《數(shù)值計(jì)算方法》試題集及答案

1、數(shù)值計(jì)算方法復(fù)習(xí)試題一、填空題：1、，則a的lu分解為 。答案：3、，則過這三點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式中的系數(shù)為 ，拉格朗日插值多項(xiàng)式為 。答案：-1， 4、近似值關(guān)于真值有( 2 )位有效數(shù)字；5、設(shè)可微,求方程的牛頓迭代格式是( )；答案6、對,差商( 1 ),( 0 )；7、計(jì)算方法主要研究( 截?cái)?)誤差和( 舍入 )誤差；8、用二分法求非線性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時(shí)，二分n次后的誤差限為( )；10、已知f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，則二次newton插值多項(xiàng)式中x2系數(shù)為( 0.15 )；11、 解線性方程組ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(a的各階順

2、序主子式均不為零)。12、 為了使計(jì)算 的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達(dá)式改寫為 ，為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式改寫為 。13、 用二分法求方程在區(qū)間0,1內(nèi)的根,進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為 0.5，1 ,進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)間為 0.5，0.75 。 14、 求解方程組的高斯塞德爾迭代格式為 ，該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑= 。15、 設(shè),則 ，的二次牛頓插值多項(xiàng)式為 。16、 求積公式的代數(shù)精度以( 高斯型 )求積公式為最高，具有( )次代數(shù)精度。21、如果用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分（ 10 ）次。22、已知是三次樣條函數(shù)，則=( 3 )，=（ 3 ），=（ 1 ）。2

3、3、是以整數(shù)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的lagrange插值基函數(shù)，則( 1 )，( )，當(dāng)時(shí)( )。24、25、區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)在上具有直到_2_階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。26、改變函數(shù) ()的形式，使計(jì)算結(jié)果較精確 。27、若用二分法求方程在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分 10 次。28、寫出求解方程組的gauss-seidel迭代公式 ，迭代矩陣為 ，此迭代法是否收斂 收斂 。31、設(shè),則 9 。32、設(shè)矩陣的，則 。33、若，則差商 3 。34、線性方程組的最小二乘解為 。36、設(shè)矩陣分解為，則 。二、單項(xiàng)選擇題：1、 jacobi迭代法解方程組的必要條件是（ c ）。 aa的各階順序主

4、子式不為零 b c d 2、設(shè)，則為( c ) a 2 b 5 c 7 d 34、求解線性方程組ax=b的lu分解法中，a須滿足的條件是( b )。a 對稱陣 b 正定矩陣 c 任意陣 d 各階順序主子式均不為零 5、舍入誤差是( a )產(chǎn)生的誤差。a. 只取有限位數(shù) b模型準(zhǔn)確值與用數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值c 觀察與測量 d數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實(shí)際值 6、3.141580是的有( b )位有效數(shù)字的近似值。 a 6 b 5 c 4 d 7 7、用 1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是( c )誤差。a 模型 b 觀測 c 截?cái)?d 舍入 8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是( a )。a控制

5、舍入誤差 b 減小方法誤差c防止計(jì)算時(shí)溢出 d 簡化計(jì)算 9、用1+近似表示所產(chǎn)生的誤差是( d )誤差。 a 舍入 b 觀測 c 模型 d 截?cái)?10、-3247500是舍入得到的近似值，它有( c )位有效數(shù)字。 a 5 b 6 c 7 d 811、設(shè)f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,則拋物插值多項(xiàng)式中x2的系數(shù)為( a )。 a 05 b 05 c 2 d -2 12、三點(diǎn)的高斯型求積公式的代數(shù)精度為( c )。 a 3 b 4 c 5 d 213、( d )的3位有效數(shù)字是0.236×102。(a) 0.0023549×103 (b) 2354.82

6、×102 (c) 235.418 (d) 235.54×10114、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實(shí)根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)，則f(x)=0的根是( b )。(a) y=j(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) (b) y=x與y=j(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(c) y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo) (d) y=x與y=j(x)的交點(diǎn)15、用列主元消去法解線性方程組，第1次消元，選擇主元為( a ) 。(a) 4 (b) 3 (c) 4 (d)916、拉格朗日插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是( b ),牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)是( c ) 。(a) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)

7、(xxn1)(xxn)，(b) (c) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(d) 18、用牛頓切線法解方程f(x)=0，選初始值x0滿足( a ),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0的根。19、為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個(gè)根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(a )。(a) (b)(c)(d)21、解方程組的簡單迭代格式收斂的充要條件是（ ）。（1）, (2) , (3) , (4) 23、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.2

8、5所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是（ ）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次25、取計(jì)算，下列方法中哪種最好？（）(a)； (b)； (c) ； (d) 。27、由下列數(shù)表進(jìn)行newton插值，所確定的插值多項(xiàng)式的最高次數(shù)是（）1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(a)； (b)； (c) ； (d) 。29、計(jì)算的newton迭代格式為( )(a) ；(b)；(c) ；(d) 。 30、用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的實(shí)根，要求誤差限為，則對分次數(shù)至少為( ) (a)10； (b)12； (c)8； (d)9。32、設(shè)是以為節(jié)點(diǎn)的lagrange插值基函數(shù)，則( )(a

9、)； （b）； （c）； （d）。 35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收斂的是( )(a)； (b)； (c)； (d)。36、由下列數(shù)據(jù)012341243-5確定的唯一插值多項(xiàng)式的次數(shù)為( )(a) 4； (b)2； (c)1； (d)3。三、是非題（認(rèn)為正確的在后面的括弧中打Ö，否則打´）1、 已知觀察值,用最小二乘法求n次擬合多項(xiàng)式時(shí)，的次數(shù)n可以任意取。 ( )2、 用1-近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差。 ( )3、 表示在節(jié)點(diǎn)x1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。 ( Ö )4、牛頓插值多項(xiàng)式的優(yōu)點(diǎn)是在計(jì)算時(shí)，高一級的插值多項(xiàng)式可利用前一次插值的結(jié)果

10、。 ( Ö ) 5、矩陣a=具有嚴(yán)格對角占優(yōu)。 ( )四、計(jì)算題：1、 用高斯-塞德爾方法解方程組 ，取，迭代四次(要求按五位有效數(shù)字計(jì)算)。答案：迭代格式 k000012.75003.8125 2.537520.20938 3.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.70192、 已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項(xiàng)式，并求的近似值（保留四位小數(shù)）。答案： 差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10 5、已知-2-101242135求的二次擬合曲線，并求的近似值。答案：解：0-

11、244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正規(guī)方程組為 6、已知區(qū)間0.4，0.8的函數(shù)表0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求的近似值，如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最?。坎⑶笤摻浦?。答案：解： 應(yīng)選三個(gè)節(jié)點(diǎn)，使誤差 盡量小，即應(yīng)使盡量小，最靠近插值點(diǎn)的三個(gè)節(jié)點(diǎn)滿足上述要求。即取節(jié)點(diǎn)最好，實(shí)際計(jì)算結(jié)果， 且 7、構(gòu)造求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來，。答案：解：令 .且，故在(0,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.將方程變形為

12、則當(dāng)時(shí)，故迭代格式 收斂。取，計(jì)算結(jié)果列表如下：n01230.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n45670.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且滿足 .所以. 8利用矩陣的lu分解法解方程組 。答案：解： 令得，得. 9對方程組 （1） 試建立一種收斂的seidel迭代公式，說明理由；（2） 取初值，利用（1）中建立的迭代公式求解，要求。解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)故對應(yīng)的高斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為取,經(jīng)7步迭代可得：. 10、已知下列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)xi1.361.

13、952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項(xiàng)式擬合以上數(shù)據(jù)。解：當(dāng)0<x<1時(shí)，ex，則 ，且有一位整數(shù). 要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差 .由 ，只要 即可，解得 所以 ，因此至少需將 0,1 68等份。 11、用列主元素消元法求解方程組 。解： 回代得 。 12、取節(jié)點(diǎn),求函數(shù)在區(qū)間0,1上的二次插值多項(xiàng)式,并估計(jì)誤差。解： 又 故截?cái)嗾`差 。15、用牛頓(切線)法求的近似值。取x0=1.7, 計(jì)算三次，保留五位小數(shù)。解：是的正根，牛頓迭代公式為， 即 取x0=1.7, 列表如下：1231.732351.732051.7320516、

14、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多項(xiàng)式及f (1，5)的近似值，取五位小數(shù)。解：18、用gauss-seidel迭代法求解線性方程組 =，取x(0)=(0,0,0)t,列表計(jì)算三次，保留三位小數(shù)。解：gauss-seidel迭代格式為：系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)，故gauss-seidel迭代收斂.取x(0)=(0,0,0)t，列表計(jì)算如下:11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.526 20、（8分）用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式擬合以下數(shù)據(jù)：1925303819.032.349.073.3解： 解方程組

15、其中 解得： 所以 ， 22、（15分）方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等價(jià)形式（1）對應(yīng)迭代格式；(2)對應(yīng)迭代格式；（3）對應(yīng)迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計(jì)算附近的根，精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位。解：（1），故收斂；（2），故收斂；（3），故發(fā)散。選擇（1）：， ，23、（8分）已知方程組，其中，（1） 列出jacobi迭代法和gauss-seidel迭代法的分量形式。（2） 求出jacobi迭代矩陣的譜半徑。解：jacobi迭代法：gauss-seidel迭代法：， 31、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計(jì)算的近似值，并利用余項(xiàng)估計(jì)誤差。用newt

16、on插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755533、(10分)用gauss列主元消去法解方程組： 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.687534、(8分)求方程組 的最小二乘解。， 若用householder變換，則：最小二乘解： (-1.33333，2.00000)t.37、（15分）已知方程組，其中，（1）寫出該方程組的jacobi迭代法和gauss-seidel迭代