2014年天津市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(含解析版)

1、2014年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分）1（5分）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（）a1ib1+ic+id+i2（5分）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最小值為（）a2b3c4d53（5分）閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出s的值為（）a15b105c245d9454（5分）函數(shù)f（x）=log（x24）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）a（0，+）b（，0）c（2，+）d（，2）5（5分）已知雙曲線=1（a0，b0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為（）a=1b=1c=1d=16（5分）如圖，abc是圓的內(nèi)接三

2、角形，bac的平分線交圓于點(diǎn)d，交bc于e，過(guò)點(diǎn)b的圓的切線與ad的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)f，在上述條件下，給出下列四個(gè)結(jié)論：bd平分cbf；fb2=fdfa；aece=bede；afbd=abbf所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）abcd7（5分）設(shè)a，br，則“ab”是“a|a|b|b|”的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分又不必要條件8（5分）已知菱形abcd的邊長(zhǎng)為2，bad=120°，點(diǎn)e、f分別在邊bc、dc上，=，=，若=1，=，則+=（）abcd二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）9（5分）某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的

3、方向，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查，已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取 名學(xué)生10（5分）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為 m311（5分）設(shè)an是首項(xiàng)為a1，公差為1的等差數(shù)列，sn為其前n項(xiàng)和，若s1，s2，s4成等比數(shù)列，則a1的值為 12（5分）在abc中，內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知bc=a，2sinb=3sinc，則cosa的值為 13（5分）在以o為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓=4sin和直線sin=a相交于a、b兩點(diǎn)，若aob是等邊三角形，則a的值為 1

4、4（5分）已知函數(shù)f（x）=|x2+3x|，xr，若方程f（x）a|x1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 三、解答題（共6小題，共80分）15（13分）已知函數(shù)f（x）=cosxsin（x+）cos2x+，xr（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在閉區(qū)間，上的最大值和最小值16（13分）某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)，在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院，現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)（每位同學(xué)被選到的可能性相同）（）求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率；（）設(shè)x為選出的3名同

5、學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望17（13分）如圖，在四棱錐pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，ad=dc=ap=2，ab=1，點(diǎn)e為棱pc的中點(diǎn)（）證明：bedc；（）求直線be與平面pbd所成角的正弦值；（）若f為棱pc上一點(diǎn)，滿足bfac，求二面角fabp的余弦值18（13分）設(shè)橢圓+=1（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，右頂點(diǎn)為a，上頂點(diǎn)為b，已知|ab|=|f1f2|（）求橢圓的離心率；（）設(shè)p為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段pb為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)f1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)o的直線l與該圓相切，求直線l的斜率19（14分）已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)

6、集合m=0，1，2，q1，集合a=x|x=x1+x2q+xnqn1，xim，i=1，2，n（）當(dāng)q=2，n=3時(shí)，用列舉法表示集合a；（）設(shè)s，ta，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，bim，i=1，2，n證明：若anbn，則st20（14分）設(shè)f（x）=xaex（ar），xr，已知函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1x2（）求a的取值范圍；（）證明：隨著a的減小而增大；（）證明x1+x2隨著a的減小而增大2014年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分）1（5分）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（）a1ib1+ic+id+

7、i【考點(diǎn)】a5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】5n：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)【分析】將復(fù)數(shù)的分子與分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)34i，即求出值【解答】解：復(fù)數(shù)=，故選：a【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題2（5分）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最小值為（）a2b3c4d5【考點(diǎn)】7c：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】59：不等式的解法及應(yīng)用【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過(guò)平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由z=x+2y，得y=，平移直線y=，由圖象可知當(dāng)直線y=經(jīng)過(guò)點(diǎn)b（1，1）時(shí)，直線y=的截距最小，此

8、時(shí)z最小此時(shí)z的最小值為z=1+2×1=3，故選：b【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法3（5分）閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出s的值為（）a15b105c245d945【考點(diǎn)】ef：程序框圖菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】5k：算法和程序框圖【分析】算法的功能是求s=1×3×5××（2i+1）的值，根據(jù)條件確定跳出循環(huán)的i值，計(jì)算輸出s的值【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是求s=1×3×5××（2i+1）的值，跳出循環(huán)的i值為4，輸出s=1×3

9、15;5×7=105故選：b【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解答本題的關(guān)鍵4（5分）函數(shù)f（x）=log（x24）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）a（0，+）b（，0）c（2，+）d（，2）【考點(diǎn)】3g：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】令t=x240，求得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ǎ?）（2，+），且函數(shù)f（x）=g（t）=logt根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，本題即求函數(shù)t在（，2）（2，+） 上的減區(qū)間再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，函數(shù)t在（，2）（2，+） 上的減區(qū)間【解答】解：令t=x240，可得 x2，或 x2，故函數(shù)f（

10、x）的定義域?yàn)椋ǎ?）（2，+），當(dāng)x（，2）時(shí)，t隨x的增大而減小，y=logt隨t的減小而增大，所以y=log（x24）隨x的增大而增大，即f（x）在（，2）上單調(diào)遞增故選：d【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題5（5分）已知雙曲線=1（a0，b0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為（）a=1b=1c=1d=1【考點(diǎn)】kb：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】5d：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】先求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線=1（a0，b0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，可得

11、=2，結(jié)合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出雙曲線的方程【解答】解：雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，令y=0，可得x=5，即焦點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），c=5，雙曲線=1（a0，b0）的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10，=2，c2=a2+b2，a2=5，b2=20，雙曲線的方程為=1故選：a【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題6（5分）如圖，abc是圓的內(nèi)接三角形，bac的平分線交圓于點(diǎn)d，交bc于e，過(guò)點(diǎn)b的圓的切線與ad的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)f，在上述條件下，給出下列四個(gè)結(jié)論：bd平分cbf；fb2=fdfa；aece=bede；afbd=abbf所有正確結(jié)論的序號(hào)是

12、（）abcd【考點(diǎn)】2k：命題的真假判斷與應(yīng)用；nc：與圓有關(guān)的比例線段菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】5b：直線與圓【分析】本題利用角與弧的關(guān)系，得到角相等，再利用角相等推導(dǎo)出三角形相似，得到邊成比例，即可選出本題的選項(xiàng)【解答】解：圓周角dbc對(duì)應(yīng)劣弧cd，圓周角dac對(duì)應(yīng)劣弧cd，dbc=dac弦切角fbd對(duì)應(yīng)劣弧bd，圓周角bad對(duì)應(yīng)劣弧bd，fbd=bafad是bac的平分線，baf=dacdbc=fbd即bd平分cbf即結(jié)論正確又由fbd=fab，bfd=afb，得fbdfab由，fb2=fdfa即結(jié)論成立由，得afbd=abbf即結(jié)論成立正確結(jié)論有故選：d【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弦切角、圓周角與弧

13、的關(guān)系，還考查了三角形相似的知識(shí)，本題總體難度不大，屬于基礎(chǔ)題7（5分）設(shè)a，br，則“ab”是“a|a|b|b|”的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分又不必要條件【考點(diǎn)】29：充分條件、必要條件、充要條件菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】5l：簡(jiǎn)易邏輯【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論【解答】解：若ab，ab0，不等式a|a|b|b|等價(jià)為aabb，此時(shí)成立0ab，不等式a|a|b|b|等價(jià)為aabb，即a2b2，此時(shí)成立a0b，不等式a|a|b|b|等價(jià)為aabb，即a2b2，此時(shí)成立，即充分性成立若a|a|b|b|，當(dāng)a0，b0時(shí)，a|a

14、|b|b|去掉絕對(duì)值得，（ab）（a+b）0，因?yàn)閍+b0，所以ab0，即ab當(dāng)a0，b0時(shí)，ab當(dāng)a0，b0時(shí)，a|a|b|b|去掉絕對(duì)值得，（ab）（a+b）0，因?yàn)閍+b0，所以ab0，即ab即必要性成立，綜上“ab”是“a|a|b|b|”的充要條件，故選：c【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用不等式的性質(zhì) 結(jié)合分類(lèi)討論是解決本題的關(guān)鍵8（5分）已知菱形abcd的邊長(zhǎng)為2，bad=120°，點(diǎn)e、f分別在邊bc、dc上，=，=，若=1，=，則+=（）abcd【考點(diǎn)】9o：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】5a：平面向量及應(yīng)用【分析】利用兩個(gè)向量的加

15、減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義由=1，求得4+42=3 ；再由=，求得+=結(jié)合求得+的值【解答】解：由題意可得若=（+）（+）=+=2×2×cos120°+=2+4+4+×2×2×cos120°=4+422=1，4+42=3 =（）=（1）（1）=（1）（1）=（1）（1）×2×2×cos120°=（1+）（2）=，即+=由求得+=，故選：c【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題二、填空題（共6小題，每小題5分

16、，共30分）9（5分）某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方向，從該校四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查，已知該校一年級(jí)、二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取60名學(xué)生【考點(diǎn)】b3：分層抽樣方法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】5i：概率與統(tǒng)計(jì)【分析】先求出一年級(jí)本科生人數(shù)所占總本科生人數(shù)的比例，再用樣本容量乘以該比列，即為所求【解答】解：根據(jù)分層抽樣的定義和方法，一年級(jí)本科生人數(shù)所占的比例為=，故應(yīng)從一年級(jí)本科生中抽取名學(xué)生數(shù)為300×=60，故答案為：60【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分層抽樣的定義和方法，利

17、用了總體中各層的個(gè)體數(shù)之比等于樣本中對(duì)應(yīng)各層的樣本數(shù)之比，屬于基礎(chǔ)題10（5分）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為m3【考點(diǎn)】l!：由三視圖求面積、體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】5q：立體幾何【分析】幾何體是圓錐與圓柱的組合體，判斷圓柱與圓錐的高及底面半徑，代入圓錐與圓柱的體積公式計(jì)算【解答】解：由三視圖知：幾何體是圓錐與圓柱的組合體，其中圓柱的高為4，底面直徑為2，圓錐的高為2，底面直徑為4，幾何體的體積v=×12×4+××22×2=4+=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)

18、所對(duì)應(yīng)的幾何量是解題的關(guān)鍵11（5分）設(shè)an是首項(xiàng)為a1，公差為1的等差數(shù)列，sn為其前n項(xiàng)和，若s1，s2，s4成等比數(shù)列，則a1的值為【考點(diǎn)】87：等比數(shù)列的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】由條件求得，sn=，再根據(jù)s1，s2，s4成等比數(shù)列，可得 =s1s4，由此求得a1的值【解答】解：由題意可得，an=a1+（n1）（1）=a1+1n，sn=，再根據(jù)若s1，s2，s4成等比數(shù)列，可得 =s1s4，即 =a1（4a16），解得 a1=，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，屬于中檔題12（5分）在abc中，內(nèi)角a，b，c所對(duì)

19、的邊分別是a，b，c，已知bc=a，2sinb=3sinc，則cosa的值為【考點(diǎn)】hp：正弦定理；hr：余弦定理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】58：解三角形【分析】由條件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosa= 的值【解答】解：在abc中，bc=a ，2sinb=3sinc，2b=3c ，由可得a=2c，b=再由余弦定理可得 cosa=，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題13（5分）在以o為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓=4sin和直線sin=a相交于a、b兩點(diǎn)，若aob是等邊三角形，則a的值為3【考點(diǎn)】q4：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】5s：坐

20、標(biāo)系和參數(shù)方程【分析】把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出b的坐標(biāo)的值，代入x2+（y2）2=4，可得a的值【解答】解：直線sin=a即y=a，（a0），曲線=4sin，即2=4sin，即x2+（y2）2=4，表示以c（0，2）為圓心，以2為半徑的圓，aob是等邊三角形，b（a，a），代入x2+（y2）2=4，可得（a）2+（a2）2=4，a0，a=3故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線和圓的位置關(guān)系，求出b的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題14（5分）已知函數(shù)f（x）=|x2+3x|，xr，若方程f（x）a|x1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，

21、1）（9，+）【考點(diǎn)】53：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】由y=f（x）a|x1|=0得f（x）=a|x1|，作出函數(shù)y=f（x），y=a|x1|的圖象利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論【解答】解：由y=f（x）a|x1|=0得f（x）=a|x1|，作出函數(shù)y=f（x），y=g（x）=a|x1|的圖象，當(dāng)a0，兩個(gè)函數(shù)的圖象不可能有4個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，則a0，此時(shí)g（x）=a|x1|=，當(dāng)3x0時(shí)，f（x）=x23x，g（x）=a（x1），當(dāng)直線和拋物線相切時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)x23x=a（x1），即x2+（3a）x+a=0，則由=（3a）24a=0，即a

22、210a+9=0，解得a=1或a=9，當(dāng)a=9時(shí)，g（x）=9（x1），g（0）=9，此時(shí)不成立，此時(shí)a=1，要使兩個(gè)函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則此時(shí)0a1，若a1，此時(shí)g（x）=a（x1）與f（x），有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)只需要當(dāng)x1時(shí)，f（x）=g（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即可，即x2+3x=a（x1），整理得x2+（3a）x+a=0，則由=（3a）24a0，即a210a+90，解得a1（舍去）或a9，綜上a的取值范圍是（0，1）（9，+），方法2：由f（x）a|x1|=0得f（x）=a|x1|，若x=1，則4=0不成立，故x1，則方程等價(jià)為a=|=|x1+5|，設(shè)g（x）=x1+5，當(dāng)x1時(shí)，g（x）=x1

23、+5，當(dāng)且僅當(dāng)x1=，即x=3時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x1時(shí)，g（x）=x1+5=54=1，當(dāng)且僅當(dāng)（x1）=，即x=1時(shí)取等號(hào)，則|g（x）|的圖象如圖：若方程f（x）a|x1|=0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則滿足a9或0a1，故答案為：（0，1）（9，+）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大三、解答題（共6小題，共80分）15（13分）已知函數(shù)f（x）=cosxsin（x+）cos2x+，xr（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在閉區(qū)間，上的最大值和最小值【考點(diǎn)】gl：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；h1：三角函數(shù)的周期性菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】57：三

24、角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【分析】（）根據(jù)兩角和差的正弦公式、倍角公式對(duì)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由復(fù)合三角函數(shù)的周期公式求出此函數(shù)的最小正周期；（）由（）化簡(jiǎn)的函數(shù)解析式和條件中x的范圍，求出的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出再已知區(qū)間上的最大值和最小值【解答】解：（）由題意得，f（x）=cosx（sinxcosx）= =所以，f（x）的最小正周期=（）由（）得f（x）=，由x，得，2x，則，當(dāng)=時(shí)，即=1時(shí)，函數(shù)f（x）取到最小值是：，當(dāng)=時(shí)，即=時(shí)，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值為，最小值為【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及復(fù)合三角函數(shù)的周期公式應(yīng)用，考查了整

25、體思想和化簡(jiǎn)計(jì)算能力，屬于中檔題16（13分）某大學(xué)志愿者協(xié)會(huì)有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)，在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來(lái)自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來(lái)自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個(gè)學(xué)院，現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(dòng)（每位同學(xué)被選到的可能性相同）（）求選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率；（）設(shè)x為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望【考點(diǎn)】cb：古典概型及其概率計(jì)算公式；cg：離散型隨機(jī)變量及其分布列；ch：離散型隨機(jī)變量的期望與方差菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】5i：概率與統(tǒng)計(jì)【分析】（）利用排列組合求出所有基本事件個(gè)數(shù)及選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同

26、學(xué)院的基本事件個(gè)數(shù)，代入古典概型概率公式求出值；（）隨機(jī)變量x的所有可能值為0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出隨機(jī)變量x的分布列求出期望值【解答】（）解：設(shè)“選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院”為事件a，則，所以選出的3名同學(xué)是來(lái)自互不相同學(xué)院的概率為（）解：隨機(jī)變量x的所有可能值為0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以隨機(jī)變量x的分布列是x0123p 隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型及其概率公式，互斥事件，離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查應(yīng)用概率解決實(shí)際問(wèn)題的能力17（13分）如圖，在四棱錐pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，ad=dc=ap=2，

27、ab=1，點(diǎn)e為棱pc的中點(diǎn)（）證明：bedc；（）求直線be與平面pbd所成角的正弦值；（）若f為棱pc上一點(diǎn)，滿足bfac，求二面角fabp的余弦值【考點(diǎn)】mi：直線與平面所成的角；mj：二面角的平面角及求法菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】5f：空間位置關(guān)系與距離；5g：空間角；5h：空間向量及應(yīng)用；5q：立體幾何【分析】（i）以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出be，dc的方向向量，根據(jù)=0，可得bedc；（ii）求出平面pbd的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，可得直線be與平面pbd所成角的正弦值；（）根據(jù)bfac，求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面fab和平面abp的法向量，代入向量夾角

28、公式，可得二面角fabp的余弦值【解答】證明：（i）pa底面abcd，adab，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，ad=dc=ap=2，ab=1，點(diǎn)e為棱pc的中點(diǎn)b（1，0，0），c（2，2，0），d（0，2，0），p（0，0，2），e（1，1，1）=（0，1，1），=（2，0，0）=0，bedc；（）=（1，2，0），=（1，0，2），設(shè)平面pbd的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，則=（2，1，1），則直線be與平面pbd所成角滿足：sin=，故直線be與平面pbd所成角的正弦值為（）=（1，2，0），=（2，2，2），=（2，2，0），由f點(diǎn)在棱pc上，設(shè)=（2，2

29、，2）（01），故=+=（12，22，2）（01），由bfac，得=2（12）+2（22）=0，解得=，即=（，），設(shè)平面fba的法向量為=（a，b，c），由，得令c=1，則=（0，3，1），取平面abp的法向量=（0，1，0），則二面角fabp的平面角滿足：cos=，故二面角fabp的余弦值為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間二面角的平面角，建立空間坐標(biāo)系，將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題，是解答的關(guān)鍵18（13分）設(shè)橢圓+=1（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，右頂點(diǎn)為a，上頂點(diǎn)為b，已知|ab|=|f1f2|（）求橢圓的離心率；（）設(shè)p為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段pb為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)

30、f1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)o的直線l與該圓相切，求直線l的斜率【考點(diǎn)】kh：直線與圓錐曲線的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】5d：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】（）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為f2（c，0），由|ab|=|f1f2|可得，再利用b2=a2c2，e=即可得出（）由（）可得b2=c2可設(shè)橢圓方程為，設(shè)p（x0，y0），由f1（c，0），b（0，c），可得，利用圓的性質(zhì)可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于點(diǎn)p在橢圓上，可得聯(lián)立可得=0，解得p設(shè)圓心為t（x1，y1），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得t，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得圓的半徑r設(shè)直線l的方程為：y=kx利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出【解答】解：（）設(shè)橢圓

31、的右焦點(diǎn)為f2（c，0），由|ab|=|f1f2|，可得，化為a2+b2=3c2又b2=a2c2，a2=2c2e=（）由（）可得b2=c2因此橢圓方程為設(shè)p（x0，y0），由f1（c，0），b（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c），=c（x0+c）+cy0=0，x0+y0+c=0，點(diǎn)p在橢圓上，聯(lián)立，化為=0，x00，代入x0+y0+c=0，可得p設(shè)圓心為t（x1，y1），則=，=t，圓的半徑r=設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y=kx直線l與圓相切，整理得k28k+1=0，解得直線l的斜率為【點(diǎn)評(píng)】本題中考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓相切問(wèn)題

32、、點(diǎn)到直線的距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題19（14分）已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合m=0，1，2，q1，集合a=x|x=x1+x2q+xnqn1，xim，i=1，2，n（）當(dāng)q=2，n=3時(shí)，用列舉法表示集合a；（）設(shè)s，ta，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，bim，i=1，2，n證明：若anbn，則st【考點(diǎn)】8e：數(shù)列的求和；8k：數(shù)列與不等式的綜合菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；55：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法【分析】（）當(dāng)q=2，n=3時(shí)，m=0，1，a=x|x=x

33、1+x22+x322，xim，i=1，2，3即可得到集合a（）由于ai，bim，i=1，2，nanbn，可得anbn1由題意可得st=（a1b1）+（a2b2）q+（an1bn1）qn2+（anbn）qn1（q1）+（q1）q+（q1）qn2qn1再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出【解答】（）解：當(dāng)q=2，n=3時(shí)，m=0，1，a=x|x=x1+x22+x322，xim，i=1，2，3可得a=0，1，2，3，4，5，6，7（）證明：由設(shè)s，ta，s=a1+a2q+anqn1，t=b1+b2q+bnqn1，其中ai，bim，i=1，2，nanbn，st=（a1b1）+（a2b2）q+（an1b

34、n1）qn2+（anbn）qn1（q1）+（q1）q+（q1）qn2qn1=（q1）（1+q+qn2）qn1=qn1=10st【點(diǎn)評(píng)】本題考查了考查了集合的運(yùn)算及其性質(zhì)、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、不等式的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題20（14分）設(shè)f（x）=xaex（ar），xr，已知函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1x2（）求a的取值范圍；（）證明：隨著a的減小而增大；（）證明x1+x2隨著a的減小而增大【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；6b：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【專(zhuān)題】53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】（）對(duì)f（x）求導(dǎo)，討論f（x）的正負(fù)以及對(duì)應(yīng)f（x）的單調(diào)性，得出函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)的等價(jià)條件，從而求出a的取值范