三元函數(shù)的泰勒定理

1、陜西省自學(xué)考試數(shù)學(xué)教育專業(yè)本科畢業(yè)論文三元函數(shù)的泰勒定理目錄內(nèi)容摘要 關(guān)鍵詞 英文摘要 英文關(guān)鍵詞 正文內(nèi)容 三元函數(shù)的泰勒定理【內(nèi)容摘要】泰勒公式在分析和研究數(shù)學(xué)問題方面有著重要的應(yīng)用和意義。一元函數(shù)的泰勒公式和二元函數(shù)的泰勒公式在一些近似計算中使得精確度更加 精確，且能估計出誤差多項式，而且泰勒展式的階數(shù)越高精確度就越高。 微分是用一次函數(shù)來逼近一般函數(shù)，若一次逼近精度不夠，就要用高次 多項式來逼近一般函數(shù)，泰勒公式就是用高次多項式來逼近一般函數(shù)的 一種方法。本文將繼此介紹并證明三原函數(shù)的泰勒公式。以三元函數(shù)的 高階微分、三元凸函數(shù)、三元函數(shù)的中值定理為工具，去推出并證明三 元函數(shù)的泰勒公

2、式，并且在此基礎(chǔ)上給出三元函數(shù)的麥克勞林公式。在 理解泰勒公式的基本形式和內(nèi)容的基礎(chǔ)上通過例題驗證本文所涉及的 公式及定理?！娟P(guān)鍵詞】三元函數(shù)泰勒公式高階微分公式 凸區(qū)域 麥克勞林公式 中值定理【英文內(nèi)容摘要】【英文關(guān)鍵詞】正文內(nèi)容在敘述有關(guān)定理公式之前，先介紹1、凸區(qū)域的概念：若區(qū)域D上任意兩點的連線都含于D，則稱D為區(qū)域為 凸區(qū)域。2、三元函數(shù)【注】的泰勒定理：若函數(shù)U = f (x,y,z )在p°(x0,y°z0 )點的某凸區(qū)域【注】U (p)內(nèi) 有直到n 1階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對U p內(nèi)任一點Xo h, k, Z0 l存在相應(yīng)的°，1使得：f xo h，y0

3、 k，zo 1 二Xo, y°,z。xo,y o,zof Xo,yo,ZoL、L、L、h亠k亠;：X:y : ZXo，y o,Zo FnIffcf 、c c c+ -；h= + k=+1 f(xo,y°zo) n ! I & eV &丿1( & d 汀)+. h+ k+1f(n +1 J J £xcYcz ；Xo Th，y 0 Tk，Zo T式稱為二兀函數(shù)U=f x,y,z在Po點的n階泰勒公式，、n其中記號h二 k亠二、dxcycz yf(xo,yo,zo)理解為算子h樸鬥=h 樸知石丿連續(xù)n次作用到函數(shù)宅t = h ':'

4、;CXay&f (XoYoZo )得収(日尸+ 1 住丿f xo,yo,z召 f (xo,y°,zo)i - j n A.j h _x ryz在證明三元函數(shù)的泰勒定理之前，先給出三元函數(shù)的中值定理及其證明定理：設(shè)三元函數(shù)若函數(shù)u = f (x , y, z )在凸開區(qū)域U ( p °,6 )U R3上連 續(xù)，在U內(nèi)任意兩點P a,b,c , Q a h,b k,c T 盧 U ,存在某 二°二1使得f a ' h, b k, c ' 1 f a , b, c =fx a h, b , c T h-fy a jh, b nk ,c jl l

5、,亠 fz a jh, b nk ,c jl l證明：作函數(shù): t = f a th , b tk , c tl它是定義在0,1 上的一元函數(shù)，由定理中的條件可知- t在|0,1 上連續(xù)，在0,1內(nèi)可微。于是根據(jù)一元函數(shù)的拉格朗日中值定理， 存在二01使得歸0 - V由復(fù)合函數(shù)導(dǎo)法則，緘(B )=fx a vh, b 你，c 泊 h-fy ah, b j k , c v I l-fz ah , b k , c v I l由于U為凸區(qū)域，所以a rh,b rk,c T U故由以上兩式 即可得到定理的結(jié)論泰勒公式的證明：作函數(shù)'t = f xo - th,yo tk,zo tl它是定義在0

6、,11上的一元函數(shù)，由定理中的條件可知 - t在1.0,1 上連續(xù)，在0,1內(nèi)可微，即該一元函數(shù)- t在1.0,1 上滿 足一元函數(shù)的泰勒定理【注】的條件，于是有，丄 丄釈(0 )軟(0 )釈"(0 )旅 n)(0)U 卄 =©f0'_ +一'_ +一'_ + +'_ +'一f1!2!3!n!(n +1 )!'0 二 1應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可求得t的各階導(dǎo)數(shù)：t = h k l 卩fcfexcyczL、廠1CC Gh +k +l fexcy顯X。th, y0 - tk,z0 -tl2- t =h2 二 k2 亠 I2 厶 exdy&L、廠i-thy。tkz。，c c c汐丿hk+1 f【注釋】【注】三元函數(shù)：設(shè)點集D R3，三元函數(shù)f是一種對應(yīng)規(guī)則，使得 對D U R3中每個點P（x,y,z ”有唯一實數(shù)（記作f （x, y,z）或f（ p） 與之對應(yīng)，稱點D集為f的定義域，并稱集合 f x, y,z x,y,z D j；二R為f值域，且三元函數(shù)可表示