高中數(shù)學(xué)競賽教案講義整數(shù)問題

1、高 中 數(shù) 學(xué) 競 賽 教 案 講 義 ( 1 7 ) 整 數(shù) 問題 ( 共 3 頁 )-本頁僅作為文檔封面，使用時請直接刪除即可- -內(nèi)頁可以根據(jù)需求調(diào)整合適字體及大小- - 2 - 第十七章整數(shù)問題一、常用定義定理1整除：設(shè) a,bz,a0，如果存在 qz使得 b=aq，那么稱 b 可被 a 整除，記作 a|b，且稱 b 是 a 的倍數(shù) ,a是 b 的約數(shù)。 b 不能被 a 整除，記作 a b.2 帶余數(shù)除法：設(shè) a,b是兩個給定的整數(shù)， a0，那么，一定存在唯一一對整數(shù)q 與 r，滿足 b=aq+r,0r|a| ，當(dāng) r=0 時 a|b。3輾轉(zhuǎn)相除法：設(shè)u0,u1是給定的兩個整數(shù)， u1

2、0，u1 u0,由 2 可得下面 k+1個等式： u0=q0u1+u2,0u2|u1|；u1=q1u2+u3,0u3u2；u2=q2u3+u4,0u4u3；uk-2=qk-2u1+uk-1+uk,0ukuk-1；uk-1=qk-1uk+1,0uk+11且 n 為整數(shù)，則kakaapppn2121，其中 pj(j=1,2, ,k)是質(zhì)數(shù)（或稱素數(shù)），且在不計次序的意義下，表示是唯一的。6同余：設(shè) m 0, 若 m|(a-b) ，即 a-b=km，則稱 a 與 b 模同 m同余，記為 ab(modm) ，也稱 b 是 a 對模 m的剩余。7完全剩余系：一組數(shù)y1,y2, ,ys滿足：對任意整數(shù)a

3、有且僅有一個 yj是 a 對模 m的剩余，即 ayj(modm) ，則 y1,y2, ,ys稱為模 m的完全剩余系。8fermat 小定理：若 p 為素數(shù)， pa,(a,p)=1 ，則 ap-11(modp)，且對任意整數(shù)a, 有 apa(modp). 9若(a,m)=1 ，則)(ma1(modm),(m)稱歐拉函數(shù)。- 3 - 10（歐拉函數(shù)值的計算公式）若kakaapppm2121，則(m)=. )11(1kiipm11（孫子定理）設(shè)m1,m2, ,mk是 k 個兩兩互質(zhì)的正整數(shù)，則同余組：xb1(modm1),x b2(modm2), ,x bk(modmk)有唯一解，x1m m1b1+

4、2m m2b2+ +kmmkbk(modm) ，其中 m=m1m2mk；im=imm，i=1,2, ,k ；iimm1(modmi),i=1,2, ,k. 二、方法與例題1奇偶分析法。例 1 有 n 個整數(shù)，它們的和為0，乘積為 n，（n1），求證： 4|n 。2不等分析法。例 2 試求所有的正整數(shù)n，使方程 x3+y3+z3=nx2y2z2有正整數(shù)解。3無窮遞降法。例 3 確定并證明方程 a2+b2+c2=a2b2的所有整數(shù)解。4特殊模法。例 4 證明：存在無窮多個正整數(shù)，它們不能表示成少于10 個奇數(shù)的平方和。- 4 - 5最小數(shù)原理。例 5 證明：方程 x4+y4=z2沒有正整數(shù)解。6整

5、除的應(yīng)用。例 6 求出所有的有序正整數(shù)數(shù)對(m,n) ，使得113mnn是整數(shù)。7進位制的作用例 7 能否選擇 1983 個不同的正整數(shù)都不大于105，且其中沒有 3 個正整數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)項？證明你的結(jié)論。- 5 - 三、習(xí)題精選1試求所有正整數(shù)對 (a,b) ，使得 (ab-a2+b+1)|(ab+1). 2設(shè) a,b,c n+，且 a2+b2-abc 是不超過 c+1的一個正整數(shù)，求證： a2+b2-abc 是一個完全平方數(shù)。3確定所有的正整數(shù)數(shù)對(x,y) ，使得 xy，且 x2+1是 y 的倍數(shù)， y2+1是 x 的倍數(shù)。4求所有的正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)m,(2n-1)|(m2

6、+9). 5求證：存在一個具有如下性質(zhì)的正整數(shù)的集合a，對于任何由無限多個素數(shù)組成的集合，存在 k2 及正整數(shù) m a和 na，使得 m和 n 均為 s中 k 個不同元素的乘積。6求最小的正整數(shù)n( 4)，滿足從任意 n 個不同的整數(shù)中能選出四個不同的數(shù)a,b,c,d使 20|(a+b-c-d). 7. 對于正整數(shù) a,n, 定義 fn(a)=q+r ，其中 q,r 為非負整數(shù)， a=qn+r 且 0r n，求最大正整數(shù) a，使得存在正整數(shù) n1,n2, ,n6，對任意正整數(shù)aa，都有)(123456affffffnnnnnn=1，并證明你的結(jié)論。8設(shè) x 是一個 n 位數(shù)，問：是否總存在非負整數(shù)y9 和 z