2022年2022年對數(shù)函數(shù)圖象及其性質(zhì)知識點及例題解析

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)例題解析題型一判定對數(shù)函數(shù)【例 1】 函數(shù) f x a2 a1log a 1x 為對數(shù)函數(shù),就實數(shù)a 解析： 由 a2 a1 1,解得 a 0、1又 a 1 0,且 a 11, a 1【例 1 1】以下函數(shù)中為對數(shù)函數(shù)的為 （1）y logax a 0,且 a 1； 2y log2x 2； 3y 8log 2x 1； 4 y log x6x0,且 x 1； 5 y log6x解析：序號為否理由1×真數(shù)為x ,不為自變量x2×對數(shù)式后加 23×真數(shù)為x1,不為 x,且系數(shù)為8,不為 14×底數(shù)為自變量x

2、,不為常數(shù)5底數(shù)為 6,真數(shù)為 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型二底數(shù)對圖象的影響【例 2】如下列圖的曲線為對數(shù)函數(shù)y logx 的圖象已知a 從3 , 4, 3 , 1中取值,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a3510就相應(yīng)曲線c1, c2, c3, c4 的 a 值依次為 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a 3 , 4, 3 , 1b 3 , 4 , 1 , 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載35103105精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c 4 ,3 , 3 , 1d 4,3 , 1 , 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

3、料 - - - 歡迎下載35103105解析： 由底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象的影響這一性質(zhì)可知,c4 的底數(shù) c3 的底數(shù) c2 的底數(shù) c1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的底數(shù)故相應(yīng)于曲線c1, c2, c3, c4 的底數(shù)依次為3 , 4, 3 , 1 答案： a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3510點技巧作直線 y 1,它與各曲線的交點的橫坐標(biāo)就為各對數(shù)的底數(shù),由此判定各底數(shù)的大小題型三對數(shù)型函數(shù)的定義域的求解1對數(shù)函數(shù)的定義域為0, 2在求對數(shù)型函數(shù)的定義域時,要考慮到真數(shù)大于0,底數(shù)大于0,且不等于1 如底數(shù)和真數(shù)中都含有變量,或式子中含有分式.根式等, 在解

4、答問題時需要保證各個方面都有意義3求函數(shù)的定義域應(yīng)滿意以下原就：分式中分母不等于零；偶次根式中被開方數(shù)大于或等于零；指數(shù)為零的冪的底數(shù)不等于零；對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；對數(shù)的真數(shù)大于零,假如在一個函數(shù)中數(shù)條并存,求交集精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 3】求以下函數(shù)的定義域1y log51 x；2 ylog2 x 15x 4；3 ylog0.5 4x3 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析： 利用對數(shù)函數(shù)y logax a 0,且 a 1的定義求解解： 1要使函數(shù)有意義,就1 x 0,解得 x 1,故函數(shù)y log 51 x的定義域為 x|x1 精品學(xué)習(xí)資料

5、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2要使函數(shù)有意義,就5x4>0、2 x1>0、 解得 x 4且 x 1,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 x11、5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4故函數(shù) y log2x 15x 4的定義域為、151 , 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3要使函數(shù)有意義,就4 x30、解得 3 x 1,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載log 0.5 4x30、4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故函數(shù) ylog 0.5 4x3) 的定義域為x 3 <x14精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

6、 - 歡迎下載題型四對數(shù)型函數(shù)的值域的求解方法一.充分利用函數(shù)的單調(diào)性和圖象為求函數(shù)值域的常用方法方法二.對于形如y logafx a 0,且 a 1的復(fù)合函數(shù),其值域的求解步驟如下：分解成 y log au, u fx這兩個函數(shù)；求 fx的定義域；求 u 的取值范疇；利用 y logau 的單調(diào)性求解方法三.對于函數(shù) y flogaxa 0,且 a 1,可利用換元法, 設(shè) logax t,就函數(shù) fttr的值域就為函數(shù)flogax a 0,且 a 1的值域留意： 1如對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為含字母的代數(shù)式或單獨一個字母,要考查其單調(diào)性,就必需對底數(shù)進(jìn)行分類爭論2 求對數(shù)函數(shù)的值域時,肯定要留意定義域

7、對它的影響當(dāng)對數(shù)函數(shù)中含有參數(shù)時, 有時需爭論參數(shù)的取值范疇【例 4】求以下函數(shù)的值域：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(1) y log22 4； 2y log32x x2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x12解： 1 x2 4 4, log2x2 4 log 24 2 函數(shù) y log2 x2 4的值域為 2 , 2設(shè) u 3 2x x2,就 u x12 4 4 u 0, 0 u 4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 y log 1 u 在0, 上為減函數(shù),2log 12u 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載函數(shù) y log 1 3

8、2x x2 的值域為 2, 2【例 4 1】已知 fx 2 log 3x, x1、3 ,求 y fx 2 fx2 的最大值及相應(yīng)的x 的值分析： 先確定 y fx 2 fx2的定義域,然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于log 3x 的一個一元二次函數(shù),利用一元二次函數(shù)求最值解： fx 2 log3x, x1、3 , y fx 2 fx2 log 3x2 6log 3x 6 且定義域為 1、3 令 t log 3xx1、3 t log 3x 在區(qū)間 1、3 上為增函數(shù), 0 t 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載t從而要求y fx 2 fx2在區(qū)間 1、3 上的最大值,只需求y最大值即可 y t2 6

9、t 6 在 3, 上為增函數(shù), 當(dāng) t 1,即 x 3 時, ymax 1 6 6 13綜上可知,當(dāng)x3 時, y fx 2 fx2 的最大值為13題型五對數(shù)函數(shù)的圖象變換及定點問題1與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象過定點問題2 6t 6 在區(qū)間 0、1 上的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對數(shù)函數(shù) y log ax a 0,且 a1過定點 1、0,即對任意的a0,且 a 1 都有 log a10這為解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象問題的關(guān)鍵對于函數(shù)y b klog afx k, b 均為常數(shù),且k 0,令 fx 1,解方程得x m,就該函數(shù)恒過定點 m, b方程 fx 0 的解的個數(shù)等于該

10、函數(shù)圖象恒過定點的個數(shù)2對數(shù)函數(shù)的圖象變換的問題向左b>0 或向右b<0函數(shù) y loga xa0,且 a1平-移-|b-|-個-單-位-長-度- 函數(shù) ylog ax ba 0,且 a 1向上b>0或向下 b<0函數(shù) y loga xa0,且 a1平-移- -|b-|個- -單-位-長-度-函數(shù) y logax ba0,且 a 1當(dāng)x>0時,兩函數(shù)圖象相同函數(shù)y log axa 0,且a 1當(dāng)x<0時,- -將-x->-0-時-的-圖-象-關(guān)-于y軸對稱函數(shù)y loga|x|a 0,且a 1保留x軸上方的圖象函數(shù) y loga xa0,且 a1同-

11、-時-將- -x-軸-下-方- -的-圖-象-作-關(guān)- -于- -x-軸-的-對-稱-變-換- 函數(shù) y |logax|a0,且 a 1【例 5】如函數(shù) ylog ax b ca0,且 a 1的圖象恒過定點3、2,就實數(shù)b,c 的值分別為 解析： 函數(shù)的圖象恒過定點3、2 , 將3、2代入 y log axb ca 0,且 a 1,得 2 loga 3 bc 又 當(dāng) a 0,且 a 1 時, log a10 恒成立, c 2 log a3 b 0 b 2 答案： 2、2【例 5 1】 作出函數(shù)y |log2x 1| 2 的圖象解： 第一步 作函數(shù) y log2x 的圖象,如圖 ；其次步 將函數(shù)

12、 y log 2x 的圖象沿x 軸向左平移1 個單位長度,得函數(shù)y log2x 1的圖象,如圖 ；第三步 將函數(shù) y log 2x1在 x 軸下方的圖象作關(guān)于x 軸的對稱變換, 得函數(shù) y |log2x1|的圖象,如圖 ；第四步 將函數(shù) y |log2x1|的圖象, 沿 y 軸方向向上平移2 個單位長度, 便得到所求函數(shù)的圖象,如圖精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型六利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小兩個對數(shù)式的大小比較有以下幾種情形：1底數(shù)相同,真數(shù)不同2底數(shù)不同,真數(shù)相同3底數(shù)不同,真數(shù)也不同4對于多個對數(shù)式的大小比較留意：對于含有參數(shù)的兩個對數(shù)值的大小比較,要留意對底數(shù)為否大于

13、1進(jìn)行分類爭論【例 6】比較以下各組中兩個值的大小1log 31.9,log32； 2log23,log0.32； 3loga,loga3.141分析： 1構(gòu)造函數(shù) ylog3x,利用其單調(diào)性比較； 2分別比較與0 的大??； 3分類爭論底數(shù)的取值范疇解： 1由于函數(shù) y log3x 在0, 上為增函數(shù),所以f1.9 f2所以 log31.9log322由于 log23log21 0,log0.32log0.31 0,所以 log23 log0.323當(dāng) a 1 時,函數(shù) y logax 在定義域上為增函數(shù),就有l(wèi)oga loga3.141；當(dāng) 0 a 1 時,函數(shù) y logax 在定義域上為

14、減函數(shù), 就有 loga loga3.141綜上所得,當(dāng)a1 時, logaloga3.141；當(dāng) 0 a 1 時, loga loga3.141精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a【例 61】如 a2ba 1,試比較 log的大小a , log bb ,logba,logabba精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析： 利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或圖象進(jìn)行判定精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： b a1, 0 ab 1 log aa 0,log bab logaa 1,logb1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 logba logbb,即 0

15、logba1bbba2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 1a2 b, 0 log ba21由 logba log baa2 logb,a bb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a b 1,1 logbab 0,即 logba log bb a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 logab logba logbb loga ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型七利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式常見的對數(shù)不等式有三種類型：形如 log af x logagx的不等式,借助函數(shù)y logax 的單調(diào)性求解,假如a 的取值不確定,需分a 1 與

16、 0 a 1 兩種情形爭論形如 log afx b 的不等式,應(yīng)將b 化為以 a 為對數(shù)的對數(shù)式的形式,再借助函數(shù)y log ax 的單調(diào)性求解形如 log afx logbgx的不等式,基本方法為將不等式兩邊化為同底的兩個對數(shù)值,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來脫去對數(shù)符號,同時應(yīng)保證真數(shù)大于零,取交集作為不等式的解集形如 f logax 0 的不等式,可用換元法 令 t loga x,先解 f t 0,得到 t 的取值范疇 然后再解 x 的范疇精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 7】解以下不等式：1 log 1 xlog 1 4x ；2log x2x 1 log x3x精品學(xué)習(xí)資料精

17、選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載77x>0、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： 1由已知,得4x>0、 解得 0 x 2故原不等式的解集為 x|0 x 2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x<4x、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2當(dāng) x 1 時,有2x1>32x1>0、3x>0、x、解得 1x 3；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) 0x 1 時,有2x1<32x1>0、3x>0、x、解得 0 x 2 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

18、 - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以原不等式的解集為x 0<x< 2 或1<x<332精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 7 1】 如2log a32 1,求 a 的取值范疇精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： log2 1, 1 log2 1,即 log1log2loga 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aaaaa33a31 當(dāng) a 1 時, y log ax 為增函數(shù), 12a a 3 ,結(jié)合 a 1,可知 a 3 a322精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12 當(dāng) 0 a 1 時,

19、 y loga x 為減函數(shù), >a2 >a 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a 2 ,結(jié)合 0 a 1,知 0 a 2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3 a 的取值范疇為3,或a 0<a< 2a> 332精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型八對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的爭論（1）解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問題的關(guān)鍵：一為看底數(shù)為否大于1,當(dāng)?shù)讛?shù)未明確給出時,就應(yīng)對底數(shù)a 為否大于1 進(jìn)行爭論；二為運用復(fù)合法來判定其單調(diào)性；三為留意其定義域2 關(guān)于形如y log af x一類函數(shù)的單調(diào)性,有以下結(jié)論：函數(shù) y logaf

20、 x的單調(diào)性與u fx fx 0的單調(diào)性,當(dāng)a1 時相同,當(dāng)0a 1 時相反精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 8】求函數(shù) ylog2 32x的單調(diào)區(qū)間分析： 第一確定函數(shù)的定義域,函數(shù)ylog232x為由對數(shù)函數(shù)ylog2u和一次函數(shù) u32x 復(fù)合而成, 求其單調(diào)區(qū)間或值域時, 應(yīng)從函數(shù) u 3 2x 的單調(diào)性.值域入手,并結(jié)合函數(shù)ylog2u 的單調(diào)性考慮3解： 由 32x 0,解得函數(shù) ylog23 2x的定義域為 ,2 3設(shè) u 32x,x ,2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2u32x 在 ,3上為減函數(shù),且 ylog2u 在0, 上單調(diào)遞增,精品

21、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2函數(shù) ylog23 2x在 ,3上為減函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2函數(shù) ylog23 2x的單調(diào)減區(qū)間為 ,3 【例 8-1】求函數(shù) ylogaa ax的單調(diào)區(qū)間解： 1如 a 1,就函數(shù) ylogat 遞增,且函數(shù) taax 遞減 又 a ax0,即 axa,x1函數(shù) ylogaa ax在 , 1上遞減2如 0a1,就函數(shù) ylogat 遞減,且函數(shù) ta ax 遞增 又 a ax0,即 axa, x1函數(shù) ylogaa ax在1, 上遞減綜上所述,函數(shù) ylogaaax在其定義

22、域上遞減 析規(guī)律判定函數(shù) y logafx的單調(diào)性的方法函數(shù) y logafx可看成為 ylogau 與 u fx兩個簡潔函數(shù)復(fù)合而成的, 由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性 “ 同增異減 ”的規(guī)律即可判定需特殊留意的為, 在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時,第一要考慮函數(shù)的定義域, 即“ 定義域優(yōu)先 ”精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1【例 8 2】 已知 f x logx2 ax a在2、1上為增函數(shù),求a 的取值范疇2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：、1為函數(shù) f x的遞增區(qū)間,說明2、1為函數(shù) ux2 ax a 的遞減區(qū)2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載間,由于為對數(shù)函

23、數(shù),仍需保證真數(shù)大于0 令 ux x2 ax a,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 fx log12ux 在、1上為增函數(shù),2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ux在、1上為減函數(shù),且ux 0 在2、1上恒成立2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a1 、a1、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載221即11a 1 aa0.2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載u0、422精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載滿意條件的a 的取值范疇為a1a12精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題型九對數(shù)型函數(shù)的奇偶性問題精品學(xué)習(xí)資

24、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載判定與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)奇偶性的步驟為：1求函數(shù)的定義域,當(dāng)定義域關(guān)于原點不對稱時,就此函數(shù)既不為奇函數(shù)也不為偶函數(shù),當(dāng)定義域關(guān)于原點對稱時,判定fx與 fx或 f x為否相等；2當(dāng) fx fx時,此函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)f x fx時,此函數(shù)為奇函數(shù)；3當(dāng) fx fx且 fx fx時,此函數(shù)既為奇函數(shù)又為偶函數(shù)；4當(dāng) fx fx且 fx fx時,此函數(shù)既不為奇函數(shù)也不為偶函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載222【例 9】判定函數(shù) fx log a x1 x xr,a0,且 a 1的奇偶性精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： f x

25、fx loga10,log a x1x log a x1 x logax2 1 x2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fx fxfx為奇函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1【例 9-1】已知函數(shù) fx log a1（ 1）求函數(shù) fx的定義域；x a 0,且 a1x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）判定函數(shù) fx的奇偶性；（ 3）求使 fx 0 的 x 的取值范疇分析：對于第 2問,依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證明即可對于第 3問,利用函數(shù)的單調(diào)性去掉對數(shù)符號,解出不等式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： 1由 11x 0,得 1 x

26、1,x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故函數(shù) fx的定義域為 1、1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1x2 fx log a1x1log a1x fx,x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由 1知函數(shù) fx的定義域關(guān)于原點對稱, 函數(shù) fx為奇函數(shù)1x1x3當(dāng) a1 時,由 log a 0 loga1,得1,解得 0 x1；1x1x當(dāng) 0 a 1 時,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1由 log a1x 0 logxa1,得 0 11x 1,解得 1x 0x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故當(dāng) a1 時, x 的取值范疇為 x|0 x 1 ；當(dāng) 0 a 1 時, x 的取值范疇為 x| 1 x 0 題型十反函數(shù)【例 10】如函數(shù) y fx為函數(shù) y axa 0,且 a 1的反函數(shù),且f2 1,就 fx 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a log12xxbc logxd 2x 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載122解析： 由于函數(shù)y ax a 0,且 a 1的反函數(shù)為fxlog ax,又 f2 1,即 loga2 1,所以