2003年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題

1、2003年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題一、選擇題（42分）1.計(jì)算：等于( )(a)5-4 (b)4-1 (c)5 (d)12.在十邊形的所有內(nèi)角中,銳角的個(gè)數(shù)最多是( )(a)0 (b)1 (c)3 (d)53.若函數(shù)y=kx(k>0)與函數(shù)y=的圖象相交于a、c兩點(diǎn)，ab垂直于x軸于b,則abc的面積為( )(a)1 (b)2 (c)k (d)k24.滿足等式=2003的正整數(shù)對(duì)(x,y)的個(gè)數(shù)是( )(a)1 (b)2 (c)3 (d)45.設(shè)abc的面積為1,d是邊ab上一點(diǎn),且.若在邊ac上取一點(diǎn)e,使四邊形decb的面積為,則的值為( ) (a) (b) (c) (d) 6.如圖

2、,在abcd中,過a、b、c三點(diǎn)的圓交ad于e，且與cd相切。若ab=4，be=5，則de的長(zhǎng)為（ ）(a)3 (b)4 (c) (d) 二、填空題（28分）1. 拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于a、b兩點(diǎn)，與y軸交于c點(diǎn).若abc是直角三角形,則ac=_.2.設(shè)m是整數(shù),且方程3x2+mx-2=0的兩根都大于-而小于,則m=_.3.如圖,aa/、bb/分別是eab，dbc的平分線.若aa/=bb/=ab，則bac的度數(shù)為_.4.已知正整數(shù)a、b之差為120,它們的最小公倍數(shù)是其最大公約數(shù)的105倍,那么a、b中較大的數(shù)是_ _.三、（20分）在abc中，d為ab的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)ca、cb

3、到點(diǎn)e、f，使de=df；過e、f分別作ca、cb的垂線，相交于p.設(shè)線段pa、pb的中點(diǎn)分別為m、n.求證：（1）demdfn.（2）pae=pbf.四、（25分）已知實(shí)數(shù)a、b、c、d互不相等，且a += b += c + = d += x,試求x的值.五、（25分）已知四邊形abcd的面積為32，ab、cd、ac的長(zhǎng)都是整數(shù)，且它們的和為16。（1） 這樣的四邊形有幾個(gè)？（2）求這樣的四邊形的邊長(zhǎng)的平方和的最小值.參考答案一、選擇題（42分）1. (d)解:原式=1.故選(d)2. (c)3. (a)解:設(shè)a點(diǎn)的坐標(biāo)為a(x,y),則xy=1,故abo的面積為.又因?yàn)閍bo與cbo同底等

4、高,因此,abc的面積=2×abo的面積=1.故選(a)4.b解:由題設(shè)有,而,所以=0,故xy=2003.又因?yàn)?003為質(zhì)數(shù),因此有 ,故選(b). 5. (b)解:如圖,連結(jié)be,sade=1-.設(shè)=x,則sabe=1-x,sade=.所以.故選(b).6.d解:連結(jié)ac,ce.因?yàn)閍ebc,所以abce是等腰梯形,所以ac=be=5.又因?yàn)?dcab,dc與圓相切,所以bac=acd=abc.所以,ac=bc=ad=5,dc=ab=4. 又 dc2=ad×de,所以de=.故選(d). 二、填空題（28分）1.解:設(shè)a(x1,0),b(x2,0),由abc是直角三角

5、形知x1與x2必異號(hào),而x1與x2是方程ax2+bx+c=0兩個(gè)根,故x1·x2=<0.由射影定理知丨oc丨2=丨a0丨·丨bo丨,即c2=丨x1丨·丨x2丨=丨丨,故ac=-1.2.解:由題設(shè)知:3(-)2+m(-)-2>0 (1);3(-)2+m(-)-2>0 (2).由(1),得,故m<4;由(2),得m>3.而m是整數(shù),故m=4.3.解:設(shè)bac的度數(shù)為x,因?yàn)閍b=bb/,所以b/bd=2x,cbd=4x,因?yàn)閍b=aa/,所以aa/b=aba/=cbd=4x.因?yàn)閍/ab=(1800-x),所以(1800-x)+4x+4x

6、=1800.解得x=120. 4.已知正整數(shù)a、b之差為120,它們的最小公倍數(shù)是其最大公約數(shù)的105倍,那么a、b中較大的數(shù)是_.解:設(shè)(a,b)=d,則a=md,b=nd,其中m>n,且m與n互質(zhì).于是a×b的最小公倍數(shù)為mnd.依題意有,即由m>n,據(jù),得 或 或 或.根據(jù),只能取 ,可求得d=15,故a、b中較大的數(shù)是md=225.三、證明：如圖，據(jù)題設(shè)可知，dm平行且等于bn，dn平行且等于am，所以，amd=bnd。因?yàn)閙、n分別是rtaep和rtbfp斜邊的中點(diǎn), 所以,em=am=dn,fn=bn=dm,又已知de=df,所以demdfn.(2)由demd

7、fn可知,emd=fnd, 所以ame=bnf,而ame、bnf均為等腰三角形,所以pae=pbf.四、解:由已知，有a+=x-(1), b+=x-(2), c+=x-(3), d+=x -(4).由(1)解出 b =-(5),代入(2)得 c =-(6)(6)代入(3)得 + = x,即dx3-（ad+1)x2-(2d-a)x+ad+1=0(7)由(4)得ad+1=ax,代入(7)得(d-a)(x3-2x)=0,由已知d-a0,所以x3-2x=0,若x=0,則由(6)得a=c,矛盾.故有x2=2,x=±.五、（25分）已知四邊形abcd的面積為32，ab、cd、ac的長(zhǎng)都是整數(shù)，且

8、它們的和為16。（1）這樣的四邊形有幾個(gè)？（2）求這樣的四邊形的邊長(zhǎng)的平方和的最小值。解：（1）如圖，設(shè)ab=a,cd=b,ac=t,并設(shè)abc中ab邊上的高為h1,adc中dc邊上的高為h2.則sabcd=sabc+sadc=(h1a+h2a)t(a+b),僅當(dāng)h1=h2=t時(shí)等號(hào)成立,即在四邊形abcd中,當(dāng)acab及accd時(shí)等號(hào)成立.由已知可得64t(a+b),又由題設(shè)a+b=16-t,可得64t(16-t)=64-(t-8)264,于是必有t=8,a+b=8,且這時(shí)acab及accd.因此這樣的四邊形有4個(gè):a=1,b=7,t=8;a=2,b=6,t=8;a=3,b=5,t=8;a=b=4,t=8.它們都是以