2015年重點(diǎn)高中自主招生數(shù)學(xué)模擬試題(含答案)

1、2015年重點(diǎn)中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)模擬試題一答題時(shí)注意:1、試卷滿分150分;考試時(shí)間：120分鐘.2、試卷共三大題，計(jì)1道題?？荚嚱Y(jié)束后，將本卷及演算的草稿紙一并上交。一、選擇題（共5小題，每題6分，共30分.以下每小題均給出了代號(hào)為a,b,c,d的四個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)內(nèi).不填、多填或錯(cuò)填均不得分）1、如果關(guān)于x的方程至少有一個(gè)正根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）a、 b、 c、 d、2、如圖，已知：點(diǎn)、分別是正方形的邊的中點(diǎn)，分別交于點(diǎn)，若正方形的面積是240，則四邊形的面積等于（ ）a、26 b、28c、24 d、303 、設(shè)是兩兩不等的實(shí)數(shù)，

2、且滿足下列等式： ，則代數(shù)式的值是 （ ）a、0 b、1 c、3 d、條件不足，無(wú)法計(jì)算4、如圖，四邊形內(nèi)接于以為直徑的，已知：，則線段的長(zhǎng)是 （ ）a、 b、7 c、4+3 d、3+45、某學(xué)校共有3125名學(xué)生，一次活動(dòng)中全體學(xué)生被排成 一個(gè)排的等腰梯形陣，且這排學(xué)生數(shù)按每排都比前一排 多一人的規(guī)律排列，則當(dāng)取到最大值時(shí)，排在這等腰梯形陣最外面的一周的學(xué)生總?cè)藬?shù)是 （ ）a、296 b、221 c、225 d、641二、填空題：（共5小題，每題6分，共30分）6、已知：實(shí)常數(shù)同時(shí)滿足下列兩個(gè)等式：；（其中為任意銳角），則之間的關(guān)系式是： 。7、函數(shù)的最小值是 。8、已知一個(gè)三角形的周長(zhǎng)和面

3、積分別是84、210，一個(gè)單位圓在它的內(nèi)部沿著三邊勻速無(wú)摩擦地滾動(dòng)一周后回到原來(lái)的位置（如圖），則這個(gè)三角形的內(nèi)部以及邊界沒(méi)有被單位圓滾過(guò)的部分的面積是 。9、已知：，則可用含的 有理系數(shù)三次多項(xiàng)式來(lái)表示為：= 。10、設(shè)p、q、r 為素?cái)?shù)，則方程 的所有可能的解p、q、r組成的三元數(shù)組( p, q, r )是 。三、解答題（共6題，共90分）11、（本題滿分12分）趙巖，徐婷婷，韓磊不但是同班同學(xué)，而且是非常要好的朋友，三個(gè)人的學(xué)習(xí)成績(jī)不相伯仲，且在整個(gè)年級(jí)中都遙遙領(lǐng)先，高中畢業(yè)后三個(gè)人都如愿的考入自己心慕以久的大學(xué)后來(lái)三個(gè)人應(yīng)母校邀請(qǐng)給全校學(xué)生作一次報(bào)告.報(bào)告后三個(gè)人還出了一道數(shù)學(xué)題：有一

4、種密碼把英文按字母分解，英文中的個(gè)字母（不論大小寫）依次用這26個(gè)自然數(shù)表示，并給出如下一個(gè)變換公式：；已知對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，記號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)；將英文字母轉(zhuǎn)化成密碼，如，即 ，再如，即。他們給出下列一組密碼： ，把它翻譯出來(lái)就是一句很好的臨別贈(zèng)言?，F(xiàn)在就請(qǐng)你把它翻譯出來(lái)，并簡(jiǎn)單地寫出翻譯過(guò)程。12、（本題滿分15分）如果有理數(shù)可以表示成（其中是任意有理數(shù)）的形式，我們就稱為“世博數(shù)”。1 個(gè)“世博數(shù)”之積也是“世博數(shù)”嗎？為什么？2 證明：兩個(gè)“世博數(shù)”（）之商也是“世博數(shù)”。13、（本題滿分15分）如圖，在四邊形中，已知、的面積之比是314，點(diǎn)在邊上，交于，設(shè)。求的值；若點(diǎn)分線段成的兩

5、段，且，試用含的代數(shù)式表示三邊長(zhǎng)的平方和。14、（本題滿分16分）觀察下列各個(gè)等式：。你能從中推導(dǎo)出計(jì)算的公式嗎？請(qǐng)寫出你的推導(dǎo)過(guò)程；請(qǐng)你用中推導(dǎo)出的公式來(lái)解決下列問(wèn)題：已知：如圖，拋物線與、軸的正半軸分別交于點(diǎn)，將線段等分，分點(diǎn)從左到右依次為，分別過(guò)這個(gè)點(diǎn)作軸的垂線依次交拋物線于點(diǎn)，設(shè)、的面積依次為 。當(dāng)時(shí)，求的值；試探究：當(dāng)取到無(wú)窮無(wú)盡時(shí)，題中所有三角形的面積和將是什么值？為什么？15、（本題滿分16分）有如圖所示的五種塑料薄板（厚度不計(jì)）：兩直角邊分別為3、4的直角三角形；腰長(zhǎng)為4、頂角為的等腰三角形；腰長(zhǎng)為5、頂角為的等腰三角形；兩對(duì)角線和一邊長(zhǎng)都是4且另三邊長(zhǎng)相等的凸四邊形；長(zhǎng)為4且

6、寬（小于長(zhǎng)）與長(zhǎng)的比是黃金分割比的黃金矩形。它們都不能折疊，現(xiàn)在將它們一一穿過(guò)一個(gè)內(nèi)、外徑分別為2.4、2.7的鐵圓環(huán)。我們規(guī)定：如果塑料板能穿過(guò)鐵環(huán)內(nèi)圈，則稱為此板“可操作”；否則，便稱為“不可操作”。證明：第種塑料板“可操作”；求：從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種“不可操作”的概率。16、（本題滿分16分）定義：和三角形一邊和另兩邊的延長(zhǎng)線同時(shí)相切的圓叫做三角形這邊上的旁切圓。如圖所示，已知：是的邊上的旁切圓，分別是切點(diǎn)，于點(diǎn)。試探究：三點(diǎn)是否同在一條直線上？證明你的結(jié)論。設(shè)如果和的面積之比等于，試作出分別以為兩根且二次項(xiàng)系數(shù)為6的一個(gè)一元二次方程。2015年重點(diǎn)中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)模擬試

7、題一參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（共5小題，每題6分，共30分.以下每小題均給出了代號(hào)為a,b,c,d的四個(gè)選項(xiàng),其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)內(nèi).不填、多填或錯(cuò)填均不得分）1、如果關(guān)于x的方程至少有一個(gè)正根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ c ）a、 b、 c、 d、2、如圖，已知：點(diǎn)、分別是正方形的邊的中點(diǎn)，分別交于點(diǎn)，若正方形的面積是240，則四邊形的面積等于（ b ）a、26 b、28c、24 d、303 、設(shè)是兩兩不等的實(shí)數(shù)，且滿足下列等式： ，則代數(shù)式的值是 （ a ）a、0 b、1 c、3 d、條件不足，無(wú)法計(jì)算4、如圖，四邊形內(nèi)接于以為直徑的，已知：，則

8、線段的長(zhǎng)是 （ d ）a、 b、7 c、4+3 d、3+45、某學(xué)校共有3125名學(xué)生，一次活動(dòng)中全體學(xué)生被排成 一個(gè)排的等腰梯形陣，且這排學(xué)生數(shù)按每排都比前一排 多一人的規(guī)律排列，則當(dāng)取到最大值時(shí)，排在這等腰梯形陣最外面的一周的學(xué)生總?cè)藬?shù)是 （ b ）a、296 b、221 c、225 d、641二、填空題：（共5小題，每題6分，共30分。不設(shè)中間分）6、已知：實(shí)常數(shù)同時(shí)滿足下列兩個(gè)等式：；（其中為任意銳角），則之間的關(guān)系式是： 。7、函數(shù)的最小值是 8 。8、已知一個(gè)三角形的周長(zhǎng)和面積分別是84、210，一個(gè)單位圓在它的內(nèi)部沿著三邊勻速無(wú)摩擦地滾動(dòng)一周后回到原來(lái)的位置（如圖），則這個(gè)三角形

9、的內(nèi)部以及邊界沒(méi)有被單位圓滾過(guò)的部分的面積是 84 。9、已知：，則可用含的 有理系數(shù)三次多項(xiàng)式來(lái)表示為：= 。10、設(shè)p、q、r 為素?cái)?shù)，則方程 的所有可能的解p、q、r組成的三元數(shù)組( p, q, r )是 。三、解答題（共6題，共90分。學(xué)生若有其它解法，也按標(biāo)準(zhǔn)給分）11、（本題滿分12分）趙巖，徐婷婷，韓磊不但是同班同學(xué)，而且是非常要好的朋友，三個(gè)人的學(xué)習(xí)成績(jī)不相伯仲，且在整個(gè)年級(jí)中都遙遙領(lǐng)先，高中畢業(yè)后三個(gè)人都如愿的考入自己心慕以久的大學(xué)，后來(lái)三個(gè)人應(yīng)母校邀請(qǐng)給全校學(xué)生作一次報(bào)告。報(bào)告后三個(gè)人還出了一道數(shù)學(xué)題：有一種密碼把英文按字母分解，英文中的個(gè)字母（不論大小寫）依次用這26個(gè)自

10、然數(shù)表示，并給出如下一個(gè)變換公式：；已知對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，記號(hào)表示不超過(guò)的最大整數(shù)。將英文字母轉(zhuǎn)化成密碼，如，即 ，再如，即。他們給出下列一組密碼： ，把它翻譯出來(lái)就是一句很好的臨別贈(zèng)言?，F(xiàn)在就請(qǐng)你把它翻譯出來(lái)，并簡(jiǎn)單地寫出翻譯過(guò)程。略解：由題意，密碼對(duì)應(yīng)的英語(yǔ)單詞是interest, 對(duì)應(yīng)的英語(yǔ)單詞是is, 對(duì)應(yīng)的英語(yǔ)單詞是best, 對(duì)應(yīng)的英語(yǔ)單詞是teacher. (9分)所以，翻譯出來(lái)的一句英語(yǔ)是interest is best teacher,意思是“興趣是最好的老師”。（3分）12、（本題滿分15分）如果有理數(shù)可以表示成（其中是任意有理數(shù)）的形式，我們就稱為“世博數(shù)”。1 個(gè)“世博數(shù)

11、”之積也是“世博數(shù)”嗎？為什么？2 證明：兩個(gè)“世博數(shù)”（）之商也是“世博數(shù)”。略解：=，其中是有理數(shù)， “世博數(shù)”（其中是任意有理數(shù)），只須 即可。 （3分） 對(duì)于任意的兩個(gè)兩個(gè)“世博數(shù)”，不妨設(shè)其中j、k、r、s為任意給定的有理數(shù)， （3分） 則是“世博數(shù)”；（3分） =也是“世博數(shù)”。 （3分）13、（本題滿分15分）如圖，在四邊形中，已知、的面積之比是314，點(diǎn)在邊上，交于，設(shè)。求的值；若點(diǎn)分線段成的兩段，且，試用含的代數(shù)式表示三邊長(zhǎng)的平方和。略解：不妨設(shè)、的面積分別為3、1、4， 的面積是6，的面積是 ，的面積是， 的面積為 ，的面積是。 （3分）由此可得：+=，即 ， （3分）=3

12、 （1分）由知：分別為的中點(diǎn)，又點(diǎn)分線段成的兩段，點(diǎn)是的重心。 （2分）而當(dāng)延長(zhǎng)到，使得，連結(jié)后便得到平行四邊形，再利用“平行四邊形的四邊平方和等于兩對(duì)角線的平方和”就可得：，類似地有，其中點(diǎn)為邊的中點(diǎn)。（3分） ，。（3分）14、（本題滿分16分）觀察下列各個(gè)等式：。你能從中推導(dǎo)出計(jì)算的公式嗎？請(qǐng)寫出你的推導(dǎo)過(guò)程；請(qǐng)你用中推導(dǎo)出的公式來(lái)解決下列問(wèn)題：已知：如圖，拋物線與、軸的正半軸分別交于點(diǎn)，將線段n等分，分點(diǎn)從左到右依次為，分別過(guò)這個(gè)點(diǎn)作軸的垂線依次交拋物線于點(diǎn)，設(shè)、的面積依次為 。當(dāng)時(shí)，求的值；試探究：當(dāng)取到無(wú)窮無(wú)盡時(shí)，題中所有三角形的面積和將是什么值？為什么？略解：，當(dāng)式中的從1、2、

13、3、依次取到時(shí)，就可得下列個(gè)等式： （2分），將這個(gè)等式的左右兩邊分別相加得： （2分）即=。（3分）先求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為。（3分）=。 （3分）當(dāng)時(shí)，=；當(dāng)取到無(wú)窮無(wú)盡時(shí)，上式的值等于，即所有三角形的面積和等于。 （3分）15、（本題滿分16分）有如圖所示的五種塑料薄板（厚度不計(jì)）：兩直角邊分別為3、4的直角三角形；腰長(zhǎng)為4、頂角為的等腰三角形；腰長(zhǎng)為5、頂角為的等腰三角形；兩對(duì)角線和一邊長(zhǎng)都是4且另三邊長(zhǎng)相等的凸四邊形；長(zhǎng)為4且寬（小于長(zhǎng)）與長(zhǎng)的比是黃金分割比的黃金矩形。它們都不能折疊，現(xiàn)在將它們一一穿過(guò)一個(gè)內(nèi)、外直徑分別為2.4、2.7的鐵圓環(huán)。我們

14、規(guī)定：如果塑料板能穿過(guò)鐵環(huán)內(nèi)圈，則稱為此板“可操作”；否則，便稱為“不可操作”。證明：第種塑料板“可操作”；求：從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種“不可操作”的概率。略解：由題意可知四邊形必然是等腰梯形，（2分）不妨設(shè)=，分別過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，則由得到，即，解得。2.4,第種塑料板“可操作”。 （5分）如上圖所示，分別作直角三角形斜邊上的高、等腰三角形的腰上的高、等腰三角形底邊上的高，易求得：=2.4, =2.5. (2分)又由可得等腰梯形的銳角底角是，=.而黃金矩形的寬等于2.4， （4分）第三種塑料板“可操作”；而第兩種塑料板“不可操作”。從這五種塑料板中任意取兩種至少有一種“不可操作”的概率。（3分）16、（本題滿分16分）定義：和三角形一邊和另兩邊的延長(zhǎng)線同時(shí)相切的圓叫做三角形這邊上的旁切圓。如圖所示，已知：是的邊上的旁切圓，分別是切點(diǎn)，于點(diǎn)。試探究：三點(diǎn)是否