多角度探究解析幾何的應(yīng)用研究

1、    多角度探究解析幾何的應(yīng)用研究    白天羽摘 要：解析幾何是通過建立坐標系來用解析式研究幾何問題的一門幾何學(xué)分支，其本質(zhì)是利用平面直角坐標系與方程的關(guān)系，建立幾何和代數(shù)問題相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，也就是變量的表示方法。因此，解析幾何與其它研究變量之間關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)分支都有密切的聯(lián)系，探究它們的聯(lián)系，可以更好地在數(shù)學(xué)研究中做到舉一反三。在此基礎(chǔ)上，本文從微積分、向量和行列式等角度探析了這些關(guān)系，以更好地理解解析幾何的實質(zhì)。關(guān)鍵詞：解析幾何；微積分；向量；行列式；線性代數(shù)：o182 ：a ：1671-2064（2019）05-0255-020 引言解析幾何是通過

2、建立坐標系來用解析式研究幾何問題的一門幾何學(xué)分支，主要由笛卡爾和費馬創(chuàng)立并發(fā)展。十六世紀左右，隨著生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，原有的幾何學(xué)知識無法應(yīng)用在許多新的發(fā)現(xiàn)中。例如：天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星運行的軌道是橢圓形，伽利略發(fā)現(xiàn)被拋出的物體的運動軌跡是拋物線，這些曲線都不是以前的幾何學(xué)可以分析的，因此迫切需要一套新的幾何方法來探究其性質(zhì)。應(yīng)運而生的則是笛卡爾的幾何學(xué)，其中笛卡爾的中心思想是建立起一種把代數(shù)和幾何統(tǒng)一起來的工具，即把任何數(shù)學(xué)問題化為一個代數(shù)問題，進而歸結(jié)到去解一個方程式。而在此當中聯(lián)系幾何和代數(shù)的是坐標系，在坐標系引入過程中笛卡爾的想法并不是偶然的，之前也有人提出了可由兩個數(shù)字“坐標”（

3、經(jīng)度和緯度）來確定一個點的位置的思想，以對天文和地理問題進行研究。解析幾何的創(chuàng)立開拓了數(shù)學(xué)的一個全新發(fā)展領(lǐng)域，進而推動了近代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。解析幾何的引入使得運動和變化進入到數(shù)學(xué)，微積分和牛頓力學(xué)被發(fā)明，科學(xué)和哲學(xué)也在其基礎(chǔ)上有了進一步突破和發(fā)展。由此可見，解析幾何并不是一個孤立的學(xué)科，而是一種實用的研究方法和思想，它和很多數(shù)學(xué)、科學(xué)分支學(xué)科都有極大的關(guān)聯(lián)。本文分析解析幾何與其它幾個數(shù)學(xué)分支的聯(lián)系，以更好的理解解析幾何的思想方法，對數(shù)學(xué)的方法論有更深刻的認識。1 微積分與解析幾何的關(guān)系微積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分。從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的過渡，其核心在于“極限”的概念。例如，曲線在x0處的切線

4、的定義是割線在xx0時的極限位置，導(dǎo)數(shù)的定義也建立在x趨于0的條件下。而在極限的定義中，我們說變量y趨近于a，即ya，是一個變量對于一個常量的一種關(guān)系1。由此可見，高等數(shù)學(xué)建立在對變量和常量關(guān)系的進一步研究中，而關(guān)于變量與常量的討論又是解析幾何的核心思想。在笛卡爾的理論中，首先建立坐標，進而將平面上的點和一對未知數(shù)聯(lián)系起來，然后在點動成線的思想下，用方程來表示曲線，只要在最后的方程中出現(xiàn)兩個未知量就能得到一條軌跡，開創(chuàng)了應(yīng)用方程來研究軌跡的思想2。由此可見，代數(shù)的主要研究對象未知數(shù)在解析幾何中變成了變量，變量之間的關(guān)系變成了解析式。在解析幾何的基礎(chǔ)上，微積分對變量之間的關(guān)系有了更深入的探究：求

5、導(dǎo)和積分都是對兩個變量關(guān)系的探究，引入另一個變量來刻畫函數(shù)關(guān)系。微積分是解析幾何的發(fā)展，解析幾何是初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)的過渡，二者都是對變量關(guān)系的刻畫方法。有了微積分，解析幾何中的一些問題就可以輕松地解決。求導(dǎo)重新定義了切線，使得求坐標系中曲線的切線有了一種新的方法，不再需要用平面幾何的定義來進行求解。定積分對曲線圍成的面積有了代數(shù)上的定義，提供了這類問題的解決方法。又如函數(shù)的畫圖：有些函數(shù)單憑描點作圖很難畫得精確，而求導(dǎo)之后用幾個點就可以反映函數(shù)的關(guān)鍵特征，進而可以相當準確地繪出圖像。由此可見，微積分是解析幾何的發(fā)展，對一些坐標系中的問題有了新的認識，它的思想方法應(yīng)用在解析幾何中，也能為進一步

6、解決問題提供新的思路。2 向量在解析幾何中的應(yīng)用數(shù)學(xué)中的向量和物理中的矢量是指具有大小和方向的量，在坐標系中能把向量以數(shù)對形式表示。在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量，作為一組基底，為任意向量，以坐標原點o為起點，p為終點作向量。把實數(shù)對（x，y）叫做向量的坐標，記作= （x，y）。由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數(shù)（x，y），使得，因此向量可以和有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)，也就可以和平面直角坐標系中的點一一對應(yīng)，在空間直角坐標系中亦是如此。由此，向量通過有序?qū)崝?shù)對與坐標系聯(lián)系了起來，也就代表著它可以應(yīng)用在解析幾何中。向量為幾何問題的代數(shù)化提供了一種方法，以下將從兩方面

7、進行分析。2.1 平行和垂直問題在幾何學(xué)中證明平行或垂直，以及對平行或垂直的條件的應(yīng)用都是根據(jù)幾何定理來解決的，如四邊形的性質(zhì)定理和勾股定理等。而在解析幾何中，運用向量的知識可以用代數(shù)方法來解決問題。由向量的定理可知，若=（x，y），=（m，n），則等價于xn-ym=0；的等價于·=0，即xn+ym=0。這就給使得許多幾何問題可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。如例1所示：例1：已知正方體abcd-a1b1c1d1的棱長為2，p、q分別是bc、cd上的動點，且|pq|=，建立如圖1所示的坐標系。確定p、q的位置，使得b1qd1p。分析：在對這道題目進行解決的時候，由于幾何內(nèi)容中涉及到了向量的關(guān)系，所

8、以這時可以對向量進行坐標化的發(fā)展，將問題轉(zhuǎn)化為與點相關(guān)的坐標問題。解答：設(shè)|bp|=t，則p（2，t，0）qb1·pd1=0，t=1。即p、q分別是棱bc、cd的中點時，b1qd1p。在這道題中，向量與有序?qū)崝?shù)對的對應(yīng)使得垂直問題轉(zhuǎn)化為了代數(shù)中的解方程，變成了一個運算問題。而若是用幾何方法進行推導(dǎo)和證明，問題就會復(fù)雜許多。2.2 角度問題在向量中，可以利用向量的數(shù)量積解決角度的計算問題。向量的數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量，作oa=，ob=，則aob稱作向量和向量的夾角，記作。兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，記作·，等于|·|·cos。而在坐標系中，若=（x

9、，y），=（m，n），可證·=xm+bn。它可以應(yīng)用于許多與夾角相關(guān)的問題中，如例題2所示：例2：如圖2所示，直三棱柱abc-a1b1c1中，底面是以abc為直角的等腰直角三角形，|ac|=2a，|bb1|=3a，d為a1c1的中點，e為b1c的中點。求直線be與a1c所成的角。解答：以b為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系。|ac|=2a，abc=90°，|ab|=|bc|=ac（0，a，0），a（a，0，0），a1（a，0，3a），c1（0，a，3a），b1（0，0，3a），d（a，a，3a），e（0，a，a）=（a，-a，3a），=（0，a，a）.|ca1|=a，|b

10、e|=a·=0-a2+a2=a2cos=故be與a1c所成的角大小為arccos。在這道例題中，直觀上沒有關(guān)聯(lián)的兩條線的夾角并不好通過幾何方法求出來，而向量的方法巧妙地將其轉(zhuǎn)化為了兩個左邊的問題，進而變成解方程的問題。由此可見，向量在解析幾何的問題中提供了幾何與坐標、乃至方程之間轉(zhuǎn)化的方法，將很多幾何上不好解決的問題轉(zhuǎn)化為了解方程的計算問題。3 行列式在解析幾何中的應(yīng)用在數(shù)學(xué)中，矩陣是一個按照長方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合，是一種數(shù)學(xué)上的結(jié)構(gòu)化語言。由于它的本質(zhì)實際上是方程組的解的一種排列方式，而方程組是解析幾何中解析式的變形，所以矩陣本身在解析幾何中也能發(fā)揮很大的作用。如關(guān)于平面圖形的面積：定理：已知abc在平面直角坐標系中的三頂點坐標：a（x1，y1）b（x2，y2）c（x3，y3）則：sabc=由此可得出推論：在平面直角坐標系中的三點：a（x1，y1）b（x2，y2）c（x3，y3）共線的充要條件是=03。4 結(jié)語解析幾何本質(zhì)上是利用平面直角坐標系與方程的關(guān)系，建立幾何和代數(shù)問題相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系。由此可知，其它與變量有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，都是可以和解析幾何密切相關(guān)的。在上面的分析中我們發(fā)現(xiàn)，微積分是解析幾何的發(fā)展，向量是解析幾何的工具，行列式作為方程組的解的表達方法，也是解析幾何的延申拓展及使用工具。理解解析幾何和其他數(shù)學(xué)分支的關(guān)系，可以更好地理解解析幾何數(shù)形結(jié)合的