軸對稱證明題要點

1、軸對稱專題 軸對稱圖形如果一個圖形沿某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合， ?這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸有的軸對稱圖形的對稱軸不止一條，如圓就有無數(shù)條對稱軸 軸對稱 有一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，? 那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸， 折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點 兩個圖形關(guān)于直線對稱也叫做軸對稱 圖形軸對稱的性質(zhì)如果兩個圖形成軸對稱，?那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線；軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線 軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別 軸對稱是指兩個圖形之間的形狀與位置關(guān)系，?成軸

2、對稱的兩個圖形是全等形；軸對稱圖形是一個具有特殊形狀的圖形， 把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形， 這兩個圖形是全等形，并且成軸對稱 線段的垂直平分線（ 1） 經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線， ? 叫做這條線段的垂直平分線 （或線段的中垂線） （ 2） 線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等； 反過來，?與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上 因此線段的垂直平分線可以看成與線段兩個端點距離相等的所有點的集合軸對稱變換 軸對稱變換由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換 ?成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看著由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到 軸對稱變

3、換的性質(zhì)（ 1）經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣（ 3） ?經(jīng)過軸對稱變換得到的圖形上的每一點都是原圖形上的某一點關(guān)于對稱軸的對稱點（ 3）連接任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分 作一個圖形關(guān)于某條直線的軸對稱圖形（ 1）作出一些關(guān)鍵點或特殊點的對稱點（ 2）按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點，即得到原圖形的軸對稱圖形用坐標(biāo)表示軸對稱 關(guān)于坐標(biāo)軸對稱點P （x, y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（x, -y）點 P（ x ， y ）關(guān)于 y 軸對稱的點的坐標(biāo)是（ -x ， y ） 關(guān)于原點對稱點P （x, y）關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是（-x, -y） 關(guān)于坐標(biāo)軸夾角平分線對

4、稱點P （x, y）關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線y=x對稱的點的坐標(biāo)是（y, x）點 P（ x ， y ）關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線y= - x 對稱的點的坐標(biāo)是（ - y， - x ） 關(guān)于平行于坐標(biāo)軸的直線對稱點 P（ x ， y ）關(guān)于直線x=m 對稱的點的坐標(biāo)是（ 2m-x ， y ） ；點P （x, y）關(guān)于直線y=n對稱的點的坐標(biāo)是（x, 2n-y）;等腰三角形 等腰三角形有兩條邊相等的三角形是等腰三角形 相等的兩條邊叫做腰， 另一條邊叫做底邊 兩腰所夾的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角 等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）性質(zhì)2：等

5、腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合特別的： （ 1）等腰三角形是軸對稱圖形.（ 2）等腰三角形兩腰上的中線、角平分線、高線對應(yīng)相等. 等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等， 那么這兩個角所對的邊也相等 （簡寫成 “等角對等邊” ） 特別的：（ 1 ）有一邊上的角平分線、中線、高線互相重合的三角形是等腰三角形（ 2 ）有兩邊上的角平分線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（ 3 ）有兩邊上的中線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形（ 4 ）有兩邊上的高線對應(yīng)相等的三角形是等腰三角形 利用“三角形奠基法”作圖 然后再以這個圖形為基礎(chǔ)， 作出所根據(jù)已知條件先作出一個與所求圖形相關(guān)的三角

6、形， 求的三角形等邊三角形等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形.等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，？并且每一個內(nèi)角都等于 60。等邊三角形的判定方法(1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形；(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個角是60。的等腰三角形是等邊三角形.角平分線的性質(zhì)角平分線的作法見課本角平分線的性質(zhì)在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等 O葉分/AOB PML OAT M PNI± OB于 NI, PM=PN 角平分線的判定到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上 PM/L OA于 M, PN OB于 N, PM=PN.O葉分/ A

7、OB三角形的角平分線的性質(zhì) 三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點，并且這一點到三邊的距離相等.添加輔助線口訣幾何證明難不難，關(guān)鍵常在輔助線；知中點、作中線，倍長中線把線連線段垂直平分線，常向兩端來連線；線段和差及倍分，延長截取全等現(xiàn)；公共角、公共邊，隱含條件要挖掘；平移對稱加旋轉(zhuǎn)，全等圖形多變換角平分線取一點，可向兩邊作垂線；也可將圖對折看，對稱之后關(guān)系現(xiàn)；角平分線加平行，等腰三角形來添；角平分線伴垂直，三線合一試試看。角平分線十平行線-等腰三角形當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)角平分線和平行線時，我們就可以尋找到等腰三角形。如圖1 (1)中，若AD平分N胡C , AD/EC,則是等腰三角形；如圖1(2)中，若慶

8、口平分/員1(72£小。，則山42?宮是等腰三角形；如圖1 (3)中，若AD平分/員4c , CE/AB,則LACE是等腰三角形；如圖1中，若AD平分/a4c , EF/AD,則是等腰三角形。(2)(3)(4)圖1例1.如圖，在中，ab= ac,在ac上取點p,過點p作EE1SC ,交ba的延長線于點e,垂足為點F。求證：AE= APD F1 .已知，如圖1 11,在直角坐標(biāo)系中，點 A在y軸上，BC，x軸于點C,點A關(guān)于直線 OB的對稱點 D恰好在BC上，點E與點。關(guān)于直線 BC對稱，/ OBC=35° ,求/ OED 的度數(shù).2 .已知：如圖 23,線段 AB.求作：線

9、段AB的垂直平分線MN.作法：3 .已知：如圖 2 4, / ABC及兩點 M、N.求作：點P,使得PM = PN,且P點到/ ABC兩邊的距離相等. 作法：B圖244 .已知點A在直線l外，點P為直線l上的一個動點，探究是否存在一個定點B,當(dāng)點P在直線l上運動時，點P與A、B兩點的距離總相等.如果存在，請作出定點B;若不存在，請說明理由.月，圖255.如圖26, AD為/ BAC的平分線，DE，AB于E, DF，AC于F ,那么點E、F是否 關(guān)于AD對稱？若對稱，請說明理由.圖 3-11圖26綜合、運用、診斷6.已知：如圖37, A、B兩點在直線l的同側(cè)，點A'與A關(guān)于直線l對稱，連

10、接A'B交l于P點，若A'B=a.(1)求 AP+PB;(2)若點M是直線l上異于P點的任意一點，求證:AM + MB>AP+PB.7 .已知：A、B兩點在直線l的同側(cè)，試分別畫出符合條件的點M.(1)如圖38,在l上求作一點 M,使得| AM-BM |最小;(3)如圖3-10,在l上求作一點 M,使得 AM + BM最小.圖 3-108 . (1)如圖311,點A、B、C在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作一點P,使得四邊形 APBC的周長最??；(2)如圖312,已知線段a,點A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上，求作兩點 P在點Q的左側(cè))且PQ=a,四邊形APQB的周長最小.

11、P、Q (點圖 3 129. (1)已知：如圖 上求作一點313,點M在銳角/ AOB的內(nèi)部，在 OA邊上求彳一點 P, Q,使得APMQ的周長最??；在OB邊圖6-5使得點P(2)已知：如圖3- 14,點M在銳角/ AOB的內(nèi)部，在 OB邊上求彳一點 P,到點M的距離與點P到OA邊的距離之和最小.圖 3- 1410 .已知：如圖 6 5, A ABC 中，BC 邊上有 D、E 兩點，/ 1 = /2, /3=/4.求證： ABC是等腰三角形.11 .已知：如圖 5 2,求證：BD = CE.A ABC 中，AB=AC, D、E 在 BC 邊上，且 AD = AE.12 .已知:如圖5 3,D、

12、E 分別為 AB、AC 上的點，AC=BC=BD, AD=AE,DE=CE,求/ B的度數(shù).圖6-813 .已知：如圖 5 4, A ABC中，AB=AC, D是AB上一點，延長 CA至E,使AE = AD. 試確定ED與BC的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖5-4拓展、探究、思考14 .已知：如圖 5-5, RtAABC 中，/ BAC = 90° , AB = AC, D 是 BC 的中點，AE=BF.求證：(1) DE=DF; (2) A DEF為等腰直角三角形.EB15 .在平面直角坐標(biāo)系中，點P (2, 3) , Q (3, 2),請在x軸和y軸上分別找到 M點和N點，使四邊形

13、 PQMN周長最小.(1)作出M點和N點.(2)求出M點和N點的坐標(biāo).3取 3)2 53冉11 _ J U 1 1 .-2 -1 O L 2 31-1 -圖5616 .已知：如圖 6-6, AABC中，AB=AC, E在CA的延長線上，EDXBC. 求證：AE = AF.17.已知:如圖6- 7,E圖6-6AABC 中，/ACB=90° , CD± AB 于 D, BF 平分/ABC 交 CD 于E,交AC于F.求證：CE = CF.圖6-718 .如圖 6-8,在 AABC 中，/ BAC = 60 ° , / ACB = 40° , P、Q 分別在

14、BC、CA 上，并 且AP、BQ分別為/ BAC、/ ABC的角平分線，求證：BQ + AQ=AB+BP.Q19 .如圖69,若A、B是平面上的定點，在平面上找一點C,使AABC構(gòu)成等腰直角三角形，問這樣的C點有幾個？并在圖 69中畫出C點的位置.An圖6-920.如圖610,對于頂角/ A為36°的等腰A ABC,請設(shè)計出三種不同的分法，將 A ABC 分割為三個三角形，并且使每個三角形都是等腰三角形.圖8421.已知：求證:如圖 7 8, AD 是/BAC 的平分線，/ B=/ EAC, EFAD 于 F. EF 平分/ AEB.22 .已知：如圖 79,在A ABC中，CE是角

15、平分線，EG / BC,交 AC邊于F,交/ ACB的外角 （/ACD）的平分線于 G,探究線段EF與FG的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論.D23 .如圖710,過線段AB的兩個端點作射線 AM, BN,使AM / BN,請按以下步驟畫圖 并回答.(1)畫/ MAB、/ NBA的平分線交于點 E, / AEB是什么角？(2)過點E任作一線段交 AM于點D,交BN于點C.觀察線段DE、CE,有什么發(fā) 現(xiàn)？請證明你的猜想.(3)試猜想AD, BC與AB有什么數(shù)量關(guān)系？M圖 7 1024 .已知：如圖 711, AABC 中，AB=AC, /A=100° , BE 平分/ B 交 AC 于 E.(

16、1)求證：BC=AE+BE;(2)探究：若/ A=108° ,那么BC等于哪兩條線段長的和呢？試證明之.25 .已知：如圖 8-4, AABC和ABDE都是等邊三角形.(1)求證：AD = CE;(2)當(dāng)ACLCE時，判斷并證明 AB與BE的數(shù)量關(guān)系.26 .如圖8 5,已知A ABC是等邊三角形，D、E分別在邊 BC、AC上，且CD = CE,連接DE并延長至點 F,使EF = AE,連接AF、BE和CF .(1)請在圖中找出一對全等三角形，用符號“且”表示，并加以證明；(2)求證：AF=BD.圖8-5圖8-827 .已知：如圖 8- 6,四邊形 ABCD 中，AC 平分/ BAD

17、, CD / AB, BC=6cm, / BAD =30° , / B=90° .求 CD 的長.圖8-628 . ( 1)如圖87,點O是線段AD的中點，分別以 AO和DO為邊在線段 AD的同側(cè)作 等邊三角形OAB和等邊三角形 OCD,連接AC和BD,相交于點E,連接BC,求 ZAEB的大?。粓D8-7(2)如圖8 8, AOAB固定不動，保持 OCD的形狀和大小不變， 將 OCD繞著點O 旋轉(zhuǎn)( OAB和OCD不能重疊)，求/ AEB的大小.一 B29 .已知：如圖 89, ABC為等邊三角形，延長 BC至IJD,延長BA至ijE,使AE=BD, 連接CE、DE.求證：C

18、E = DE.£圖8-930 .已知：如圖 8-10,四邊形 ABCD 中，/A=/B=90° , / C=60° , CD = 2AD, AB =4.(1)在AB邊上求作點圖 8-10(2)求出(1)中PC+PD的最小值.31 .如圖， ABC中，邊AB、BC的垂直平分線交于點 O,求證：PA=PB=PC.(2)點P是否也在邊AC的垂直平分線上？由此你還能彳fl32 、.如圖： ABC和 ADE是等邊三角形.證明：BD=CE.圖芍133、如圖， ABC中，D、E分別是 AC、AB上的點，BD與CE交于點。.給出下列 四個條件：/ EBD=/DCO;/ BEO=/

19、CDO; BE=CD ; OB = OC.（1）上述四個條件中，哪兩個條件可判定 ABC是等腰三角形（用序號寫出所有情形）（2）選擇第（1）小題中的一種情形，證明 ABC是等腰三角形.34 .如圖，P在/AOB內(nèi)；點M N分別是點 P關(guān)于AQ BO的對稱點，且與 AO BO相 交點E F,若APEF的周長為15,求MN的長.35 .如圖（5）所示，在 ABC中，/ C=90° , DE垂直平分 AB ,交AB于E,交 BC于D, /1=1/2,求/B的度數(shù)。236 .等腰 ABC的腰長AB=10cm , AB的垂直平分線交另一腰 AC于D, BCD的周長 為26cm,則底邊BC的長是多少？37 .如圖，AABC中，AB=AC BQ CO分別為N ABC N ACB的平分線，交點為 0,過O 作，E, F平行于BC交AB, AC于F, E,探索BF+CE與FE的關(guān)系，說明理由.38 .如圖，在 AABC中，AD_LBC于D,點M, N分別在BC所在 的直線上，且 BM=CN(1) AB=AC試判斷AAMN勺形狀，并說明理由(2)若AM=AN則N ABC2 ACB成立嗎？為什么？39 .如圖， ABC中，/ BAC=110,