2022年2022年小學奧數數論專題知識總結

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結精品學問點數論基礎學問學校數論問題,起因于除法算式：被除數÷除數商余數1. 能整除：整除,因數與倍數,奇數與偶數,質數與合數,公因數與公倍數,分解質因數等；2. 不能整除：余數,余數的性質與運算（余數）,同余問題（除數）,物不知數問題（被除數）；一.因數與倍數1.因數與倍數（ 1）定義：定義 1：如整數a 能夠被 b 整除, a 叫做 b 的倍數, b 就叫做 a 的因數；定義 2：假如非零自然數a.b.c 之間存在a× b c ,或者 c ÷ a b,那么稱a.b 為 c 的因數, c 為 a.b的倍數；留意：倍數與因數

2、為相互依存關系,缺一不行；（a. b 為因數, c 為倍數）一個數的因數個數為有限的,最小的因數為1,最大的因數為它本身；一個數的倍數個數為無限的,最小的倍數為它本身,沒有最大的倍數；（ 2）一個數的因數的特點：最小的因數為1,其次小的因數肯定為質數；最大的因數為它本身,其次大的因數為：原數÷其次小的因數（ 3）完全平方數的因數特點：完全平方數的因數個數為奇數個,有奇數個因數的數為完全平方數；完全平方數的質因數顯現次數都為偶數次；1000 以內的完全平方數的個數為31 個, 2000 以內的完全平方數的個數為44 個, 3000 以內的完222精品學習資料精選學習資料 - - - 歡

3、迎下載全平方數的個數為54 個；（ 31 =961, 442.數的整除（數的倍數）（ 1）定義：=1936, 54 =2916）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載定義 1：一般地,三個整數a.b.c,且 b 0,如有 a÷ b c ,就我們就說, a 能被 b 整除,或b 能整除 a,或 a 能整除以b；定義 2：假如一個整數a,除以一個整數b（ b 0）,得到一個整數商c,而且沒有余數,那么叫做a 能被b 整除或b 能整除a,記作b|a ；（ a b）（ 2） 整除的性質：假如 a.b 能被 c 整除,那么（a+b）與（ a-b ）也能被c 整 除；假如 a 能被 b

4、整除, c 為整數,那么a×c 也能被 b 整除；假如 a 能被 b 整除, b 又能被c 整除,那么a 也能被 c 整除； 假如 a 能被 b.c 整除,那么a 也能被 b 和 c 的最小公倍數整除；（ 3） 一些常見數的整除特點（倍數特點）：末位判別法2.5 的倍數特點：末位上的數字為2.5 的倍數；4.25 的倍數特點：末兩位上的數字為4.25 的倍數；8.125 的倍數特點：末三位上的數字為8.125 的倍數；截斷求和法（從右開頭截）9（及其因數3）的倍數特點：一位截斷求和99（及其因數3.9. 11.33）的倍數特點：兩位截斷求和999（及其因數3.9.27.37.111.

5、 333）的倍數特點：三位截斷求和截斷求差法（從右開頭截）11 的倍數特點：一位截斷求差101 的倍數特點：兩位截斷求差1001（及其因數7.11.13. 77.91.143）的倍數特點：三位截斷求差公倍數法精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結精品學問點6 的倍數特點：2 和 3 的公倍數；先判定為否12 的倍數特點：4 和 3 的公倍數；先判定為否3.奇數與偶數 （自然數按為否能被2 整除分類）2 的倍數,再判定為否4 的倍數,再判定為否3 的倍數；3 的倍數；（ 1）定義：奇數：不為2 的倍數的數；在自然數中,最小的奇數為1；偶數：為2 的倍數的數；在自然數中,最小的偶數

6、為0；（ 2） 數的奇偶性質：奇偶相連,奇偶相間,偶數個連續(xù)自然數中,奇偶各半；奇數個奇數的和為奇數；偶數個奇數的和為偶數；任意多個偶數的和為偶數；兩個奇（偶）數的差為偶數；一個偶數與一個奇數的差為奇數；如 a .b 為整數,就a+b與 a-b有相同的奇偶性；n 個奇數的乘積為奇數,n 個偶數的乘積為2 n 的倍數； 算式中有一個為偶數,就乘積必為偶數；連續(xù)的奇數或偶數差為2；如,與奇數m相鄰的兩個奇數分別為m-2 和m+2 ；奇偶分析：奇奇偶奇奇偶奇×奇奇奇偶奇偶偶偶奇×偶偶偶偶偶奇偶奇偶×偶偶4.質數與合數（非 0 自然數按因數個數分類）（ 1）定義：質數：只

7、有1 和它本身兩個因數的數；（因數個數：2 個）合數：除了1 和它本身仍有其它因數的數；（因數個數：3 個或 3 個以上）（ 2）常見質數特點：1 既不為質數,也不為合數（1 只有 1 個因數）；2 為最小的質數；4 為最小的合數；2 為質數中唯獨的偶數,也為偶數中唯獨的質數（除2 外,其它質數都為奇數）；（ 3） 100 以內質數表（25 個）： 2.3.5.7.11.13.17.19.23. 29.31.37.41.43.47. 53.59.61.67. 71.73.79.83.89.97（ 4）分解質因數唯獨分解定理：任何一個大于1 的自然數n、假如 n 不為質數,那么n可以唯獨分解成有

8、限個質數的乘積；質因數：假如某個質數為某個數的因數,那么這個質數叫做這個數的質因數；分解質因數：把一個合數寫成它的幾個質因數相乘的形式；如：28 2× 2× 7 22 × 7通常用短除法分解質因數；任何一個合數分解質因數的結果為唯獨的；要求出乘積中末尾0 的個數, 只需要知道這些乘數分解質因數后2 和 5 的個數, 不用考慮其它質因數；（ 5）互質數： 公因數只有1 的兩個數為互質數；常見的互質數：相鄰自然數：8 和 9相鄰奇數： 21 和 232 與任意奇數：2 和 15不同的兩個質數：11 和 171 與任意非零自然數：1 和 4當合數不為質數的倍數時,這個合

9、數和這個質數互質:3 和 14公因數只有1 的兩個合數：6 和 25假如幾個數中任意兩個都互質,就說這幾個數兩兩互質：3.5.75.最大公因數與最小公倍數（ 1）定義：最大公因數：幾個數公有的因數叫這幾個數的公因數,其中最大的一個叫做最大公因數,用a ,b 表示；最小公倍數：幾個數公有的倍數叫這幾個數的公倍數,其中最小的一個叫做最小公倍數,用a ,b 表示；（ 2）最大公因數的性質：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結精品學問點幾個數都除以它們的最大公因數,所得的幾個商為互質數；幾個數的最大公因數都為這幾個數的因數；幾個數的公因數,都為這幾個數的最大公因數的因數；幾個數都乘一

10、個自然數m,所得的積的最大公因數等于這幾個數的最大公因數乘m；（ 3）最小公倍數的性質：兩個數的任意公倍數都為它們最小公倍數的倍數；兩個數最大公因數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積；即a , b ×a , b a× b（ 4） 求最大公因數的方法：列舉法短除法分解質因數法：先分解質因數,然后把相同的因數連乘起來；輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除,能夠整除的那個余數,就為所求的最大公因數；（ 5） 求最小公倍數基本方法：列舉法短除法分解質因數法（ 6） 分類求最大公因數和最小公倍數：倍數關系： a 為 b 的倍數, a , b b, a , b a互質關系： a 與

11、b 互質, a , b 1, a ,b a× b一般關系： a 與 b 不互質也不倍數,用短除法；a , b 左側除數連乘積,a , b 除數和商連乘積6.分解質因數的運用：（ 1）求一個數因數的個數列舉法： 2 個一組列舉分解質因數法：分解質因數全部不同質數顯現次數+1 連乘積（指數加1 再相乘）如： 360 23 ×32 × 5, 360 的因數個數： 3+1 ×2+1 × 1+1 4×3× 2 24（個）（ 2）求一個數的全部因數的和步驟：分解質因數全部不同質因數的各種取法之和的連乘積；01201201精品學習資料精選

12、學習資料 - - - 歡迎下載如： 180 22 × 32 × 5, 180 的全部因數之和：2 2 2 ×3 3 3 55 7× 13× 6 546精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1.余數的性質(1) 余數小于除數；二.余數性質與同余問題精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(2) 如 a.b 除以 c 的余數相同,就a-b或b-a可以被 c 整除；(3) a 與 b 的和除以c 的余數等于a 除以 c 的余數加b 除以 c 的余數的和除以c 的余數；（和的余數余數的和）(4

13、) a 與 b 的差除以c 的余數等于a 除以 c 的余數減b 除以 c 的余數的差除以c 的余數；（差的余數余數的差）(5) a 與 b 的積除以c 的余數等于a 除以 c 的余數與b 除以 c 的余數的積除以c 的余數；（積的余數余數的積）2.余數的運算（求余數）1末位判定法：2, 5, 4, 25,8, 125(2) 數字求和法：3, 9各個數位上數字之和除以3 或 9 的余數某數除以3 或 9 的余數；如： 234569；2+3+4+5+6+929,由于 29÷ 9 32,所以 234569÷ 9？2,即 234569 29mod 9(3) 截斷求和法：99,999

14、 及其因數99（ 3.9.11.33）：兩位截斷求和,得到的和除以99 余數,即原數除以99 的余數；999（3. 9.27. 37.111. 333）：三位截斷求和,得到的和除以999 余數,即原數除以999 的余數；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載名師總結精品學問點如： 12345；345+12=357、357 999,所以 12345÷999 余 357；(4) 截斷求差法：從右開頭截斷,奇段和偶段和；11, 101,1001 及其因數7.11.13.77.91.143； 11：一位截斷作差；從右開頭,1 位截斷, 奇數位數字之和-偶數位數字之和 ÷ 1

15、1 的余數 、 即為原數÷ 11 的余數；如不夠減,求出的負數+11；如： 234569；奇數位數字之和3+5+9 17,偶數位數字之和2+4+612, 17-12 5,所以234569÷ 11余 5, 即 234569 5mod 11如： 98,（奇數位8偶數位9） 8-9 -1 , -1+11=10 ,就 98÷11 810,即 98 10mod 11101：兩位截斷作差；從右開頭,2 位截斷, 奇位和 -偶位和 ÷ 101 的余數 、 即為原數÷ 101 的余數；如不夠減,求出的負數+101；1001（ 7.11.13.77.91.143

16、）：三位截斷作差；從右開頭, 3 位截斷, 奇位和 -偶位和 ÷ 1001的余數 、 即為原數÷ 1001 的余數；如不夠減,求出的負數+1001；3.費馬小定理p-1假如 p 為質數, a 為自然數,且a 不能被 p 整除,就a 1mod p ；即：假如a 為自然數, p 為質數,且a、p 互質,那么a 的p-1次方除以p 的余數恒等于1；（ 5-1 ）如： a 為自然數2,p 為質數 5, 2 和 5 互質, 2÷ 5 余 1；a為自然數10,p 為質數3, 10 和 3 互質, 10（3-1 ） ÷ 3 余 1； 4.同余問題（求除數）同余的定義：

17、1如兩個整數a.b 除以 m的余數相同,就稱a.b 對于模 m同余；2已知三個整數a.b. m,假如 m能被 a-b整除,就稱a. b 對于模 m同余,記作a bmod m,讀作 a同余于b 模 m ；5.中國剩余定理（物不知數問題：求被除數） 在一千多年前的孫子算經中有聞名算題：今有物不知其數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二；問物幾何？物不知數問題,又叫孫子問題.韓信點兵問題；方法：最小公倍數法：和同加和,余同加余,差同減差（缺同減缺）；列舉法（逐步滿意條件法）口訣法 僅適應于3.5.7 ：三人同行七十稀,五樹梅花廿一枝；七子團聚正半月,除百零五便得知；口訣法說明 只看數字即可 ：

18、將除以3 的余數乘70,將除以5 的余數乘21,將除以7 的余數乘15,全部加起來后除以105,得到的余數就為答案；步驟： 2× 70+3× 21+2× 15=140+63+30=233, 233÷ 105=223三.完全平方數完全平方數：0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361、400、441、484完全平方數特點：(1) 末位數字只能為：0.1. 4.5.6.9；（個位數字為2.3.7.8 的肯定不為完全平方數）(2) 奇數的平方的個位數字為奇數,十位數字為偶數,如25、49、81 ；（個位數和十位數都為奇數的整數肯定不為完全平方數）(3) 假如完全平方數的十位數字為奇數,就它的個位數字肯定為6；反之,假如完全平方數的個位數字為 6,它的十位數字肯定為奇數；如16、36、196 ,256；（個位數為6,十位數為偶數的肯定不為平方數）(