《數(shù)值計算方法》試題集及答案()

1、計算方法期中復習試題一、填空題：1、已知，則用辛普生（辛卜生）公式計算求得,用三點式求得 。答案：2.367，0.252、，則過這三點的二次插值多項式中的系數(shù)為 ，拉格朗日插值多項式為 。答案：-1， 3、近似值關于真值有( 2 )位有效數(shù)字；4、設可微,求方程的牛頓迭代格式是( )；答案5、對,差商( 1 ),( 0 )；6、計算方法主要研究( 截斷 )誤差和( 舍入 )誤差；7、用二分法求非線性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b)內的根時，二分n次后的誤差限為( )；8、已知f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，則二次newton插值多項式中x2系數(shù)為( 0.15 )；11、 兩點式高斯型

2、求積公式( )，代數(shù)精度為( 5 )；12、 為了使計算 的乘除法次數(shù)盡量地少，應將該表達式改寫為 ，為了減少舍入誤差，應將表達式改寫為 。13、 用二分法求方程在區(qū)間0,1內的根,進行一步后根的所在區(qū)間為 0.5，1 ,進行兩步后根的所在區(qū)間為 0.5，0.75 。 14、 計算積分,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為 0.4268 ，用辛卜生公式計算求得的近似值為 0.4309 ，梯形公式的代數(shù)精度為 1 ，辛卜生公式的代數(shù)精度為 3 。15、 設,則 ，的二次牛頓插值多項式為 。16、 求積公式的代數(shù)精度以( 高斯型 )求積公式為最高，具有( )次代數(shù)精度。17、 已知f (1

3、)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求( 12 )。18、 設f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三點式求( 2.5 )。19、如果用二分法求方程在區(qū)間內的根精確到三位小數(shù)，需對分（ 10 ）次。20、已知是三次樣條函數(shù)，則=( 3 )，=（ 3 ），=（ 1 ）。21、是以整數(shù)點為節(jié)點的lagrange插值基函數(shù)，則( 1 )，( )，當時( )。22、區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)在上具有直到_2_階的連續(xù)導數(shù)。23、改變函數(shù) ()的形式，使計算結果較精確 。24、若用二分法求方程在區(qū)間1,2內的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分 10 次。25、設是3次樣

4、條函數(shù)，則a= 3 , b= -3 , c= 1 。26、若用復化梯形公式計算，要求誤差不超過，利用余項公式估計，至少用 477個求積節(jié)點。27、若，則差商 3 。28、數(shù)值積分公式的代數(shù)精度為 2 。選擇題1、三點的高斯求積公式的代數(shù)精度為( b )。 a 2 b5 c 3 d 42、舍入誤差是( a )產生的誤差。a. 只取有限位數(shù) b模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值c 觀察與測量 d數(shù)學模型準確值與實際值 3、3.141580是的有( b )位有效數(shù)字的近似值。 a 6 b 5 c 4 d 7 4、用 1+x近似表示ex所產生的誤差是( c )誤差。a 模型 b 觀測 c 截斷 d 舍

5、入 5、用1+近似表示所產生的誤差是( d )誤差。 a 舍入 b 觀測 c 模型 d 截斷 6、-3247500是舍入得到的近似值，它有( c )位有效數(shù)字。 a 5 b 6 c 7 d 87、設f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,則拋物插值多項式中x2的系數(shù)為( a )。 a 05 b 05 c 2 d -2 8、三點的高斯型求積公式的代數(shù)精度為( c )。 a 3 b 4 c 5 d 29、( d )的3位有效數(shù)字是0.236×102。(a) 0.0023549×103 (b) 2354.82×102 (c) 235.418 (d) 235.5

6、4×10110、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)，則f(x)=0的根是( b )。(a) y=j(x)與x軸交點的橫坐標 (b) y=x與y=j(x)交點的橫坐標(c) y=x與x軸的交點的橫坐標 (d) y=x與y=j(x)的交點11、拉格朗日插值多項式的余項是( b ),牛頓插值多項式的余項是( c ) 。(a) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(b) (c) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(d) 12、用牛頓切線法解方程f(x)=0，選初

7、始值x0滿足( a ),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0的根。13、為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應的迭代公式，迭代公式不收斂的是(a )。(a) (b)(c)(d)14、在牛頓-柯特斯求積公式：中，當系數(shù)是負值時，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應用中，當（ ）時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。（1）， （2）， （3）， （4），23、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是（ ）。（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次15、取計算，下

8、列方法中哪種最好？（）(a)； (b)； (c) ； (d) 。26、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為( )(a)6，6； (b)6，8； (c)8，6； (d)8，8。16、由下列數(shù)表進行newton插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是（）1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(a)； (b)； (c) ； (d) 。17、形如的高斯（gauss）型求積公式的代數(shù)精度為（）(a)； (b)； (c) ； (d) 。18、計算的newton迭代格式為( )(a) ；(b)；(c) ；(d) 。 19、用二分法求方程在區(qū)間內的實根，要求誤差限為，則對分次數(shù)至少為( ) (a)10；

9、(b)12； (c)8； (d)9。20、設是以為節(jié)點的lagrange插值基函數(shù)，則( )(a)； （b）； （c）； （d）。 33、5個節(jié)點的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有( )次代數(shù)精度(a)5； (b)4； (c)6； (d)3。21、已知是三次樣條函數(shù)，則的值為( )(a)6，6； (b)6，8； (c)8，6； (d)8，8。35、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收斂的是( )(a)； (b)； (c)； (d)。22、由下列數(shù)據(jù)012341243-5確定的唯一插值多項式的次數(shù)為( )(a) 4； (b)2； (c)1； (d)3。23、5個節(jié)點的gauss型求積公式的最高

10、代數(shù)精度為( )(a)8； (b)9； (c)10； (d)11。三、是非題（認為正確的在后面的括弧中打Ö，否則打´）1、 已知觀察值,用最小二乘法求n次擬合多項式時，的次數(shù)n可以任意取。 ( )2、 用1-近似表示cosx產生舍入誤差。 ( )3、 表示在節(jié)點x1的二次(拉格朗日)插值基函數(shù)。 ( Ö )4、牛頓插值多項式的優(yōu)點是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結果。 ( Ö ) 5、矩陣a=具有嚴格對角占優(yōu)。 ( )四、計算題：1、 求a、b使求積公式的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度；利用此公式求(保留四位小數(shù))。答案：是精確成立，即

11、得求積公式為當時，公式顯然精確成立；當時，左=，右=。所以代數(shù)精度為3。 2、 已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項式，并求的近似值（保留四位小數(shù)）。答案： 差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10 5、已知-2-101242135求的二次擬合曲線，并求的近似值。答案：解：0-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正規(guī)方程組為 6、已知區(qū)間0.4，0.8的函數(shù)表0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.6442

12、2 0.71736如用二次插值求的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最小？并求該近似值。答案：解： 應選三個節(jié)點，使誤差 盡量小，即應使盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點最好，實際計算結果， 且 7、構造求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來，。答案：解：令 .且，故在(0,1)內有唯一實根.將方程變形為 則當時，故迭代格式 收斂。取，計算結果列表如下：n01230.50.035 127 8720.096 424 7850.089 877 325n45670.090 595 9930.090 517 3400.090 525 9500.090 525 008且滿足 .

13、所以. 10、已知下列實驗數(shù)據(jù)xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)。解：當0<x<1時，ex，則 ，且有一位整數(shù). 要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差 .由 ，只要 即可，解得 所以 ，因此至少需將 0,1 68等份。12、取節(jié)點,求函數(shù)在區(qū)間0,1上的二次插值多項式,并估計誤差。解： 又 故截斷誤差 。14、給定方程1) 分析該方程存在幾個根；2) 用迭代法求出這些根，精確到5位有效數(shù)字；3) 說明所用的迭代格式是收斂的。解：1）將方程 （1）改寫為 （2） 作函數(shù)，的圖形（略）知（2）有唯一根。2)

14、將方程（2）改寫為 構造迭代格式 計算結果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463) ，當時，且所以迭代格式 對任意均收斂。15、用牛頓(切線)法求的近似值。取x0=1.7, 計算三次，保留五位小數(shù)。解：是的正根，牛頓迭代公式為， 即 取x0=1.7, 列表如下：1231.732351.732051.7320516、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多項式及f (1，5)的近似值，取五位小數(shù)。解：17、n=3,用復合梯形公式求的近似值（取

15、四位小數(shù)）,并求誤差估計。解：，時，至少有兩位有效數(shù)字。20、（8分）用最小二乘法求形如的經驗公式擬合以下數(shù)據(jù)：1925303819.032.349.073.3解： 解方程組 其中 解得： 所以 ， 21、（15分）用的復化梯形公式（或復化 simpson公式）計算時，試用余項估計其誤差。用的復化梯形公式（或復化 simpson公式）計算出該積分的近似值。解：22、（15分）方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）對應迭代格式；(2)對應迭代格式；（3）對應迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計算附近的根，精確到小數(shù)點后第三位。解：（1），故收斂；（2），故收斂；（3），

16、故發(fā)散。選擇（1）：， ，25、數(shù)值積分公式形如 試確定參數(shù)使公式代數(shù)精度盡量高；（2）設，推導余項公式，并估計誤差。解：將分布代入公式得：構造hermite插值多項式滿足其中則有：， 27、（10分）已知數(shù)值積分公式為： ，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：顯然精確成立； 時，；時，；時，；時，；所以，其代數(shù)精確度為3。28、（8分）已知求的迭代公式為： 證明：對一切，且序列是單調遞減的，從而迭代過程收斂。證明： 故對一切。又 所以，即序列是單調遞減有下界，從而迭代過程收斂。29、（9分）數(shù)值求積公式是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？解

17、：是。因為在基點1、2處的插值多項式為 。其代數(shù)精度為1。30、(6分)寫出求方程在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。(6分)，n=0,1,2, 對任意的初值,迭代公式都收斂。31、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。用newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755532、(10分)用復化simpson公式計算積分的近似值，要求誤差

18、限為。 或利用余項： ，33、(10分)用gauss列主元消去法解方程組： 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0 0000 1.9375 9.687536、(6分)構造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：取f(x)=1,x，令公式準確成立，得：， ，f(x)=x2時，公式左右=1/4; f(x)=x3時，公式左=1/5, 公式右=5/2