高等數(shù)學(xué)定積分重點(diǎn)難點(diǎn)復(fù)習(xí)大綱例題講解

1、第五章 定積分一、基本要求：1. 理解定積分的概念、幾何意義、物理意義及定積分的性質(zhì). 2. 理解積分上限的函數(shù)，并掌握其求導(dǎo)法則. 3. 掌握牛頓萊布尼茲公式. 4. 掌握定積分的換元法和分布積分法. 5. 理解反常積分 (廣義積分 )的概念，會(huì)計(jì)算反常積分，了解反常積分的審斂法 . 6. 了解定積分的近似計(jì)算方法. 二、主要內(nèi)容定積分概念定積分的近似計(jì)算方法定積分的換元法定積分的性質(zhì)積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定積分的分部積分法定積分的幾何意義(物理意義 ) 利用對(duì)稱區(qū)間的積分性質(zhì)計(jì)算定積分牛頓萊布尼茲公式反常積分的審斂性無(wú)窮限的反常積分計(jì)算無(wú)界函數(shù)的反常積分計(jì)反常積分 (廣義積分 ) 利用周期

2、性計(jì)算定積分.定積分概念：1. 定積分定義：設(shè)( )f x在區(qū)間 , a b上有界，在 , a b中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)0121nnaxxxxxb.把 , a b分成n個(gè)小區(qū)間1,(1,2, )iixxin，小區(qū)間的長(zhǎng)度記為1,(1,2, )iiixxxin，在1,iixx上 任 意 取 一 點(diǎn)i， 作1()niiifx， 若01lim()niiifx1(max)iinx存在 . 就稱該極限為( )f x在 , a b上的定積分 .記為01( )lim()nbiiaif x dxfx當(dāng)上述極限存在時(shí)，稱( )f x在 , a b上可積 . 2. 若( )f x在 , a b上連續(xù)，則( )f x

3、在 , a b上可積。3. 若( )f x在 , a b上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則( )f x在 , a b上可積. .定積分的幾何意義定積分( )baf x dx在幾何上表示：由曲線( )yf x， 直線xa和xb以及x軸所圍圖形面積的代數(shù)和(x軸上方的面積取正，x軸下方的面積取負(fù)) .定積分的性質(zhì)1. 補(bǔ)充規(guī)定： (1)當(dāng)ab時(shí)，( )0baf x dx(2)當(dāng)ab時(shí), ( )( )baabf x dxf x dx2. 性質(zhì)：(1) ( )( )( )( )bbbaaaf xg x dxfx dxg x dx(2) ( )( ),()bbaakf x dxkf x dxk為常數(shù)(3)

4、( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx(4)badxba(5) 若在 , a b上，( )0f x，則( )0,()baf x dxab推論 1：若在 , a b上，( )( )f xg x，則( )( ),()bbaafx dxg x dxab. 推論 2：( )( ),()bbaaf x dxf x dx ab. (6 ) 若在 , a b上，( )mf xm,則()( )(),()bam baf x dxm baab(7) (定積分中值定理 )：若( )f x在 , a b上連續(xù)，則在 , a b上至少存在，使( )( )(),()baf x dxfbaab.

5、 3. 連續(xù)函數(shù)( )f x在 , a b上的平均值，1( )bayf x dxba. 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)1. 若對(duì)任意 , xa b，( )xaf t dt存在，則稱( )( )xaxf t dt為積分上限的函數(shù). 2. 若( )f x在 , a b上可積，則( )f x在 , a b上有界 . 且積分上限函數(shù)( )( )xaxf t dt在 , a b上連續(xù) . 3. 設(shè)( )f x在 , a b上 連 續(xù) ， 則( )( )xaxf t dt在 , a b上 可 導(dǎo) ， 且( )( )( ),()xadxf t dtf xaxbdx. 4. 設(shè)( )f x連續(xù)，( )x可導(dǎo)，則( )(

6、 )( ) ( )( )xadxf t dtfxxdx. 5. 設(shè)( )f x連續(xù)，( )x，( )x可導(dǎo)，則( )()( )( ) ( )( ) ( )( )xxdxf t dtfxxfxxdx. . 牛頓萊布尼茲公式 .(微積分基本定理 ) 設(shè)( )f x在 , a b上連續(xù)，( )f x為( )f x在 , a b上的一個(gè)原函數(shù)，則( )( )( )baf x dxf bf a. . 定積分的換元法設(shè)( )f x在 , a b上連續(xù)，( )xt滿足：(1) (), ()ab. (2)( ) t在,(或,)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且( )xt的值域不越出 , a b的范圍，則有( ) ( )( )

7、baf x dxftt dt. 注：當(dāng)( ) t的值域,ra b越出 , a b的范圍，但滿足其余條件時(shí)，只要( )f x在,a b上連續(xù)，則換元法的結(jié)論仍然成立. . 定積分的分部積分法設(shè)( )u x與( )v x在 , a b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有( )( )( ) ( )( )( )bbbaaau x dv xu x v xv x du x. 幾類(lèi)特殊的積分公式1. 設(shè)( )f x在, a a上連續(xù)，則有0( )( )()aaaf x dxf xfx dx. 02( )( ), ( )( ), aaaf x dxf xa af x dxf xa a當(dāng)為上連續(xù)的偶函數(shù)時(shí)0當(dāng)為上連續(xù)的奇函數(shù)時(shí)

8、2. 設(shè)( )f x是以l為周期的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，有0( )( )a llaf x dxf x dx. 3. 設(shè)( )f x在0,1上連續(xù)，則2200(sin )(cos )fx dxfx dx00(sin )(sin )2xfx dxfx dx200(sin )2(sin )fx dxfx dx4.2200123 134 2 2124 2sincos135 31nnnnnnnnnxdxxdxnnnn為正偶數(shù)為大于 1的正奇整數(shù)1. 反常積分 (廣義積分 ) 1. 無(wú)窮限的反常積分(1) 設(shè)( )f x在 ,)a上連續(xù) , ( )lim( )baabf x dxfx dx(2) 設(shè)(

9、 )f x在(, b上連續(xù) , ( )lim( )bbaaf x dxf x dx(3) 設(shè)( )f x在(,)上連續(xù) , 0000( )( )( )lim( )lim( )baabf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx若上述各式右端的極限存在， 則對(duì)應(yīng)的反常積分收斂， 否則稱該反常積分發(fā)散 . 注：(3)的右端是兩個(gè)獨(dú)立的極限，只有當(dāng)兩個(gè)極限都存在使，才有( )f x dx收斂. 只要有一個(gè)極限不存在，( )f x dx就發(fā)散 . 2. 無(wú)界函數(shù)的反常積分(1) 設(shè)( )f x在( , a b上 連 續(xù) ， 點(diǎn)a為( )f x的 瑕 點(diǎn) ，( )lim( )bbatta

10、f x dxf x dx(2) 設(shè)( )f x在 , )a b上 連 續(xù) ， 點(diǎn)b為( )f x的 瑕 點(diǎn) ，( )lim( )btaatbf x dxf x dx(3) 設(shè)( )f x在 , a b上除點(diǎn)c ()acb外連續(xù)，點(diǎn)c為( )f x的瑕點(diǎn)，( )( )( )lim( )lim( )bcbtbaacattctcf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx若上述各式右端的極限存在， 則對(duì)應(yīng)的反常積分收斂， 否則稱該反常積分發(fā)散 . 注：(3)的右端是兩個(gè)獨(dú)立的極限，只有當(dāng)兩個(gè)極限都存在使，才有( )baf x dx收斂. 只要有一個(gè)極限不存在，( )baf x dx就

11、發(fā)散 . 3. 反常積分的審斂法(1)(比較審斂法 1)設(shè)( )fx在 ,)(0)aa上連續(xù)，且( )0f x. 若存在常數(shù)0m及1p，使得( )pmf xx()ax，則反常積分( )af x dx收斂；若存在常數(shù)0n，使得( )nf xx()ax，則反常積分( )af x dx發(fā)散. (2)(極限審斂法 1) 設(shè)( )f x在 ,)a上連續(xù)，且( )0f x. 若存在常數(shù)1p，使得lim( )pxx f x存在，則反常積分( )af x dx收斂；若lim( )0 xxf xd，(或lim( )xxf x)則反常積分( )af x dx發(fā)散. (3) (比較審斂法 2)設(shè)( )f x在( ,

12、 a b上連續(xù)，且( )0f x. xa為( )f x的瑕點(diǎn) .若存在常數(shù)0m及1q，使得( )()()qmf xaxbxa，則反常積分( )bafx dx收斂；若存在常數(shù)0n，使得( )nf xxa()axb，則反常積分( )baf x dx發(fā)散. (4)(極限審斂法 2) 設(shè)( )f x在( , a b上連續(xù)，且( )0f x. xa為( )f x的瑕點(diǎn) . 若存在常數(shù)01q，使得lim()( )qxaxaf x存在，則反常積分( )baf x dx收斂；若lim() ( )0 xaxa f xd， (或lim()( )xaxa f x)則反常積分( )baf x dx發(fā)散. 三、重點(diǎn)與難

13、點(diǎn)1. 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) . 2. 牛頓萊布尼茲公式 . 3. 定積分的換元法和分部積分法. 四、例題1. 求2222212lim()12nnnnnn分析：由定積分定義知01()( )lim( )nbiiainf x dxfx，可見(jiàn)求右端的極限也可通過(guò)求左端的定積分值而得到. 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是把和式歸結(jié)為某個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上的積分和式. 解：原式22221111limlimlim11( )nnniinnniiiiiinxininn11122220001111(1)ln(1)ln 212122xdxdxxxx2. 下列解法是否正確(1). 2200sec1tanarctan()02tan

14、22xxdxx(2).111122211111111xtdxdtdxxtx令，即11221112011dxdxxx解：這兩題的解法都不正確. (1) 被積函數(shù)220sec( )2tanxf xdxx在積分區(qū)間0,內(nèi)2x處不滿足“牛頓萊布尼茲”公式的條件，故不能直接應(yīng)用公式. (2) 代換1xt在 1,1上不連續(xù)，故在 1,1上不可導(dǎo)，不符合換元法的條件 . 3. 求下列定積分(1)30sinsinxxdx(2)221min,xxdx(3)2221dxdxxx(4)2212xxx dx解：32000sinsinsincossincosxxdxxxdxxx dx2202sincossincosxx

15、dxxxdx332220222sinsin33xx224333注：帶絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)的積分，需先脫掉絕對(duì)值符號(hào)， 如在積分區(qū)間上脫掉絕對(duì)值符號(hào)后為分段函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)的積分. (2) 2211min,12xxx xxx2122211113min,6x xdxx dxxdx(3) 2222222222111111()ddxdxxdxxxxxx221arcsin4612x(4)22221121(1)xxx dxxxdx令1sin ,xt則cosdxtdt原式222222000(sin1)coscoscoscosttdttdttdt230111cos32 234t4. 設(shè)( )f x連續(xù)，0(

16、 )( )xg xxf t dt，求(0)g解：0( )( )( )xg xxfxf t dt(1) (0)0g000( )( )( )(0)(0)limlimxxxxf xf t dtg xggxx000( )( )lim( )(0)lim2 (0)1xxxf t dtf xfxffx注：此題沒(méi)有( )f x可導(dǎo)的條件，故“對(duì) (1)式兩邊在對(duì)x求導(dǎo). 得( )( )( )( )2( )( )(0)2 (0)gxf xxfxf xf xxfxgf“這種解法是錯(cuò)誤的 . 5. 計(jì)算下列極限(1)20sin00ln(1)limsin 2xxxt dttdt(2)20030( )limxttxxt

17、ef u du dtx e解：(1)20sin0000ln(1)ln(12 ) 24limlimlimsin(2sin)cossin 2sin 2xxxxxt dtxxxxxtdt(2)222000032323000( )( )( )limlimlim(3)3xxtxtxxxxxxtef u du dtxef u duf u dux exx exx20() 2(0) 0lim0323xf xxfx6.設(shè)( )f x為連續(xù)函數(shù)，且221(2)( )arctan2xxxt f t dtx，(1)1f，求21( )f x dx. 解：22212( )( )arctan2xxxxxf t dttf t

18、 dtx兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得242( )2 2(2 )( )4(2 )( )1xxxf t dtxfxf xxfxxf xx整理后，有241( )( )2 1xxxf t dtxf xx令1x，即得211 13( )(1)2 24f x dxf7.設(shè)( )f x在(,)內(nèi)連續(xù)，且0( )()( )2xxf xt f t dt證明：(1)若( )f x為偶函數(shù)，則( )f x也是偶函數(shù) . (2) 若( )f x為 單 減 函 數(shù) ， 則( )f x也 是 單 增 函數(shù). 證明：(1) 00()() ( )() ()()22xxxxfxt f t dtu fu dutu0()( )( )2xxu f

19、 u duf x即( )f x為偶函數(shù)(2) 00( )( )( )2xxxf xf t dttf t dt0011( )( )( )( )( )( )222xxxfxf t dtf xxf xf t dtxf x00011( )( )( )( )22xxxf t dtf x dtf tf x dt由( )f x單減，當(dāng)0tx時(shí)，( )( )0f tf x01( )( )( )0(0)2xfxf tf x dtx時(shí)當(dāng)0 xt時(shí)，( )( )0f tf x. 0011( )( )( )0( )( )22xxfxf tf x dtf tf x dt(0)x時(shí)即在(,)上，( )f x為單增函數(shù) .

20、 8.計(jì)算下列各題：(1)52222(sin)cosxxxdx(2)2ln(1)(0)axaxedxa(1)解：52cosxx為奇函數(shù)，22sincosxx為偶函數(shù) . 原式522222222222cossincossincosxxdxxxdxxxdx22242220002sin(1 sin)2sinsinxx dxxdxxdx=13 12()224 228(2)分析：此題的積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間，而對(duì)稱區(qū)間上的定積分有公式aaadxxfxfdxxf0)()()(，若)()(xfxf在,0a上容易積分，該公式就可利用了 . 解：axxaaxdxexexdxex0222)1ln()1ln()1ln(

21、axxxaxxdxeeexdxeex001)1(ln211ln23003232322axdxxaa9.計(jì)算kdxx02sin1(k為正整數(shù) ) 解：原式kkdxxxdxxx002cossin)cos(sinkkdxxxdxxxdxxx)1(20cossincossincossin0cossindxxxk)cos(sin)sin(cos440dxxxdxxxk)sin(cos)cos(sin440 xxxxkk22注：xxcossin是周期為的周期函數(shù) . 10.求dxxx1021)1ln(解：令txtan，原式dtttdttt402402)tan1ln(secsec)tan1ln(設(shè)dtt40

22、)tan1ln(dttdtttdttt404040cosln)sinln(cos)cossin1ln(dttdtt4040cosln)4cos(2ln(1) 而duuduudtt400440)cos2ln)cos2ln()4cos(2ln)4(tuduudu4040cosln2ln代入(1)式得dttduudu404040coslncosln2ln2ln82ln40du所以2ln81)1ln(102dxxx11.求20cossinsindxeeexxx解：20sincoscos02sincoscos20cossinsindxeeedxeeedxeeexxxtttxxx于是222020sinco

23、scossindxdxeeeexxxx420cossinsindxeeexxx12.求10122dxdtexxt. 解：221xtdte為x的函數(shù)，令221)(xtdtexf原式10210210210)(2)(22)()(dxxfxxfxxdxfdxxxf1021012222422dxxexdtexxxt104103)(4144xdedxexxx) 1(411e13. 設(shè)函數(shù)xdttx0sin)(1)當(dāng)n為正整數(shù)，且)1(nxn時(shí)，證明)1(2)(2nxn(2)求xxx)(lim解：(1)由0sint,且)1(nxn)1(00sin)(sinnndttxdtt有由tsin是周期為的周期函數(shù) .

24、 ntdtndttndttn2sinsinsin000同理)1(2sin)1(0ndttn因此，當(dāng)) 1(nxn時(shí)，有)1(2)(2nxn(2)由(1)知當(dāng)) 1(nxn即nxn11)1(1有nnxxnn)1(2)()1(2，令x，有n. 而2)1(2limnnn，2)1(2limnnn2)(limxxx14.設(shè))(xf在 1 ,0上 連續(xù) ， 且 單調(diào)遞 減， 證 明 對(duì))1 ,0(,有100)()(dxxfdxxf證法一：1010)()()(dxxfdxxfdxxf于是100)()(dxxfdxxf=)()()(100dxxfdxxfdxxf =10)()()1 (dxxfdxxf由積分中

25、值定理)()(10fdxxf10)()1()(21fdxxf12因此100)()(dxxfdxxf=)()1()()1 (21ff=)()()1 (21ff (1021) 因)(xf單減，則有)()(21ff，即100)()(dxxfdxxf. 證法二：設(shè)100)()(1)(dxxfdxxff (10) 2201)()()()()(ffdxxfff00)()(ff即)(f在1 ,0(上單調(diào)不增，即0)1()(ff，即有100)()(dxxfdxxf. 注：此題還可以用積分換元法加以證明. 15. 設(shè))(xf在 1 ,0上連續(xù)，)1 , 0(內(nèi)可導(dǎo)，且滿足2102)(2) 1(dxxfxf. 證

26、明在)1 , 0(內(nèi)至少有一點(diǎn)使)(2)(ff. 證：設(shè))()(2xfxxf，由積分中值定理，21)()()(12102102fdxxfdxxfx (2101) 即21021)(2)(dxxfxf，而dxxfxff21022)(2) 1 (1)1 (即)1()(1ff，由羅爾定理，存在)1 ,0() 1 ,(1，使0)(f而)()(2)(2xfxxxfxf，即有0)()(2)(2fff也即0)()(2ff，)(2)(ff. 16. 計(jì)算下列反常積分 . (1)22ln1dxxx (2) 0232)1(arctandxxx (3)10211lndxx解：(1) 22ln1dxxx=21)ln1(

27、xdx =2221ln1dxxxx =2122ln1x=22ln. (2) 令xxtan，0232)1(arctandxxxdtttt2023secsec =dttt20cos=tdt sin20 =2020sinsintdttt=20cos2t=12. (3) 2111lnlimxx, 1x為被積函數(shù)的瑕點(diǎn) . 10211lndxx=ttdxxx01)1)(1 (1lnlim =ttdxxx01)1ln()1ln(lim =ttxxxxx01)1ln()1(2)1ln() 1(lim =)1ln()1(2)1ln()1(lim1tttttt =)2ln1(217. 已知dxex2，12dxc

28、exx. 求c的值. 解：dxcexx2)21(41)21(2xdeecxtx21令dteect412dtecet24141ce即414111ecce. 18. 設(shè)其它010)(xxxf，000)(xxexgx，求函數(shù)dxxtgxfth)()()(的表達(dá)式 . 解：因?yàn)?(xf在)1 ,0(上為xxf)(，在) 1 ,0(之外都為零 . 故dxxtgxfth)()()(10)(dxxtxg而其它00)()(xtextgxt當(dāng)0t時(shí)，由于積分變量 1 ,0 x，故總有tx從而0)(xtg，0)()(10dxxtxgth. 當(dāng)10t時(shí)，1010)()()()(ttdxxtxgdxxtxgdxxtx

29、gth當(dāng)積分變量x在 1 ,t上變化時(shí)，0 xt，0)(xtg，所以0)(1tdxxtxg從而txtttxtdxxeedxxedxxtxgth000)()(tttttxxteteteeexee1)1(0當(dāng)1t時(shí)，txttxedxxeedxxedxxtxgth101010)()(. 綜上時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)110100)(textetthtt注：本題是含參變量的反常積分，這是一類(lèi)重要的積分，它在概率統(tǒng)計(jì)以及積分變換中都會(huì)用到. 定積分自測(cè)題 (a) 一. 選擇題( 每小題 3 分，共 15 分). 1.dtedxdbxt2( ) (a)2xe (b)2xe (c)22xbee (d)22xxe2.dxx

30、xi3021, 則( ) (a) 化為)1()1(21230212xdxi后計(jì)算(b) 進(jìn)行代換txsin后計(jì)算(c) 進(jìn)行代換tx21，dtti30212121后計(jì)算(d) 進(jìn)行代換txcos后計(jì)算3. 設(shè))(xf連續(xù)且2)0(f，00)()(20 xcxxdtttfxfx，若)(xf在0 x處連續(xù)，則c( ) (a)0c (b) 1c (c)c不存在 (d) 1c4. 設(shè))(xf在aa, 上連續(xù)，則aadxxf)(等于( ) (a)adxxf0)(2 (b)0 (c) adxxfxf0)()( (d)adxxfxf0)()(5. 設(shè))(xf是連續(xù)的奇函數(shù)，則)(xf的任一原函數(shù) ( ) (

31、a) 是偶函數(shù) (b)是奇函數(shù)(c) 可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù) (d)非奇非偶函數(shù)二.(7 分) 求4121141lim22222nnnn. 三. 計(jì)算下列各題 ( 每題 6 分，共 12 分). 1.202200)()(lim22dtedtextxtx 2. 設(shè)dttxfxxsin2)1arctan()(，求)0(f. 四. 計(jì)算下列定積分 ( 每題 8 分，共 56 分). 1.21ln11edxxx 2.dxxx20cossin 3.43412)1(1dxxxx 4.xedx1 5.dxx4302cos1 6.dxxx11224 7.dxxx22ln1五.(10 分) 設(shè)001)(2

32、xexxxfx，求dxxf31)2(. 定積分自測(cè)題 (b) 一. 選擇題( 每小題 3 分，共 15 分). 1. 設(shè)0)(dxxfba，且)(xf在,ba連續(xù)，則 ( ) (a) 在,ba上，0)(xf (b)必存在,ba，使0)(f(c) 存在唯一的,ba， 使0)(f (d) 不一定存在,ba， 使0)(f2. 設(shè)dttixeln1，dttixe22)(ln，(0 x) ，則( ) (a) 對(duì)一切ex，有21ii (b)僅當(dāng)ex時(shí)，有21ii(c) 對(duì)一切ex，有21ii (d)僅當(dāng)ex時(shí)，有21ii3. 當(dāng)0 x時(shí)，102)sin()(xedttxf與43)(xxxg比較，是 ( )

33、 (a) 高階無(wú)窮小 (b)低階無(wú)窮小(c) 同階但非等價(jià)無(wú)窮小 (d)等價(jià)無(wú)窮小4. 函數(shù)dttttxx0213)(在區(qū)間 1 ,0上的最小值為 ( ) (a)21 (b)31 (c)41 (d)0 5.xdttxxcos1)1ln(lim2sin00( ) (a)8 (b)4 (c)2 (d)1 二. 填空題( 每小題 3 分，共 15 分). 1. 設(shè))(xf為連續(xù)函數(shù)，則aadxxfxfx)()(2. 2.)212111(limnnnn. 3. 若dxxfdxxxfa0202)(21)(，則a. 4. 設(shè)21110)(2xxxxf， 而xdttfxf1)()()20(x， 則)(xf.

34、 5.dxx201. 三. 計(jì)算下列各題 ( 每題 8 分，共 56 分). 1.10 xxeedx 2.214)1 (xxdx3.d22234sin)sin(cos 4.dxxx202sin3sin5.2ln021dxex 6.02)1 ()1ln(dxxx7. 已知5)2(, 3)2(, 1)0(fff，求10 )(dxxxf. 四.(8 分) 設(shè)xdtttxf111ln)()0(x, 試求)1()(xfxf. 五.(6 分) 設(shè))(xf在1 ,0上連續(xù)，)1 ,0(內(nèi)可導(dǎo)，且)0()(3132fdxxf. 證明：在) 1 ,0(內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使0)(f. 定積分自測(cè)題 (c) 一. 選擇題( 每小題 3 分，共 18 分). 1. 設(shè))(xf為連續(xù)函數(shù)，那么函數(shù)xdtttfxf02)()(為( ) (a) 奇函數(shù) (b)偶函數(shù)(c) 非奇非偶函數(shù) (d)單調(diào)增加函數(shù)2.xadttf)2( ) (a)()( 2afxf (b)2()2(afxf(c)2()2( 2afxf (d)2()2(21afxf3. 函數(shù))(xf在閉區(qū)間,ba上連續(xù)是定積分dxxfba