2015年山東省高考數(shù)學試卷（文科）

1、2015年山東省高考數(shù)學試卷（文科）一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1（5分）已知集合A=x|2x4，B=x|（x1）（x3）0，則AB=（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）2（5分）若復數(shù)z滿足=i，其中i為虛數(shù)單位，則z=（）A1iB1+iC1iD1+i3（5分）設a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，則a，b，c的大小關系（）AabcBacbCbacDbca4（5分）要得到函數(shù)y=sin（4x）的圖象，只需要將函數(shù)y=sin4x的圖象（）個單位A向左平移B向右平移C向左平移D向右平移5（5

2、分）當mN*，命題“若m0，則方程x2+xm=0有實根”的逆否命題是（）A若方程x2+xm=0有實根，則m0B若方程x2+xm=0有實根，則m0C若方程x2+xm=0沒有實根，則m0D若方程x2+xm=0沒有實根，則m06（5分）為比較甲，乙兩地某月14時的氣溫，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)（單位：）制成如圖所示的莖葉圖，考慮以下結(jié)論：甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差；甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差其中根據(jù)莖葉

3、圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的編號為（）ABCD7（5分）在區(qū)間0，2上隨機地取一個數(shù)x，則事件“1log（x+）1”發(fā)生的概率為（）ABCD8（5分）若函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)，則使f（x）3成立的x的取值范圍為（）A（，1）B（1，0）C（0，1）D（1，+）9（5分）已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）ABC2D410（5分）設函數(shù)f（x）=，若f（f（）=4，則b=（）A1BCD二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的x的值為1，則輸出的y的值是 12（5分）若x，y滿足約束條件

4、，則z=x+3y的最大值為 13（5分）過點P（1，）作圓x2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，則= 14（5分）定義運算“”xy=（x，yR，xy0）當x0，y0時，xy+（2y）x的最小值為 15（5分）過雙曲線C：（a0，b0）的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交C于點P若點P的橫坐標為2a，則C的離心率為 三、解答題（共6小題，滿分75分）16（12分）某中學調(diào)查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表：（單位：人）參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230（）從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加一個社團的概率；（）在既參加書法社團又參

5、加演講社團的8名同學中，有5名男同學A1，A2，A3，A4，A5，3名女同學B1，B2，B3現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率17（12分）ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值18（12分）如圖，三棱臺DEFABC中，AB=2DE，G，H分別為AC，BC的中點（1）求證：BD平面FGH；（2）若CFBC，ABBC，求證：平面BCD平面EGH19（12分）已知數(shù)列an是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項和為（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設bn=（an+1）2，求數(shù)列bn的前n

6、項和Tn20（13分）設函數(shù)f（x）=（x+a）lnx，g（x）=已知曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線與直線2xy=0平行（）求a的值；（）是否存在自然數(shù)k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，請說明理由；（）設函數(shù)m（x）=minf（x），g（x）（minp，q表示p，q中的較小值），求m（x）的最大值21（14分）平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：=1（ab0）的離心率為，且點（，）在橢圓C上（）求橢圓C的方程；（）設橢圓E：=1，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線y=kx+m交橢圓E與A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q （）

7、求的值； （）求ABQ面積的最大值2015年山東省高考數(shù)學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1（5分）已知集合A=x|2x4，B=x|（x1）（x3）0，則AB=（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）【分析】求出集合B，然后求解集合的交集【解答】解：B=x|（x1）（x3）0=x|1x3，A=x|2x4，AB=x|2x3=（2，3）故選：C【點評】本題考查集合的交集的求法，考查計算能力2（5分）若復數(shù)z滿足=i，其中i為虛數(shù)單位，則z=（）A1iB1+iC1iD1+i【分析】直接利用復

8、數(shù)的乘除運算法則化簡求解即可【解答】解：=i，則=i（1i）=1+i，可得z=1i故選：A【點評】本題考查復數(shù)的基本運算，基本知識的考查3（5分）設a=0.60.6，b=0.61.5，c=1.50.6，則a，b，c的大小關系（）AabcBacbCbacDbca【分析】利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，可判斷三個式子的大小【解答】解：函數(shù)y=0.6x為減函數(shù)；故a=0.60.6b=0.61.5，函數(shù)y=x0.6在（0，+）上為增函數(shù)；故a=0.60.6c=1.50.6，故bac，故選：C【點評】本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔4（5分）要得到函數(shù)y=sin（4x）的圖象，只需要將

9、函數(shù)y=sin4x的圖象（）個單位A向左平移B向右平移C向左平移D向右平移【分析】直接利用三角函數(shù)的平移原則推出結(jié)果即可【解答】解：因為函數(shù)y=sin（4x）=sin4（x），要得到函數(shù)y=sin（4x）的圖象，只需將函數(shù)y=sin4x的圖象向右平移單位故選：B【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象的平移，值域平移變換中x的系數(shù)是易錯點5（5分）當mN*，命題“若m0，則方程x2+xm=0有實根”的逆否命題是（）A若方程x2+xm=0有實根，則m0B若方程x2+xm=0有實根，則m0C若方程x2+xm=0沒有實根，則m0D若方程x2+xm=0沒有實根，則m0【分析】直接利用逆否命題的定義寫出結(jié)果判斷選

10、項即可【解答】解：由逆否命題的定義可知：當mN*，命題“若m0，則方程x2+xm=0有實根”的逆否命題是：若方程x2+xm=0沒有實根，則m0故選：D【點評】本題考查四種命題的逆否關系，考查基本知識的應用6（5分）為比較甲，乙兩地某月14時的氣溫，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)（單位：）制成如圖所示的莖葉圖，考慮以下結(jié)論：甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差；甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫的標準差其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)

11、論的編號為（）ABCD【分析】由已知的莖葉圖，我們易分析出甲、乙甲，乙兩地某月14時的氣溫抽取的樣本溫度，進而求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、及方差可得答案【解答】解：由莖葉圖中的數(shù)據(jù)，我們可得甲、乙甲，乙兩地某月14時的氣溫抽取的樣本溫度分別為：甲：26，28，29，31，31乙：28，29，30，31，32；可得：甲地該月14時的平均氣溫：（26+28+29+31+31）=29，乙地該月14時的平均氣溫：（28+29+30+31+32）=30，故甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；甲地該月14時溫度的方差為：=（2629）2+（2829）2+（2929）2+（3129）2+（312

12、9）2=3.6乙地該月14時溫度的方差為：=（2830）2+（2930）2+（3030）2+（3130）2+（3230）2=2，故，所以甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該月14時的氣溫標準差故選：B【點評】本題考查數(shù)據(jù)的離散程度與莖葉圖形狀的關系，考查學生的計算能力，屬于基礎題7（5分）在區(qū)間0，2上隨機地取一個數(shù)x，則事件“1log（x+）1”發(fā)生的概率為（）ABCD【分析】先解已知不等式，再利用解得的區(qū)間長度與區(qū)間0，2的長度求比值即得【解答】解：利用幾何概型，其測度為線段的長度1log（x+）1解得0x，0x20x所求的概率為：P=故選：A【點評】本題主要考查了幾何概型，如果每個事件

13、發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型8（5分）若函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)，則使f（x）3成立的x的取值范圍為（）A（，1）B（1，0）C（0，1）D（1，+）【分析】由f（x）為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義可求a，代入即可求解不等式【解答】解：f（x）=是奇函數(shù)，f（x）=f（x）即整理可得，1a2x=a2xa=1，f（x）=f（x）=33=0，整理可得，12x2解可得，0x1故選：C【點評】本題主要考查了奇函數(shù)的定義的應用及分式不等式的求解，屬于基礎試題9（5分）已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)

14、一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）ABC2D4【分析】畫出圖形，根據(jù)圓錐的體積公式直接計算即可【解答】解：如圖為等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體V=2×Sh=2×R2h=2××（）2×=故選：B【點評】本題考查圓錐的體積公式，考查空間想象能力以及計算能力是基礎題10（5分）設函數(shù)f（x）=，若f（f（）=4，則b=（）A1BCD【分析】直接利用分段函數(shù)以及函數(shù)的零點，求解即可【解答】解：函數(shù)f（x）=，若f（f（）=4，可得f（）=4，若，即b，可得，解得b=若，即b，可得，解得b=（舍去）故選：D【點評】本題考查函數(shù)的零點與方程根的關系

15、，函數(shù)值的求法，考查分段函數(shù)的應用二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的x的值為1，則輸出的y的值是13【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出得到的x，y的值，當x=2時不滿足條件x2，計算并輸出y的值為13【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得x=1滿足條件x2，x=2不滿足條件x2，y=13輸出y的值為13故答案為：13【點評】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，屬于基本知識的考查12（5分）若x，y滿足約束條件，則z=x+3y的最大值為7【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，再將目標函數(shù)z=x+3y對應的直線進行平移，可得當x=1且y=2時，z取得

16、最大值【解答】解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的三角形及其內(nèi)部，由可得A（1，2），z=x+3y，將直線進行平移，當l經(jīng)過點A時，目標函數(shù)z達到最大值z最大值=1+2×3=7故答案為：7【點評】本題給出二元一次不等式組，求目標函數(shù)z=x+3y的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識，屬于基礎題13（5分）過點P（1，）作圓x2+y2=1的兩條切線，切點分別為A，B，則=【分析】根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)可求PA=PB，及APB，然后代入向量數(shù)量積的定義可求【解答】解：連接OA，OB，PO則OA=OB=1，PO=，2，OAPA，OBPB，RtPAO中

17、，OA=1，PO=2，PA=OPA=30°，BPA=2OPA=60°=故答案為：【點評】本題主要考查了圓的切線性質(zhì)的應用及平面向量的數(shù)量積的定義的應用，屬于基礎試題14（5分）定義運算“”xy=（x，yR，xy0）當x0，y0時，xy+（2y）x的最小值為【分析】通過新定義可得xy+（2y）x=，利用基本不等式即得結(jié)論【解答】解：xy=，xy+（2y）x=+=，由x0，y0，x2+2y22=xy，當且僅當x=y時等號成立，=，故答案為：【點評】本題以新定義為背景，考查函數(shù)的最值，涉及到基本不等式等知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題15（5分）過雙曲線C：（a0，b0）的右

18、焦點作一條與其漸近線平行的直線，交C于點P若點P的橫坐標為2a，則C的離心率為2+【分析】求出P的坐標，可得直線的斜率，利用條件建立方程，即可得出結(jié)論【解答】解：x=2a時，代入雙曲線方程可得y=±b，取P（2a，b），雙曲線C：（a0，b0）的右焦點作一條與其漸近線平行的直線的斜率為，=e=2+故答案為：2+【點評】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查學生的計算能力，比較基礎三、解答題（共6小題，滿分75分）16（12分）某中學調(diào)查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數(shù)據(jù)如下表：（單位：人）參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230（）從該班隨機選1名同學，

19、求該同學至少參加一個社團的概率；（）在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中，有5名男同學A1，A2，A3，A4，A5，3名女同學B1，B2，B3現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率【分析】（）先判斷出這是一個古典概型，所以求出基本事件總數(shù)，“至少參加一個社團”事件包含的基本事件個數(shù)，從而根據(jù)古典概型的概率計算公式計算即可；（）先求基本事件總數(shù)，即從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，有多少中選法，這個可利用分步計數(shù)原理求解，再求出“A1被選中，而B1未被選中”事件包含的基本事件個數(shù)，這個容易求解，然后根據(jù)古典概型的概率公式計算即可【解答】解：（）

20、設“至少參加一個社團”為事件A；從45名同學中任選一名有45種選法，基本事件數(shù)為45；通過列表可知事件A的基本事件數(shù)為8+2+5=15；這是一個古典概型，P（A）=；（）從5名男同學中任選一個有5種選法，從3名女同學中任選一名有3種選法；從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人的選法有5×3=15，即基本事件總數(shù)為15；設“A1被選中，而B1未被選中”為事件B，顯然事件B包含的基本事件數(shù)為2；這是一個古典概型，【點評】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步計數(shù)原理的應用17（12分）ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=

21、2，求sinA和c的值【分析】利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式以及基本關系式，解方程可得；利用正弦定理解之【解答】解：因為ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，所以sinA+cosA=，結(jié)合平方關系sin2A+cos2A=1，由解得27sin2A6sinA16=0，解得sinA=或者sinA=（舍去）；由正弦定理，由可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，所以a=2c，又ac=2，所以c=1【點評】本題考查了利用三角函數(shù)知識解三角形，用到了兩角和與差的正弦函數(shù)、同角三角函數(shù)的基本關系式

22、、正弦定理等知識18（12分）如圖，三棱臺DEFABC中，AB=2DE，G，H分別為AC，BC的中點（1）求證：BD平面FGH；（2）若CFBC，ABBC，求證：平面BCD平面EGH【分析】（I）證法一：如圖所示，連接DG，CD，設CDGF=M，連接MH由已知可得四邊形CFDG是平行四邊形，DM=MC利用三角形的中位線定理可得：MHBD，可得BD平面FGH；證法二：在三棱臺DEFABC中，AB=2DE，H為BC的中點可得四邊形BHFE為平行四邊形BEHF又GHAB，可得平面FGH平面ABED，即可證明BD平面FGH（II）連接HE，利用三角形中位線定理可得GHAB，于是GHBC可證明EFCH是

23、平行四邊形，可得HEBC因此BC平面EGH，即可證明平面BCD平面EGH【解答】（I）證法一：如圖所示，連接DG，CD，設CDGF=M，連接MH在三棱臺DEFABC中，AB=2DE，G為AC的中點，四邊形CFDG是平行四邊形，DM=MC又BH=HC，MHBD，又BD平面FGH，MH平面FGH，BD平面FGH；證法二：在三棱臺DEFABC中，AB=2DE，H為BC的中點，四邊形BHFE為平行四邊形BEHF在ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，GHAB，又GHHF=H，平面FGH平面ABED，BD平面ABED，BD平面FGH（II）證明：連接HE，G，H分別為AC，BC的中點，GHAB，AB

24、BC，GHBC，又H為BC的中點，EFHC，EF=HC，CFBCEFCH是矩形，CFHECFBC，HEBC又HE，GH平面EGH，HEGH=H，BC平面EGH，又BC平面BCD，平面BCD平面EGH【點評】本題考查了空間線面面面平行與垂直的判定及性質(zhì)定理、三角形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理，考查了空間想象能力、推理能力，屬于中檔題19（12分）已知數(shù)列an是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前n項和為（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設bn=（an+1）2，求數(shù)列bn的前n項和Tn【分析】（1）通過對cn=分離分母，并項相加并利用數(shù)列的前n項和為即得首項和公差，進而可得結(jié)論；（2）通過bn

25、=n4n，寫出Tn、4Tn的表達式，兩式相減后利用等比數(shù)列的求和公式即得結(jié)論【解答】解：（1）設等差數(shù)列an的首項為a1、公差為d，則a10，an=a1+（n1）d，an+1=a1+nd，令cn=，則cn=，c1+c2+cn1+cn=+=，又數(shù)列的前n項和為，a1=1或1（舍），d=2，an=1+2（n1）=2n1；（2）由（1）知bn=（an+1）2=（2n1+1）22n1=n4n，Tn=b1+b2+bn=141+242+n4n，4Tn=142+243+（n1）4n+n4n+1，兩式相減，得3Tn=41+42+4nn4n+1=4n+1，Tn=【點評】本題考查求數(shù)列的通項及求和，利用錯位相減法

26、是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題20（13分）設函數(shù)f（x）=（x+a）lnx，g（x）=已知曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線與直線2xy=0平行（）求a的值；（）是否存在自然數(shù)k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，請說明理由；（）設函數(shù)m（x）=minf（x），g（x）（minp，q表示p，q中的較小值），求m（x）的最大值【分析】（）求出f（x）的導數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件：斜率相等，解方程可得a=1；（）求出f（x）、g（x）的導數(shù)和單調(diào)區(qū)間，最值，由零點存在定理，即可判斷存在k=1；（）由（）

27、求得m（x）的解析式，通過g（x）的最大值，即可得到所求【解答】解：（）函數(shù)f（x）=（x+a）lnx的導數(shù)為f（x）=lnx+1+，曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線斜率為f（1）=1+a，由切線與直線2xy=0平行，則a+1=2，解得a=1；（）由（）可得f（x）=（x+1）lnx，f（x）=lnx+1+，令h（x）=lnx+1+，h（x）=，當x（0，1），h（x）0，h（x）在（0，1）遞減，當x1時，h（x）0，h（x）在（1，+）遞增當x=1時，h（x）min=h（1）=20，即f（x）0，f（x）在（0，+）遞增，即有f（x）在（k，k+1）遞增，g（x）=的導數(shù)為g（x）=，當x（0，2），g（x）0，g（x）在（0，2）遞增，當x2時，g（x）0，g（x）在（2，+）遞減則x=2取得最大值，令T（x）=f（x）g（x）=（x+1）lnx，T（1）=0，T（2）=3ln20，T（x）的導數(shù)為T（x）=lnx+1+，由1x2，通過導數(shù)可得lnx1，即有l(wèi)nx+1+2；ex1+x，可得，可得lnx+1+2+=0，即為T（x）0在（1，2）成立，則T（x）在（1，2）遞增，由零點存在定理可得，存在自然數(shù)k=1，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）內(nèi)存在唯一的根；（