2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽試題參考答案

1、2015年福建省高中數(shù)學(xué)競賽暨2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（福建省賽區(qū)）預(yù)賽試卷參考答案（考試時間：2015年5月24日上午9：0011：30，滿分160分）一、填空題（共10小題，每小題6分，滿分60分。請直接將答案寫在題中的橫線上）1設(shè)集合，從集合中隨機(jī)抽取一個元素，記，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 。2已知，其中是定義在上，最小正周期為2的函數(shù)。若在區(qū)間 上的最大值為1，則在區(qū)間上的最大值為 。3、為橢圓：（）的左、右焦點，若橢圓上存在一點，使得，則橢圓離心率的取值范圍為 。4已知實數(shù)，滿足，則的最小值為 。5已知函數(shù)，數(shù)列中，（），則數(shù)列的前100項之和 。6如圖，在四面體中，且與平面所成角的余

2、弦值為。則該四面體外接球半徑 。7在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)、的對應(yīng)點分別為、。若，則的取值范圍是 。8已知函數(shù)恰有兩個極值點，（），則的取值范圍為 。9已知，若，則的取值范圍為 。10若，則正整數(shù)的最小值為 。二、解答題（共5小題，每小題20分，滿分100分。要求寫出解題過程）11求函數(shù)的最小值。12已知過點斜率為的直線交雙曲線：于、兩點。（1）求的取值范圍；（2）若為雙曲線的右焦點，且，求的值。13如圖，、分別為的內(nèi)心、旁心，與圓、圓相切，切點分別為、，為與的交點。（1）求證：；（2）若為中點，求證：。14在坐標(biāo)平面內(nèi)，橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點，三個頂點都是整點的三角形稱為整點三角形。求以點為內(nèi)

3、心且直角頂點在坐標(biāo)原點的整點直角三角形的個數(shù)。15若對任意的正整數(shù)，集合的任意（）元子集中，總有3個元素兩兩互素，求的最小值。 2015年福建省高中數(shù)學(xué)競賽暨2015年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（福建省賽區(qū)）預(yù)賽試卷參考答案（考試時間：2015年5月24日上午9：0011：30，滿分160分）一、填空題（共10小題，每小題6分，滿分60分。請直接將答案寫在題中的橫線上）1設(shè)集合，從集合中隨機(jī)抽取一個元素，記，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 ?！敬鸢浮?5【解答】，隨機(jī)變量的取值為0，1，4，9，16。易得，的概率分布列為014916 。2已知，其中是定義在上，最小正周期為2的函數(shù)。若在區(qū)間上的最大值為1，則在區(qū)間

4、上的最大值為 。【答案】 9【解答】依題意，有。 在區(qū)間上的最大值為1， 在區(qū)間上的最大值為3，在區(qū)間上的最大值為5，在區(qū)間上的最大值為7，在區(qū)間上的最大值為9。3、為橢圓：（）的左、右焦點，若橢圓上存在一點，使得，則橢圓離心率的取值范圍為 ?！敬鸢浮俊窘獯稹吭O(shè)為橢圓的上頂點，依題意有。 ，。，。4已知實數(shù)，滿足，則的最小值為 。【答案】 【解答】由柯西不等式，知。 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立。 的最小值為。5已知函數(shù)，數(shù)列中，（），則數(shù)列的前100項之和 ?！敬鸢浮?【解答】依題意，有。 。6如圖，在四面體中，且與平面所成角的余弦值為。則該四面體外接球半徑 。【答案】 【解答】如圖，作于，連結(jié)

5、，并延長交于點，連結(jié)。則是與平面所成的角，。 ， ，為的外心，且。 ，為中點，結(jié)合知，。 ，。 、兩兩互相垂直，四面體外接球半徑。7在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)、的對應(yīng)點分別為、。若，則的取值范圍是 。【答案】 【解答】設(shè)，（為虛數(shù)單位）， ， ，。設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為。由知，點在以為圓心，1為半徑的圓上。又，因此，即的取值范圍是。8已知函數(shù)恰有兩個極值點，（），則的取值范圍為 。【答案】 【解答】。依題意，有兩個不同的實根。設(shè)，則，有兩個不同的實根。若，則，為增函數(shù)，至多1個實根，不符合要求。若，則當(dāng)時，；時，。 在區(qū)間上為增函數(shù)，上為減函數(shù)。 的最大值為。又時，；時，。 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，恰有2個不同的實根

6、。設(shè)的兩根為，（）。則時，；時，；時，。 為的極小值點，為的極大值點。符合要求。 的取值范圍為。9已知，若，則的取值范圍為 。【答案】 【解答】設(shè)，則。 。 ，。由知，方程的解集是方程的解集的子集。若，則，。若，設(shè)，則，得。又時，所以，。的取值范圍是。10若，則正整數(shù)的最小值為 。【答案】 4【解答】由，知 。 ，上述各式左右兩邊分別相加，得。 ，。 ，（），（）。 正整數(shù)的最小值為4。二、解答題（共5小題，每小題20分，滿分100分。要求寫出解題過程）11求函數(shù)的最小值?！窘獯鹨弧坑?，得或。 函數(shù)的定義域為。 5分記，則當(dāng)時，易知。在上為增函數(shù)。 時，的最小值為。 10分當(dāng)時，。 在上為減函

7、數(shù)，時，的最小值為。 15分綜合得，函數(shù)的最小值為1。 20分【解答二】函數(shù)化為。由，知，可設(shè)（，且） 5分當(dāng)時，當(dāng)，即時，取最小值3。 10分當(dāng)時，當(dāng)，即時，取最小值1。 15分綜合得，函數(shù)的最小值為1。 20分或換元后利用導(dǎo)數(shù)求解?！窘獯鹑坑桑?， ，。 5分依題意，有，因此，。 10分 ，解得或。 15分將代入方程，解得。 在函數(shù)的值域內(nèi)。 函數(shù)的最小值為1。 20分12已知過點斜率為的直線交雙曲線：于、兩點。（1）求的取值范圍；（2）若為雙曲線的右焦點，且，求的值?！窘獯稹浚?）設(shè)方程為。由，得 。 直線與雙曲線有兩個不同的交點， ，解得，且。 的取值范圍為。 5分（2）設(shè)，。則，。

8、又， ，。 10分 ， 時，。由，得，解得或（舍去）。 ，。 15分時，。由，得，解得或或，均不符合，舍去。此時，滿足條件的不存在。綜上可得，的值為1或。 20分13如圖，、分別為的內(nèi)心、旁心，與圓、圓相切，切點分別為、，為與的交點。（1）求證：；（2）若為中點，求證：。（旁心：三角形旁切圓的圓心，它是三角形一個內(nèi)角的平分線和其它兩個內(nèi)角的外角平分線的交點。）【解答】（1）設(shè)圓、圓的半徑分別為、，則。 5分（作于，于，則。）由條件知，、三點共線，。 ，。 。 10分（2）由，得，即。 。 15分 為中點， ，即。結(jié)合，可得。因此，。 。 20分另解：設(shè)的中點為，則由，為中點知，且。由，可得，即

9、。 15分又。 ，。 。 20分14在坐標(biāo)平面內(nèi)，橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點稱為整點，三個頂點都是整點的三角形稱為整點三角形。求以點為內(nèi)心且直角頂點在坐標(biāo)原點的整點直角三角形的個數(shù)?！敬鸢浮坎环猎O(shè)點在第一象限。設(shè)，則，直線的斜率。 。 5分由、為整點，設(shè)，其中，為正整數(shù)。 ，。 內(nèi)切圓的半徑。又，。 。 10分 。設(shè)，則。 ，。 15分由，知，為正整數(shù)，又的正因數(shù)有個。 符合條件的有54組。 符合條件的三角形有54個。 20分15若對任意的正整數(shù)，集合的任意（）元子集中，總有3個元素兩兩互素，求的最小值。 【答案】考察集合（時）的67元子集：（偶數(shù)與被3整除的奇數(shù)）。顯然中不存在3個兩兩互素的元素。

10、 不符合要求。 5分引理：對任意的正整數(shù)，集合的任意5元子集中，總有3個元素兩兩互素。引理的證明：設(shè)集合是集合的一個5元子集。 ，這6個數(shù)中，3奇3偶，恰有1個5的倍數(shù)。 若中含有3個奇數(shù)，則這3個奇數(shù)必兩兩兩互素，結(jié)論成立。若中元素為2奇3偶。由于3個偶數(shù)中至多有1個為3的倍數(shù)，至多有1個為5的倍數(shù)。因此，3個偶數(shù)中必有1個數(shù)既不是3的倍數(shù)，也不是5的倍數(shù)，它與2個奇數(shù)兩兩互素。結(jié)論成立。 引理成立。 10分對任意的正整數(shù)，將集合劃分成如下17個集合：，。 15分顯然上述17個集合的兩兩交集為空集，并集為集合。設(shè)集合是集合的68元子集。若集合有4個元素來自集合。由于為奇數(shù)時，、兩兩互素；為偶數(shù)時，、兩兩互素。因此，中至少有3個元素兩兩