(完整word版)2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷及答案

1、1 / 7最新發(fā)布2013 年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué) 試 卷考試注意： 1.1.答卷前，考生務(wù)必將姓名、高考座位號(hào)、校驗(yàn)碼等填與清疋。2 2本試卷共有 3131 道試題，滿分 150150 分?？荚嚂r(shí)間 120120 分鐘。3 3請(qǐng)考生用鋼筆或圓珠筆按要求在試卷相應(yīng)位置上作答。一. .填空題(本大題滿分 3636 分)本大題共有 1212 題，要求直接填寫結(jié)果，每題填 對(duì)得 3 3分，否則一律得 0 0 分。1.函數(shù)y = log2( x 2)的定義域是_2.方程2x=8的解是_3.拋物線y2=8x的準(zhǔn)線方程是 _4._ 函數(shù)y二2sin x的最小正周期是5.已知向量(1,k)，(

2、9,k -6)。若a/：，則實(shí)數(shù)k二 _6. 函數(shù)y = 4sin x - 3cos x的最大值是 _7.復(fù)數(shù)2 3i(i是虛數(shù)單位)的模是 _8.在-ABC中，角A、B C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b c，9.在如圖所示的正方體ABCD -AEGD!中，異面直線AB與B,C所成角的大小為_10. 從 4 名男同學(xué)和 6 名女同學(xué)中隨機(jī)選取 3 人參加某社團(tuán)活動(dòng)，選出的 3 人中男女同學(xué)都有的 概率為(結(jié)果用數(shù)值表示)。11._ 若等差數(shù)列的前 6 項(xiàng)和為 23,前 9 項(xiàng)和為 57,則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=_12. 36 的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到:2 2因?yàn)?6=23，所以 36 的所有正約數(shù)

3、之和為(1 3 32) (2 2 3 2 32) (22223 2232) =(1 2 2(1 332) =91參照上述方法，可求得2000 的所有正約數(shù)之和為_2 / 7最新發(fā)布二選擇題(本大題滿分 3636 分)本大題共有 1212 題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其 中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的。考生必須把真確結(jié)論的代碼寫在題后的括號(hào)內(nèi)， 選對(duì)得 3 3分，否則一律得 0 0 分。13展開式為ad-bc的行列式是()a ba ca db a(A)d c(B)b d(C)b c(D)d c14設(shè)f-1(x)為函數(shù)f(x)=、,X的反函數(shù)，下列結(jié)論正確的是()(A)fJ(2) =2(B)fJ(2) =

4、4(C)f(4)=2(D)ft 4)=415直線2x-3y *1=0的一個(gè)方向向量是()18若復(fù)數(shù)乙、z2滿足Z|二Z2，貝y Zp z2在復(fù)數(shù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(A) 關(guān)于x軸對(duì)稱(B)關(guān)于y軸對(duì)稱(C)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(D)關(guān)于直線y=x對(duì)稱19. (Vx)10的二項(xiàng)展開式中的一項(xiàng)是()234(A)45x(B)90 x(C)120 x( D)252x20. 既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,：)上單調(diào)遞減的函數(shù)是()(A)y =sinx(B)y =cos x(C)y = sin 2x(D)y = cos 2x21.若兩個(gè)球的表面積之比為1: 4，則這兩個(gè)球的體積之比為()(A)1: 2(B)1:4(C)1:

5、8(D)1:1622. 設(shè)全集U -R，下列集合運(yùn)算結(jié)果為R的是()(A)zUeuN(B)NDeuN(C)痧(一)(D)eu0(A)(2,-3)(B)(2,3)(C)(-3,2)(D)(3, 2)1 1(A)a b(B)ab： ：b2(C)ab：(D)乙、Z2()117.如果a : b : 0，那么下列不等式成立的是(3 / 7最新發(fā)布23.已知a b c R, “b2-4ac：0”是“函數(shù)f（xax2bx c的圖像恒在x軸上方” 的（）（A）充分非必要條件（B）必要非充分條件（C）充要條件（D ）既非充分又非必要條件24已知A、B為平面內(nèi)兩定點(diǎn)，過該平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M作直線AB的垂線，垂足為N.若

6、2MN AN NB，其中為常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡不可能是（）（A ）圓（B）橢圓（C）拋物線（D）雙曲線求該三棱柱的體積。解2626 （本題滿分 7 7 分）如圖，某校有一塊形如直角三角形ABC的空地，其中.B為直角，AB長(zhǎng)40米，BC長(zhǎng)50米，現(xiàn)欲在此空地上建造一間健身房，其占地形狀為矩形，且 健身房的最大占地面積。解27.27. （本題滿分 8 8 分）已知數(shù)列%的前n項(xiàng)和為Sn二-n2 n,數(shù)列0滿足b 2n,求lim (b b2b)。n_.i解2二、解答題（本大題滿分的步驟。7878 分）本大題共有 7 7 題，解答下列各題必須寫出必要25.25.（本題滿分 7 7 分）如圖，在正三棱錐

7、ABC - ABQ中,TtAX6，異面直線BG與所成角的大小為-，B為矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，求該Ci4 / 7最新發(fā)布28.28. （本題滿分 1313 分）本題共有 2 2 個(gè)小題，第 1 1 小題滿分 4 4 分，第 2 2 小題滿分 9 9 分。已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 斤（-1,0）、F2（1, 0），短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為BiB2（1 ）若F1B1B2為等邊三角形，求橢圓C的方程；（2）若橢圓C的短軸長(zhǎng)為2，過點(diǎn)F2的直線I與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，且RP_FQ， 求直線I的方程。解（1）29.29. （本題滿分 1212 分）本題共有 2 2 個(gè)小題，第 1 1 小題滿分 6 6 分，第

8、 2 2 小題滿分 6 6 分。已知拋物線Cy=4x的焦點(diǎn)為F。（1 ）點(diǎn)A P滿足AP = -2FA。當(dāng)點(diǎn)A在拋物線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q關(guān)于直線y =2x的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線C上？如果存 在，求所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。解（1）(2)30.30. （本題滿分 1313 分）本題共有 2 2 個(gè)小題，第一小題滿分 4 4 分，第二小題滿分 9 9 分。在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)Pn在X軸上，其橫坐標(biāo)為Xn，且Xn是首項(xiàng)為 1、公比為 2 的等比數(shù)列，記 RAPn1-入，nN5 / 7最新發(fā)布1）若ar如3

9、，求點(diǎn)A的坐標(biāo);（2）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,8、.2），求入的最大值及相應(yīng)n的值。31.31. (本題滿分 1818 分)本題共有 3 3 個(gè)小題，第 1 1 小題滿分 5 5 分，第 2 2 小題滿分 7 7 分，第3 3 小題滿分 6 6 分。已知真命題：“函數(shù)y二f (x)的圖像關(guān)于點(diǎn)P(a、b)成中心對(duì)稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y = f (x a) -b是奇函數(shù)”。(1) 將函數(shù)g(x) =x3-3x3的圖像向左平移 1 個(gè)單位，再向上平移 2 個(gè)單位，求此時(shí)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g(x)圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo)；2x(2)求函數(shù)h(x) =log2圖像對(duì)稱中心的坐

10、標(biāo)；4 x(3) 已知命題：“函數(shù)y二f(x)的圖像關(guān)于某直線成軸對(duì)稱圖像”的充要條件為“存在實(shí)數(shù) a 和 b，使得函數(shù)y = f (x a) -b是偶函數(shù)”。判斷該命題的真假。如果是真命題，請(qǐng)給予證明；如果是假命題，請(qǐng)說明理由，并類比題設(shè)的真命題對(duì)它進(jìn)行修改，使之成為真命題(不必證明)。解(1)36 / 7最新發(fā)布2013 年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷參考答案(第 1 1 至 1212 題)每一題正確的給 3 3 分，否則一律得 0 0 分。4.2：6.57.138.7兀9.410.11.527nn356 6二.(第 1313 至 2424 題)每-題正確的給3 3 分，否則一律

11、得0 0 分。1.(-2,：)2 . 33. x - -25.12. 4836題號(hào)131415161718192021222324代碼BBDADACBCADC三.(第 2525 至 3131 題)25.解因?yàn)镃CiAAi.所以BC1C為異面直線BC1與AA所成的角，即 BGC=。6在Rr BC1C中，BC =CG tan ZBC1C 63從而s.ABfBCS3G,因此該三棱柱的體積為V = S找BC，AA = 3巧6 = 18J3.26.解如圖，設(shè)矩形為EBFP,FP長(zhǎng)為x米，其中0：x：40A健身房占地面積為y平方米。因?yàn)镃FP s .CBA,FPBAC! ,= 5 -BF,求得BF=50-

12、5X,CB 40504EFC55252從而y = BF FP = (50 x)x x 50 x (x - 20)500乞500,444當(dāng)且僅當(dāng)x =20時(shí)，等號(hào)成立。答：該健身房的最大占地面積為500 平方米。2 227.解當(dāng)n 2時(shí)，an二SnSn一汕n (n -1) -(n -1)一-2n 2。且a二3=0,所以an二_2n 2。, 11因?yàn)閎n=2n 2= ( )n4，所以數(shù)列bn是首項(xiàng)為 1、公比為一的無窮等比數(shù)列。447 / 7最新發(fā)布8 / 7最新發(fā)布2 228解(1)設(shè)橢圓C的方程為冷 占“(a b 0)。a ba=2b2421根據(jù)題意知2 2，解得a2=4,b2=1a2-b2=

13、1332 2故橢圓C的方程為y1。41332(2) 容易求得橢圓C的方程為 y1o2當(dāng)直線I的斜率不存在時(shí)，其方程為x = 1，不符合題意;當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線I的方程為y=k(x-1)。得(2k2 1)x2-4k2x 2(k2-1) = 0。設(shè)卩(為,yj,Q(X2,y2)，則22(k -1)2k212(X11)(x21)y1yX1X2(X1X2)1 k(X11)(x21)222=(k1)X1X2-(k -1)(x1X2) k 17k2-12k21解得k2= 1，即k 。77故直線l的方程為x7y -1 =0或x- . iy -1 =0。故lim (b b2J| bn)n_.1-4因

14、為RP _ FQ，所以F1P FQ -0,即4 k22k21，由y =k(x-1)F1P =(X1T, y) FQ =(X21 y2)9 / 7最新發(fā)布29. (1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(XA,丫人),則AP = (x-xA, y-yA), 因?yàn)镕的坐標(biāo)為(1, 0)，所以FA =：(xA-1, yA),由AP = _2昂得(X-XA,y - YA) - -2(XA-1,yA)。fX -XA= -2(XA- 1)fXA= 2 - X即解得y -yA二-2yAiyA二-y代入y2=4x，得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y2=8-4x。(2)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t, 0).點(diǎn)Q關(guān)于直線y=

15、2x的對(duì)稱點(diǎn)為Q (x,y),A則x2解得y2I 3tx t54.y t5若Q在C上，將Q的坐標(biāo)代入y2=4x，得4t2 15t =0，即t = 0或t15。4所以存在滿足題意的點(diǎn)Q，其坐標(biāo)為30.解(1)設(shè)A(0,t)，根據(jù)題意,15(0,0)和(-龍，0)。4n 11Xn =2。由二3=arctan，知tan3X4X3而tan B3=tan(ZOAF4-ZOAF3)=t trX4X3t t_ t(X4-X3)_4tt2x4x3t2324t 1所以-，解得t =4或t =8。t2323故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,4)或(0,8)。(2)由題意，點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為(2心，0),tan. OAPn2心%；2

16、。tan片二tan( OAR1_ OA巳)=8 2&22門，1 & 2 8；2 8；2 8,2116 2 2n2n8 2因?yàn)轭棺u(yù)22，所以叭叮* ,10 / 7最新發(fā)布11 / 7最新發(fā)布當(dāng)且僅當(dāng)=_2=，即n =4時(shí)等號(hào)成立。2n8血TTTT易知0：n:：g,y=tanx在(0,)上為增函數(shù)，J2因此，當(dāng)n=4時(shí)，片最大，其最大值為arctan43231.( 1)平移后圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=(x1) -3(x 1)2，整理得y = x3-3x，由于函數(shù)y =x3-3x是奇函數(shù)，由題設(shè)真命題知，函數(shù)g(x)圖像對(duì)稱中心的坐標(biāo)是(1,- 2)。2x(2) 設(shè)h(x) =log2的對(duì)稱中心為P(a, b)，由題設(shè)知函數(shù)h(x a) - b是奇函數(shù)。4 x設(shè)f (x) = h(x a) b,則f (x)二log2b，即f (x)二log22a- b。4_(x + a)4_a_x2x + 2a由不等式2x 2a0的解集關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得a