2015年湖南卷數(shù)學(xué)試題及答案(文)

1、絕密啟用前2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（文科）本試卷包括選擇題、填空題和解答題三部分，共5頁(yè)，時(shí)量120分鐘，滿(mǎn)分150分。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)a.b.c.d.2.在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)（單位：分鐘）的莖葉圖如圖1所示若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1-35號(hào)，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間139,151上的運(yùn)動(dòng)人數(shù)是a.3b.4c.5d.63.設(shè)，則“”是“”的 a.充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.既不充分

2、也不必要條件4.若變量滿(mǎn)足約束條件則的最小值為a.-1 b.0 c.1 d.25.執(zhí)行如圖2所示的程序框圖，如果輸入，則輸出的a. b. c. d. 6. 若雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-4），則此雙曲線(xiàn)的離心率為a. b. c. d.7. 若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為a. b.2 c.2 d.48. 設(shè)函數(shù)，則是a.奇函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù) b.奇函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)c.偶函數(shù)，且在（0,1）上是增函數(shù) d.偶函數(shù)，且在（0,1）上是減函數(shù)9. 已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，且abbc，若點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2,0），則的最大值為a.6 b.7 c.8 d.910. 某工件的三視圖如圖3所示，

3、現(xiàn)將該工件通過(guò)切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的長(zhǎng)方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件的利用率為（材料的利用率= 新工件的體積/原工件的體積）a. b.c. d.二填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分11. 已知集合u=1,2,3,4，a=1，3，b=1,3,4，則_12. 在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸建立極坐標(biāo)系，若曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，則曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)13. 若直線(xiàn)與圓相交于兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則_.14. 若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_15. 已知，在函數(shù)與的圖像的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，則=_.三、解答題：本大題

4、共6小題，共75分。接答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。16.（本小題滿(mǎn)分12分）某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)。抽獎(jiǎng)方法是：從裝有2個(gè)紅球和1個(gè)白球的甲箱與裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，若摸出的2個(gè)球都是紅球則中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng)。（）用球的標(biāo)號(hào)列出所有可能的摸出結(jié)果；（）有人認(rèn)為：兩個(gè)箱子中的紅球比白球多，所以中獎(jiǎng)的概率大于不中獎(jiǎng)的概率，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。17. （本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)abc的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.（）證明：；（）若，且為鈍角，求.18.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖4，直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是的中點(diǎn).（）證明：

5、平面aef平面；（）若直線(xiàn)與平面所成的角為45°，求三棱錐的體積.19（本小題滿(mǎn)分13分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且.（） 證明：；（） 求。20.（本小題滿(mǎn)分13分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)也是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，與的公共弦的長(zhǎng)為2.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，且與同向。（）求的方程；（）若，求直線(xiàn)的斜率。21.（本小題滿(mǎn)分13分）已知，函數(shù)。記為的從小到大的第個(gè)極值點(diǎn)。（）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（）若對(duì)一切恒成立，求的取值范圍。參考答案一、選擇題：1. d2.b3.c4.a5.b6.d7.c8.a9.b10.a二、填空題：11. 1，2，312. 13. 214. （0，2）15.

6、 三、解答題：16解：（）所有可能的摸出結(jié)果是（）不正確。理由如下：由（）知，所有可能的摸出結(jié)果共12種，其中摸出的2個(gè)球都是紅球的結(jié)果為共4種，所以中獎(jiǎng)的概率為，不中獎(jiǎng)的概率為，故這種說(shuō)法不正確。17.解：（）由及正弦定理，得，所以（）因?yàn)樗杂桑ǎ?，因此。又為鈍角，所以，故。由知。從而綜上所述，18. 解：（）如圖，因?yàn)槿庵侵比庵?，所以，又是正三角形的邊的中點(diǎn)，所以因此平面而平面，所以，平面平面（）設(shè)的中點(diǎn)為，連結(jié)因?yàn)槭钦切?，所以又三棱柱是直三棱柱，所以因此平面，于是為直線(xiàn)與平面所成的角由題設(shè)，所以在中，所以故三棱錐的體積19解：（）有條件，對(duì)任意，有，因而對(duì)任意，有兩式相減，得，即又，所以故對(duì)一切，（）由（）知，所以，于是數(shù)列是首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列；數(shù)列是首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，因此于是從而綜上所述，20解：（）由知其焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)橐彩菣E圓的一個(gè)焦點(diǎn)，所以又與的公共弦的長(zhǎng)為，與都關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，且的方程為，由此易知與的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以聯(lián)立得，故的方程為（）如圖，設(shè)因與同向，且，所以，從而，即，于是設(shè)直線(xiàn)的斜率為，則的方程為由得，而是這個(gè)方程的兩根，所以由得，而是這個(gè)方程的兩根，所以將代入，得，即，所以，解得，即直線(xiàn)的斜率為21解：（）其中令，由得，即對(duì)，若，即，則；若，即，則因此，在區(qū)間與上，的符號(hào)總相反，于是當(dāng)時(shí)，取得極值，所以此時(shí)，易知，而是常數(shù)，