向量運(yùn)算法則

1、'.（ 1）實(shí)數(shù)與向量的運(yùn)算法則：設(shè)、為實(shí)數(shù)，則有：1）結(jié)合律：(a) ()a 。2）分配律： ()aa ， (ab)ab 。（ 2）向量的數(shù)量積運(yùn)算法則：1） a b ba 。2） ( a ) b(a b)a b a( b) 。3） ( a b) c a c b c 。（ 3）平面向量的基本定理。e1 ,e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任何一向量a ，有且僅有一對實(shí)數(shù) 1, 2 ，滿足 a1 e12 e2 。（ 4） a 與 b 的數(shù)量積的計(jì)算公式及幾何意義：ab | a |b | cos ，數(shù)量積 a b 等于 a 的長度 | a |與 b 在 a 的方向上的

2、投影|b | cos 的乘積。（ 5）平面向量的運(yùn)算法則。1）設(shè) a (x1 , y1 ) ， b (x2 , y2 ) ，則 a + b ( x1x2 , y1y2 ) 。2）設(shè) a (x1 , y1 ) ， b (x2 , y2 ) ，則 a - b ( x1x2 , y1y2 ) 。3）設(shè)點(diǎn) A ( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ，則 ABOBOA( x2x1 , y2 y1 ) 。4）設(shè) a (x, y),R ，則a (x,y) 。5）設(shè) a (x1 , y1 ) ， b (x2 , y2 ) ，則 ab ( x1 x2y1 y2 ) 。（ 6）兩向量的夾角公式：

3、cosx1x2y1 y2（ a ( x1, y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ）。y12x22x12y22（ 7）平面兩點(diǎn)間的距離公式：dA ,B | AB | AB AB(x2 x1 )2( y2y1 )2 （A ( x1 , y1 ) ， B ( x2 , y2 ) ）。（ 8）向量的平行與垂直：設(shè)a ( x1 , y1 ) ， b ( x2 , y2 ) ，且 b0，則有：1） a | bb ax1 y2x2 y10 。2） ab （ a0）a · b 0x 1 x2y1 y2 0 。（ 9）線段的定比分公式：設(shè) P (x , y )，P (x , y)， P( x,

4、y) 是線段P P的分點(diǎn)，是實(shí)數(shù)，且P PPP，則1 1 12221 212;.'.xx1x21OP1OP21OPOPtOP1(1 t )OP2 （ t）。y111yy21（ 10）三角形的重心公式： ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) 、 C( x3 , y3 ) ，則 ABC的重心的坐標(biāo)為 G( x1x2x3 , y1y2y3 ) 。33（ 11）平移公式：x'xhxx'hOP PP'。y'ykyy'OP'k（ 12）關(guān)于向量平移的結(jié)論。1）點(diǎn) P( x, y) 按向量 a (h, k)

5、平移后得到點(diǎn) P' (xh, y k) 。2）函數(shù) yf ( x) 的圖像 C 按向量 a (h, k) 平移后得到圖像 C ' : y f ( x h)k 。3）圖像 C '按向量 a (h, k) 平移后得到圖像C : yf (x) ，則 C '為 yf ( xh) k 。4）曲線 C : f ( x, y)'h, yk) 0 。0 按向量 a (h, k) 平移后得到圖像 C : f (x;.'.設(shè) a=（ x ， y ）， b=(x' ， y') 。1、向量的加法向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。向量的加法OB+O

6、A=OC。a+b=(x+x' ， y+y') 。a+0=0+a=a。向量加法的 運(yùn)算律 ：交換律： a+b=b+a；結(jié)合律： ( a+b)+ c=a+( b+c) 。 12、向量的減法如果 a、 b 是互為相反的向量，那么 a=- b， b=- a， a+b=0. 0 的反向量為 0 AB- AC=CB. 即“共同起點(diǎn)，指向被向量的減法減”a=(x,y)b=(x',y')則 a- b=(x-x',y-y').如圖： c=a-b以 b 的結(jié)束為起點(diǎn)，a 的結(jié)束為終點(diǎn)。;.'.3、向量的數(shù)乘實(shí)數(shù) 和向量a 的乘積是一個(gè)向量，記作 a，且 a=

7、 · a。當(dāng) >0 時(shí)， a 與 a 同方向當(dāng) <0 時(shí)， a 與 a 反方向；向量的數(shù)乘當(dāng) =0 時(shí)， a=0，方向任意。當(dāng) a=0 時(shí)，對于任意實(shí)數(shù) ，都有 a=0。注：按定義知，如果 a=0，那么 =0 或 a=0。實(shí)數(shù) 叫做向量a 的系數(shù)，乘數(shù)向量 a 的幾何意義就是將表示向量a 的有向線段伸長或壓縮。當(dāng) >1 時(shí)，表示向量a 的有向線段在原方向（ >0）或反方向（ <0）上伸長為原來的倍當(dāng) <1 時(shí)，表示向量a 的有向線段在原方向（ >0）或××反方向（ <0）上縮短為原來的 倍。數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)

8、算律結(jié)合律： ( a) ·b= ( a·b)=( a· b) 。向量對于數(shù)的分配律（第一分配律）：( + ) a= a+ a.數(shù)對于向量的分配律（第二分配律）： ( a+b)= a+ b.數(shù)乘向量的消去律： 如果實(shí)數(shù) 0且 a= b，那么 a=b。 如果 a 0 且 a= a，那么 = 。 24、向量的數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量 a,b 。作 OA=a,OB=b 則角 AOB稱作向量 a 和向量 b 的夾角，記作 a,b 并規(guī)定 0 a,b ;.'.定義：兩個(gè)向量的 數(shù)量積（內(nèi)積 、點(diǎn)積 ）是一個(gè)數(shù)量 （沒有方向） ，記作 a·b。若 a、 b

9、 不共線，則 a·b=| a| ·|b| ·cos a， b（依定義有： cos a，b =a·b / |a| ·|b| ）；若 a、 b 共線，則 a· b=± a b。向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示： a·b=x·x'+y ·y' 。向量的數(shù)量積的運(yùn)算律a· b=b· a（交換律 ）( a) ·b= (a ·b) ( 關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)（ a+b) · c=a·c+b· c （分配律）向量的數(shù)量積的性質(zhì)a

10、3; a=| a| 的平方 。a b = a·b=0。| a·b| |a| ·|b| 。（該 公式證明 如下： | a·b|=| a| ·|b| ·|cos |因?yàn)?|cos | 1，所以 | a· b| |a| ·|b| ）向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)1向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：( a· b) · c a·(b· c) ；例如：( a·b)2 a2· b2 。2向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由a· b=a· c ( a 0)

11、 ，推不出b=c 。3 | a· b| 與 | a| ·|b| 不等價(jià)4由 | a|=| b|，推不出a=b 或 a=- b。5、向量的向量積定義：兩個(gè)向量a 和 b 的向量積向量的幾何表示（外積、 叉積 ）是一個(gè)向量，記作a× b（這里“×”并不是乘號，只是一種表示方法，與“·”不同，也可記做“”）。若 a、 b 不共線，則a× b的模是： a×b=| a| · | b| ·sin a，b；a× b 的方向是：垂直于 a 和 b，且 a、 b 和 a×b 按這個(gè)次序構(gòu)成 右手系 。若

12、 a、 b 垂直，則 a× b=0。;.'.向量的向量積性質(zhì)： a× b是以 a 和 b 為邊的平行四邊形面積 。a× a=0。a 垂直 b = a× b=0向量的向量積運(yùn)算律a× b=- b× a（ a）× b= （ a× b） =a×（ b）a× （ b+c） =a×b+a× c.注：向量沒有除法，“向量AB/ 向量 CD”是沒有意義的。6、三向量的混合積定義：給定空間三向量 a、 b、 c，向量 a、 b 的向量積 a×b，再和向量 c 作數(shù)量積 (

13、a× b) · c，向量的混合積所得的數(shù)叫做三向量a、 b、 c 的混合積，記作( a, b, c) 或 ( abc) ，即( abc)=( a, b, c)=( a× b) · c混合積具有下列性質(zhì)：1三個(gè)不共面向量a、 b、 c 的混合積的 絕對值 等于以 a、b、 c 為棱的平行六面體的體積V，并且當(dāng)a、 b、 c 構(gòu)成右手系時(shí)混合積是正數(shù) ；當(dāng) a、 b、 c構(gòu)成左手系時(shí)， 混合積是 負(fù)數(shù) ，即 ( abc)= V（當(dāng) a、b、c 構(gòu)成右手系時(shí) =1；當(dāng) a、 b、 c 構(gòu)成左手系時(shí) =-1 ）2上性質(zhì)的推論：三向量a、 b、 c 共面的 充要條

14、件 是 ( abc )=03 ( abc)=( bca)=( cab )=-( bac )=-( cba)=-( acb)4 ( a× b) · c=a·(b×c);.'.7. 例題正方形 ABCD,EFGA,CHIK首尾相連， L 是 EH中點(diǎn)，求證LBGK？設(shè) AE=a向量 , AG=a', AD=c, AB=c', CH=b,CK=b'有 aa'=bb'=cc'=0,a2=a'2,b2=b'2,c2=c'2,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac',bc=b&