2015年高考理科數(shù)學(xué)試題及答案-全國(guó)卷2

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷2)理 科 數(shù) 學(xué)絕密啟用前2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷2)理 科 數(shù) 學(xué)注意事項(xiàng)：1本試卷分第i卷（選擇題）和第ii卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)在答題卡上。2回答第i卷時(shí)，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3回答第ii卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。（1）

2、已知集合a=-2，-1,0，1,2，b=x|（x-1）（x+2）0,則ab=（ ）（a）-1,0 （b）0,1 （c）-1,0,1 （d）,0,，1，2（2）若a為實(shí)數(shù)且（2+ai）（a-2i）=-4i,則a=（ ） （a）-1 （b）0 （c）1 （d）2（3）根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫排放量（單位：萬(wàn)噸）柱形圖。以下結(jié)論不正確的是( )（a） 逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著（b） 2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)（c） 2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)（d） 2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)（4）等比數(shù)列an滿(mǎn)足a1=3

3、， =21，則 ( )（a）21 （b）42 （c）63 （d）84152015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷2)理 科 數(shù) 學(xué)（5）設(shè)函數(shù),( )（a）3 （b）6 （c）9 （d）12（6）一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（a） （b） （c） （d）（7）過(guò)三點(diǎn)a（1,3），b（4,2），c（1,-7）的圓交于y軸于m、n兩點(diǎn)，則=（a）2 （b）8 （c）4 （d）10（8）右邊程序抗土的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中的“更相減損術(shù)”。執(zhí)行該程序框圖，若輸入a,b分別為14,18，則輸出的a=a.0 b.2

4、c.4 d.14（9）已知a,b是球o的球面上兩點(diǎn)，aob=90,c為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐o-abc體積的最大值為36，則球o的表面積為a36 b.64 c.144 d.25610.如圖，長(zhǎng)方形abcd的邊ab=2，bc=1，o是ab的中點(diǎn)，點(diǎn)p沿著邊bc，cd與da運(yùn)動(dòng)，記bop=x將動(dòng)點(diǎn)p到a、b兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f（x），則f（x）的圖像大致為（11）已知a，b為雙曲線e的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)m在e上，abm為等腰三角形，且頂角為120°，則e的離心率為（a） （b）2 （c） （d）（12）設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，f（-1）=0，當(dāng)時(shí)，則使得成立的x的取值范圍是

5、abcd二、填空題（13）設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)_（14）若x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為_(kāi)（15）的展開(kāi)式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則_（16）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則_三解答題（17）abc中，d是bc上的點(diǎn)，ad平分bac，abd是adc面積的2倍。()求;() 若=1，=求和的長(zhǎng).(18)某公司為了解用戶(hù)對(duì)其產(chǎn)品的滿(mǎn)意度，從a，b兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶(hù)，得到用戶(hù)對(duì)產(chǎn)品的滿(mǎn)意度評(píng)分如下：a地區(qū)：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89b地區(qū)：73 83 62 51 91 46 5

6、3 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79（）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成兩地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩地區(qū)滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可）；（）根據(jù)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分，將用戶(hù)的滿(mǎn)意度從低到高分為三個(gè)不等級(jí)：滿(mǎn)意度評(píng)分低于70分70分到89分不低于90分滿(mǎn)意度等級(jí)不滿(mǎn)意滿(mǎn)意非常滿(mǎn)意記時(shí)間c：“a地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)高于b地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)”。假設(shè)兩地區(qū)用戶(hù)的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立。根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求c的概率19（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，ab = 16，bc

7、 = 10，aa1 = 8，點(diǎn)e，f分別在a1b1，d1c1上，a1e = d1f = 4，過(guò)點(diǎn)e，f的平面與此長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形。（1）在圖中畫(huà)出這個(gè)正方形（不必說(shuō)明畫(huà)法和理由）；（2）求直線af與平面所成的角的正弦值。20（本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓c：，直線l不過(guò)原點(diǎn)o且不平行于坐標(biāo)軸，l與c有兩個(gè)交點(diǎn)a，b，線段ab的中點(diǎn)為m。（1）證明：直線om的斜率與l的斜率的乘積為定值；（2）若l過(guò)點(diǎn)，延長(zhǎng)線段om與c交于點(diǎn)p，四邊形oapb能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)l的斜率；若不能，說(shuō)明理由。21（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)函數(shù)。（1）證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）若對(duì)于任

8、意，都有，求m的取值范圍。gaefondbcm請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)22（本小題滿(mǎn)分10分）選修4 - 1：幾何證明選講如圖，o為等腰三角形abc內(nèi)一點(diǎn)，o與abc的底邊bc交于m，n兩點(diǎn)，與底邊上的高ad交于點(diǎn)g，且與ab，ac分別相切于e，f兩點(diǎn)。（1）證明：efbc；（2）若ag等于o的半徑，且，求四邊形ebcf的面積。23（本小題滿(mǎn)分10分）選修4 - 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c1：（t為參數(shù)，t 0），其中0 < ，在以o為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線c2：，c3：。（1）求

9、c2與c3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（2）若c1與c2相交于點(diǎn)a，c1與c3相交于點(diǎn)b，求的最大值。24（本小題滿(mǎn)分10分）選修4 - 5：不等式選講設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a + b = c + d，證明：（1）若ab > cd；則；（2）是的充要條件。662015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷2)理 科 數(shù) 學(xué)參考答案一選擇題（1）a（2）b（3）d（4）b（5）c（6）d（7）c（8）b（9）c（10）b（11）d（12）a二填空題（13）（14）（15）3（16）三解答題（17）解：（）因?yàn)?，所以由正弦定理可得（）因?yàn)?，所以在和中，由余弦定理知，故由（）知，所以?8）解：（）

10、兩地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的莖葉圖如下通過(guò)莖葉圖可以看出，a地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值高于b地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分的平均值；a地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分比較集中，b地區(qū)用戶(hù)滿(mǎn)意度評(píng)分比較分散。（）記表示事件：“a地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為滿(mǎn)意或非常滿(mǎn)意”；表示事件：“a地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為非常滿(mǎn)意”；表示事件：“b地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為不滿(mǎn)意”；表示事件：“b地區(qū)用戶(hù)的滿(mǎn)意度等級(jí)為滿(mǎn)意”，則與獨(dú)立，與獨(dú)立，與互斥，由所給數(shù)據(jù)得發(fā)生的頻率分別為，故（19）解：（）交線圍成的正方形如圖：（）作，垂足為，則因?yàn)闉檎叫?，所以于是，所以以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所以的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)是平面的法向量，則

11、即所以可取又，故所以af與平面所成角的正弦值為（20）解：（）設(shè)直線將代入得，故于是直線的斜率，即所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值（）四邊形能為平行四邊形因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以不過(guò)原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是由（）得的方程為設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為由得，即將點(diǎn)的坐標(biāo)代入的方程得，因此四變現(xiàn)為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即于是，解得因?yàn)?，所以?dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí)，四邊形為平行四邊形（21）解：（）若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（）由（）知，對(duì)任意的在-1，0單調(diào)遞減，在0,1單調(diào)遞增，故在處取得最小值，所以對(duì)于任意的充要條件是即 設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增。又，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即式成立；當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性，即；當(dāng)時(shí)，即綜上，的取值范圍是-1,1（22）解：（）由于是等腰三角形，所以是的平分線又因?yàn)榉謩e與ab，ac相切于點(diǎn)e，f，所以，故從而（）由（）知，故是的垂直平分線.又為的弦，所以在上連結(jié)，則由等于的半徑得，所以，因此和都