設購買8角和2元郵票分別為x張、y張，則0.8x+2y10 2x+5y25x,yN，即x2 .x2,y2 y2x,yN2x12，2y5，當y=2時，2x15，2x7，有6種；當y=3時，2x10，2x5，有4種；當y=4時，2x5，2x2，x=2有一種；當y=5時，由2x0及x0知x=0，故有一種.綜上可知，不同買法有：6+4+1+1=12種.三、解答題13.制造甲、乙兩種煙花，甲種煙花每枚含A藥品3 g、B藥品4 g、C藥品4 g，乙種煙花每枚含A藥品2 g、B藥品11 g、C藥品6 g.已知每天原料的使用限額為A藥品120 g、B藥品400 g、C藥品240 g.甲種煙花每枚可獲利2 元，乙種煙花每枚可獲利1 元，問每天應生產(chǎn)甲、乙兩種煙花各多少枚才能獲利最大.解析設每天生產(chǎn)甲種煙花x枚，乙種煙花y枚，獲利