【精品】靜力分析基礎(chǔ)

1、靜力分析基礎(chǔ)本章主要討論剛體在力系作用下的平衡規(guī)律。主要內(nèi)容包括物體的受力分析、力系的簡 化、力系平衡條件及應(yīng)用等。其中，恰當(dāng)?shù)剡x取研究對彖，正確地畫出物體受力圖，是解決 力學(xué)問題的關(guān)鍵步驟。2.1靜力分析基木概念2.1.1基本概念1 平衡在靜力學(xué)中，把物體相對于地面保持i掙止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)稱為物體的平衡狀態(tài)。2. 力和力系力是物體間相互的機(jī)械作用，這種作用使物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或形狀發(fā)牛改變。力使物體運(yùn)動(dòng) 狀態(tài)發(fā)生改變的效應(yīng)稱為外效應(yīng)，使物體形狀發(fā)生改變的效應(yīng)稱為內(nèi)效應(yīng)。木章只研究外效 應(yīng)，內(nèi)效應(yīng)在第3章屮研究。實(shí)踐表明，力對物體的作用效果収決于力的大小、方向和作用點(diǎn)三個(gè)要素。當(dāng)這三個(gè)要 素

2、中任何一個(gè)要素發(fā)生改變時(shí)，力的作用效果就會(huì)發(fā)生改變。圖2-1力的矢量表示力是一個(gè)既有人小又有方向的量，故用矢量表示。如圖21所示， 通常川一按比例畫的帶箭頭的有向線段來表示力矢量，線段的長度按 一定比例表示力的大小，線段所在的直線和箭頭的指向表示力的方向， 冇向線段的起點(diǎn)或終點(diǎn)表示力的作用點(diǎn)。力矢雖用粗黑體大寫英文字 母表示，如f、p. g等。若非粗黑體人寫英文字母則只表示力的人小。力系是指作用于被研究物體上的一組力。如果一個(gè)力系能使物體 處于平衡狀態(tài)，則稱該力系為平衡力系；若兩力系分別作用于同一物體時(shí)效應(yīng)相同，則二者互稱等效力系；若一個(gè)力與一個(gè)力系等效，則稱此力為該力系的合力。所謂力系的簡化

3、就是用簡單的力系等效替代復(fù)朵的力系。在國際標(biāo)準(zhǔn)計(jì)量單位中，力的單位是牛頓（n）,還常用千牛頓（kn）, lkn= 1 000no3. 剛體剛體是指在力的作用卜不會(huì)變形的物體，即在力的作用下，物體內(nèi)任意兩點(diǎn)間距離都不會(huì)改變的物體。剛體是一種抽彖化的力學(xué)模型，靜力學(xué)主耍討論的對彖是剛體。2.1.2靜力學(xué)基本公理靜力學(xué)基木公理是人們在生活和生產(chǎn)實(shí)踐中經(jīng)過反復(fù)觀察和實(shí)踐得出的結(jié)論。靜力學(xué)的 全部理論，就是以靜力學(xué)公理為依據(jù)推導(dǎo)出來的；靜力學(xué)公理是靜力學(xué)的理論基礎(chǔ)。1. 二力平衡公理作用于同一剛體上的兩個(gè)力，使剛體處于平衡的必要且充分條件，是這兩個(gè)力的大小相 等，方向相反，作用線重合(簡稱等值、反向、共

4、線)，如圖22所示。圖2-2二力平衡條件此公理適用于“剛體”，是力系平衡的理論基礎(chǔ)。對非剛體而言，二力平衡條件只是必要 條件，而不是充分條件，如繩索一類的柔性體，當(dāng)受等值、反向、共線的兩個(gè)拉力作用時(shí)， 處于平衡狀態(tài)，但受兩個(gè)等值、反向、共線的壓力作用吋，就不能平衡。只受兩個(gè)力作用而處于平衡的構(gòu)件，稱為二力構(gòu)件，當(dāng)構(gòu)件為桿件時(shí)則稱為二力桿。二 力桿的受力特點(diǎn)是二力的作用線必定沿著兩作用點(diǎn)的連線。2. 加減平衡力系公理在已知力系上加上或減去任意一個(gè)平衡力系，不會(huì)改變原力系對物體的作用效果。此公 理適用于“剛體”，是力系簡化的理論基礎(chǔ)。推論力的可傳性原理：作用在剛體上的力，其作用點(diǎn)可以沿著作用線在剛

5、體內(nèi)任意 移動(dòng)而不改變它對剛體的作用效果。圖2-3力的可傳性在實(shí)踐屮，人們有這樣的體會(huì)，以等罐的力在車示力點(diǎn)推 和在車前3點(diǎn)拉，效果是一樣的，如圖23所示。由力的可傳性原理看出，對剛體來說，力的作用點(diǎn)已不再 是決定其效應(yīng)的要素乙一，而由力的作用線取代，因此作用在 剛體上的力的三要索是力的大小、方向和作用線。但必須注意, 力的可傳性原理只適用于剛體，而不適用于變形體。3. 力的平行四邊形公理作用在剛體上的兩個(gè)匯交力可合成為一個(gè)合力，合力的作用點(diǎn)在二力的匯交點(diǎn)，合力的 大小和方向由以此二力為鄰邊所構(gòu)成的平行四邊形的對角線矢量表示，如圖24 (a)所示。 此公理是研究力系合成和力分解的基礎(chǔ)。根據(jù)這個(gè)

6、公理所作出的平行四邊形，稱為力的平行四邊形。這種求合力的方法，稱為力 的平行四邊形法則。兩個(gè)力的合成不是簡單的地代數(shù)和，而是要用平行四邊形法則求幾何和，即欠量和。力 的平行四邊形法則還可用矢量式表示為r = ff2。由圖2-4 (b)可見，求合力r時(shí)，實(shí)際 上不必作出整個(gè)平行四邊形，只耍以力fi (m)的末端b作為八(bd)的始端畫出f2 (即 兩分力首尾相接)，那么矢量就代表合力合力和分力所構(gòu)成的三角形稱為力三角形；用力三角形求兩力合力的方法，稱為力三角形法。ri)(b)b圖24力的平行四邊形法則在工程中，通常是將一個(gè)已知力分解為兩個(gè)相互垂直的分力，或用兩個(gè)相互垂直的分力 來表示一個(gè)方向不定

7、的未知力，且一般選這兩個(gè)分力沿坐標(biāo)軸方向，如圖2-4 (c)所示。 可用矢量式表示為f = fx fyof、fx、",之間的關(guān)系式為(2-1)f 十+ f； fx =fcosa fv = fsina應(yīng)用上述力的基木性質(zhì)，可以推導(dǎo)出三力平衡匯交定理：如果物體在三個(gè)不平行的共面 力作用下處于平衡時(shí)，則這三個(gè)力的作用線必匯交于一點(diǎn)。若物體受三個(gè)互不平行的共而力作用而平衡，則根據(jù)三力平衡匯交定理，通常只耍已知 兩個(gè)力的方向，第三個(gè)力的方向便可推知。在解力系平衡問題時(shí)，常可利用這個(gè)定理確定未 知力的方向。4. 作用與反作用公理/(b)圖25作用力與反作用力個(gè)物體對另一個(gè)物體有一作用力時(shí)，另一物

8、體 對此物體必有一反作用力，這兩個(gè)力大小相等，方向 相反，沿同一直線分別作用在兩個(gè)物體上。如圖2-5(b) 所示，n和即為一對作用力和反作用力，我們常用 加“撇”的方法來表示一對作用力和反作用力。應(yīng)當(dāng)注意，作用力和反作用力是分別作用在兩個(gè)不同的物體上的，因此，盡管二者大小 相等，方向相反，沿同一作用線，但不能相互平衡，即它們不是一對平衡力。二力平衡條件 中的-對平衡力是作用在同一物體上的等值、反向的共線力。2.2受力分析2.2.1約束與約束反力在工程屮，構(gòu)件總是以一定的形式與周用其他構(gòu)件相互連接的，例如轉(zhuǎn)軸受到軸承的限制，只能產(chǎn)生繞軸心的轉(zhuǎn)動(dòng)；列年受到鋼軌的限制，只能沿軌道運(yùn)動(dòng)等。這種限制物體

9、某些 運(yùn)動(dòng)的周圍其他物體，稱為約束。上面提到的軸承就是轉(zhuǎn)軸的約束，鋼軌就是列車的約束。物體的受力可分為主動(dòng)力和約束反力兩類。主動(dòng)力是指使物體產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢的力, 如物體的重力、零件的載荷等；約束反力是對物體運(yùn)動(dòng)起限制作用的力，作用在被約束物體 上。由于約束的作用是限制物體的運(yùn)動(dòng)，所以約束反力的方向總是與它限制的物體運(yùn)動(dòng)方向 相反，其作用點(diǎn)在約束與被約束物體相互連接或接觸z處。約束反力也常稱為約束力。工程中約束的種類很多，下而介紹兒種典型的 約束模型。1. 柔性約束rti細(xì)索、鏈條或皮帶等非剛性物體所構(gòu)成的約 朿稱為柔性約束。這些物體只能受拉不能受壓，約 束反力作用于連接點(diǎn)，方向沿著中心線而

10、背離被約 束物體。約束反力符號(hào)通常用字母卩來表示。如圖 2-6中繩索對物體的約束反力口和r2o2. 光滑面約束當(dāng)兩物體直接接觸j1表而光滑，接觸處摩擦力很小可略左不計(jì)時(shí)所形成的約束稱為光滑 而約束。這種約束不能限制物體沿約束表而切線方向的位移，只能限制物體沿接觸而法線并 指向約束內(nèi)部的位移。因此，其約束反力必通過接觸點(diǎn)，沿著接觸而在該點(diǎn)的公法線方向并 指向物體。這類約束反力稱為法向反力，通常用字母n表示，如圖27所示。圖2-7光滑血約束3. 光滑圓柱狡鏈約束兩個(gè)帶有圓孔的物體，用光滑圓柱形銷釘連接所形成的約束稱為光滑錢鏈約束。如圖 2-8 (a)所示,物體/和b的運(yùn)動(dòng)受到銷釘c的限制，只能轉(zhuǎn)動(dòng)

11、不能移動(dòng)。0 2-8 (b)所示 的連桿與曲柄銷連接(昇處)，連桿與活塞銷連接(b處)，都是較鏈連接。這類約束由于銷 釘與物體的圓孔表而都是光滑的，而兩者z間又總有間隙，物體受主動(dòng)力后形成線接觸點(diǎn)k, 根據(jù)光滑面約束的特點(diǎn)，銷釘對物體的約束反力應(yīng)沿著接觸點(diǎn)k處的公法線通過物體圜孔中 心(即餃鏈屮心)。但因?yàn)榻佑|點(diǎn)不能預(yù)先確定，所以約束反力的方向也不能預(yù)先確定。畫約 朿反力時(shí)，通常用兩個(gè)通過較鏈中心且互相垂直的分力來表示，如圖28 (c)所示。圖28光滑例柱較鏈約束(£)根據(jù)被連接物體的形狀、位置及作用，光滑圓柱較鏈約束乂分為以下兒種：中間餃鏈約 束,如圖29 (a)；固定較鏈約束,如

12、圖29 (b)所示;活動(dòng)較鏈約束,如圖29 (c)所示。 屮間較鏈約束和固定較鏈約束其約束反力通常用通過較鏈屮心的兩個(gè)互和垂肓的分力來表 示。活動(dòng)餃鏈約束由于支座底部安放了滾了，只能限制物體沿支承面垂直方向的位移，不能 限制物體沿支承面的運(yùn)動(dòng)和繞銷釘軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，活動(dòng)絞鏈約束的約束反力通過銷釘中 心，垂直于支承面，指向不定。(a) .(b)(c)圖29惻柱餃鏈約束的類型4. 固定端約束物體的一部分固嵌于另一物體所構(gòu)成的約束稱為固定端約束。如圖2-10 (a)所示的固 定于車床刀架上的刀具、圖210 (b)所示的r盤上的工件等都屬于這種約束。同定端約束的構(gòu)件可以用-端插入剛體內(nèi)的懸臂梁來表示

13、，這種約束限制物體沿任何方 向的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，其約束作用包括限制移動(dòng)的兩個(gè)正交約束反力和限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束反力偶， 如圖2-11所示。力偶的概念在2.3節(jié)介紹。7圖2j1固定端約束反力圖 2-10固定端約束的例/222受力分析與受力圖解決力學(xué)問題時(shí)，首先要選定需要進(jìn)行研究的物體，即確定研究對象；然后考察分析它 的受力情況，這個(gè)過程稱為受力分析°為了清晰和便于計(jì)算，將研究対象的約束全部解除， 并把它從周圍的物體中分離出來，畫出其簡圖，這種被解除了約束的物體稱為分離體；在分 離體上畫上物體所受的全部主動(dòng)力和約束力，所得到的圖形稱為分離體的受力圖。受力圖形 象地表達(dá)了被研究對象的受力情況。恰當(dāng)?shù)?/p>

14、選取研究對象，正確地畫出受力圖，是解決力學(xué)問題的關(guān)鍵步驟。畫受力圖的步 驟如下。(1) 確定研究對彖，取分離體：根據(jù)問題的己知條件和題意要求確定研究對彖，畫出其 簡單輪廓圖形。研究對彖可以是一個(gè)物體、幾個(gè)物體的組合或整個(gè)物體系統(tǒng)。(2) 畫主動(dòng)力：在分離體上畫出該物體所受的全部主動(dòng)力，如重力、風(fēng)載、水壓力、油 壓等。(3) 畫約束反力：在解除約束的位置，根據(jù)約束類型及其特性畫出約束反力，要注意二 力桿約束反力的方向確定。物體間的相互約束力要符合作用和反作用公理。例21如圖212 (a)所示，鍋爐汽包的重力為g,安置在焊接轉(zhuǎn)輪上，試畫出汽包的 受力圖。解：取汽包為研究對象，單獨(dú)畫出其簡圖。畫出主

15、動(dòng)力：汽包的重力g,方向豎在向下。畫約束反力：轉(zhuǎn)輪可看作汽包的光滑面約束，約束反力na、nb沿接觸中心的公法線方 向,均指向o點(diǎn),如圖212 (b)所示。圖2-12鍋爐汽包受力圖例2-2如圖2-13 (a)所示，設(shè)墻面和地面是光滑的，桿ab重為g,由水平繩索ed 拉住，試畫力3的受力圖。解：取桿力3為研究對象，單獨(dú)畫出其簡圖。畫主動(dòng)力：力的重力g,方向豎直向下。畫約束反力：墻面和地面可看作是光滑面約束，約束反力m、沿接觸點(diǎn)的公法線方 向，分別過/、3兩點(diǎn)，指向研究對象；ed是柔性約束，約束反力”沿繩索中心線方向， 背離研究對彖。ab受力圖如圖213 (b)所示。例23如圖214 (a)所示，a

16、. b、c三處均為較鏈，較鏈b受f力作用，試畫曲桿、 bc桿、較鏈b的受力圖。解：(1) ab桿，畫出其簡圖(錢鏈力、b以小圓圈畫出)。由于曲構(gòu)件是二力桿(兩端 是餃鏈，中間不受力)，心、人加的方向是確定的，沿m連線方向，按受拉(假定)確定指 向。如圖214 (b)所示為受力圖。(2) bc桿，同理畫出其受力圖，如圖214 (b)所示。 .(b)圖214仙桿、bc桿、餃鏈3的受力圖(3)錢鏈3,畫出其簡圖(較鏈以小圓圈畫出)。主動(dòng)力為f。約束反力有兩個(gè)，即r爲(wèi) 和r；八分別與r肋和局。是作用力和反作用力)。如圖214 (b)所示。例24如圖215 (a)所示，曲柄滑塊機(jī)構(gòu)處于平衡狀態(tài),a. b

17、、c處均為較鏈,滑塊 c放在光滑的滑道中，試畫曲柄m3、滑塊c的受力圖。解:(1)對畫出其簡圖(錢鏈3以小闘圈血出)。先畫上主動(dòng)力p,再畫約束 反力，力處為固定餃璉約束，約束反力方向不定，也兩個(gè)相互垂直的分力尺般、人(假定沿 x、y軸的正方向)。由于構(gòu)件是二力桿，尺肚方向是確定的，沿& c連線方向，指向如 812-15 (b)所示。(2)對滑塊c,畫出其簡圖(較鏈c以小圓圈畫出)。先畫上主動(dòng)力f,再畫約束反力, 方向是確定的(r肚和雖不是作用力和反作用力，但也有等值、反向、共線的特點(diǎn)， 分別作用在兩個(gè)物體上，故也用加撇的方法來表示)；滑道對滑塊c形成光滑面約束，約束 反力n垂直向上，如

18、圖215 (b)所示。(b)圖215關(guān)柄滑塊機(jī)構(gòu)中曲柄及滑塊受力圖2.3平面力系平而力系是指各力作用線處在同一平而內(nèi)的力系。若力系中各力作用線在同一平而內(nèi)， h匯交于一點(diǎn)，稱為平面匯交力系；若各力作用線在同一平面內(nèi)相互平行，稱為平面平行力 系；若在同一平面內(nèi)作用著若干力偶，稱為平而力偶系；若各力共而但不匯交于一點(diǎn)，也不 互相平行，則稱為平面任意力系。2.3.1力在坐標(biāo)軸上的投影、力對點(diǎn)之矩和力偶1. 力在直角坐標(biāo)軸上的投影如圖216所示，設(shè)在直角坐標(biāo)系中，a為力矢量f與x軸的夾角(取銳角)。由f 力的兩端點(diǎn)分別作x軸、尹軸的垂線，得兩垂足之間的線段、必'，兩線段再冠以相應(yīng)的正 負(fù)號(hào)，分

19、別稱為力f在兀軸和尹軸上的投影，分別用幾、耳表示。力在坐標(biāo)軸上的投影是個(gè) 代數(shù)量，其正負(fù)號(hào)規(guī)定是由力矢聚起點(diǎn)垂足到終點(diǎn)垂足的方向與坐標(biāo)軸的正方向一致時(shí)為正, 反之為負(fù)。yb f* ui | 。a9ff1-bb9(b)圖2j6力在直角處標(biāo)軸上的投影力的投影與力的人小和方向有關(guān)，由圖2-16可知：fr = ±/?cosaz 、(2-2)fv = ±fsina若己知力在處標(biāo)軸上的投影，也可求出力的大小和方向。f = jf； + f；f(2-3)tana= 力f的指向由丘與竹的正負(fù)號(hào)確定。2. 力對點(diǎn)之矩人用扳手?jǐn)Q螺母，會(huì)感到加在扳于上的力越大，或者力的作用線離轉(zhuǎn)動(dòng)中心越遠(yuǎn)，就越容

20、易轉(zhuǎn)動(dòng)螺母，如圖217所示。龜匚圖 2-17力f使剛體繞某點(diǎn)0轉(zhuǎn)動(dòng)的效應(yīng)，不僅與力f的大小成正比，而且與0點(diǎn)到力作用線 的垂直距離d成正比。乘積fxd加上正負(fù)號(hào)，稱為力f對0點(diǎn)的矩，簡稱力矩。規(guī)定力使 剛體繞矩心逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，力矩為正；反之為負(fù)。mo(f) = ± f x j(2-4)圖217中0點(diǎn)稱為力矩中心,簡稱矩心;矩心0到力f作用線的垂直距離d稱為力臂。 必須注意：力短少矩心有關(guān)。在計(jì)算力矩時(shí)，若力臂不易求出，常用合力矩定理計(jì)算力矩。合力矩定理：由于合力與相應(yīng)的力系等效，所以，合力對平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中 各分力對同一點(diǎn)力矩的代數(shù)和，這就是合力矩定理。用公式表示為mo(

21、r) = mg + mo(f2) + + mo(fn) = l mo(f)(2-5)當(dāng)力矩的力臂不易求出時(shí)，常應(yīng)用該定理將一個(gè)力分解為兩個(gè)力臂容易確定的分力(通 常是正交分解)，然后用兩分力對點(diǎn)之矩的代數(shù)和表示這一個(gè)力對該點(diǎn)的矩。在國際單位制中，力矩的單位為牛頓米(nm)o例2“5如圖218所示，求力f對o點(diǎn)的矩。解：將力f分解為兩個(gè)互垂分力只和尸2,如圖218所示，由合力矩定理得mo(f) = mo (f) + m()(f2) = fih + f2a=fb sin i + fa cos 03. 力偶、力偶矩和平面力偶系作用在同一個(gè)物體上的兩個(gè)力，如果大小相等、方向相反、作用線互相平行但不重合

22、， 則把這樣的兩個(gè)力作為一個(gè)整體，稱為力偶。力偶對物體產(chǎn)牛的是純轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。例如用雙手 轉(zhuǎn)動(dòng)汽車方向盤，用手指旋開水龍頭等，均是常見的力偶實(shí)例。力偶中兩力作用線所決定的 平面稱為力偶作用面，兩丿j作用線z間的距離d稱為力偶臂，如圖219所示。圖2-19力偶實(shí)踐證明，力偶對物體的作用效果，與力f的大小成正比，又與力偶臂d的長度成丄e比。 在力學(xué)屮，用f與d的乘積再冠以相應(yīng)的正負(fù)號(hào)，作為力偶在其作用面內(nèi)使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效 應(yīng)的度量，稱為力偶矩，記作加(f, f9或加。m(f, f) = tn = ± fd(2-6)式中，“土”表示力偶的轉(zhuǎn)向，規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。力偶矩的單位與力矩的

23、單位 相同。力偶是兩個(gè)具有特殊關(guān)系的力的組合，雖然力偶中的每個(gè)力仍具有一般力的性質(zhì)，但在 作為一個(gè)整體考慮它們對剛體的作用時(shí)，則出現(xiàn)了與單個(gè)力不同的性質(zhì)，力偶具有如下特性。(1) 力偶既沒有合力，本身乂不平衡，是一個(gè)基本的力學(xué)量。(2) 力偶對于作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩與矩心位置無關(guān)，恒等于力偶矩，因此，力偶對物體 的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力偶矩度量，在平面問題中它是個(gè)代數(shù)量。在圖219中，在力偶(f, f)的作用面內(nèi)任取o點(diǎn)為矩心，設(shè)o點(diǎn)與f的距離為x, 則力偶對o點(diǎn)的矩為mo (f, ) = m。(f) +(f) = f(x + c/) - f； = fd此結(jié)果表明，力偶對物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)只與力偶矩的大小和轉(zhuǎn)

24、向有關(guān)，與矩心位置無關(guān)。(3) 作用在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，若其力偶矩大小和等，轉(zhuǎn)向相同，則這兩個(gè)力偶 等效。由上述力偶的性質(zhì)可知，只要保持力偶矩的人小和轉(zhuǎn)向不變，平面力偶可以在其作用面 內(nèi)任意移動(dòng)，且可以同時(shí)改變力偶中力的人小和力偶臂的長短，而不改變其作用效應(yīng)。力偶 可以用帶箭頭的弧線表示，如圖2-20所示。圖2-20平而力偶的等效處理作川在剛體同一平面的若十個(gè)力偶稱為平面力偶系。利用平面力偶的等效條件，可將平而力偶系中各力偶用一個(gè)等效力偶來代替，這個(gè)力偶就是平面力偶系的合力偶。顯然，合力 偶的力偶矩等于力偶系中各分力偶矩的代數(shù)和，即陽1 + +(2-7)式中，m為合力偶的力偶矩，簡稱合力偶

25、矩。若物體在平面力偶系的作用下處于平衡狀態(tài)，則合力偶矩必為零。因此，平面力偶系的 平衡條件是各力偶矩的代數(shù)和等于零，即刀加=02.3.2平面匯交力系的合成與平衡平面匯交力系是工程屮常見的一種比較簡單的力系。1. 平面匯交力系的合成平而匯交力系的合成方法有幾何法和解析法兩種。(1)平而匯交力系合成的兒何法：如圖2-21 (a)所示的某物體上，作用著一個(gè)平而匯 交力系風(fēng)、尸2、巧，欲求它們的合力，只需連續(xù)運(yùn)用三角形法則。如圖2-21 (b)所示，先 將力尺與尸2合成，得到乩2，然后再將川2與尸3合成，得合力乩r就是力系只、f2. f5 的合力。由圖221 (b)可知,中間矢量從2不必作出,只需將已

26、知力矢沿環(huán)繞多邊形邊界的同一 方向首尾相接構(gòu)成折線，而合力矢r則沿多邊形相反方向連接折線的缺口，這樣只盂作出分 力矢與合力矢構(gòu)成的力多邊形就可求出合力。這種用力多邊形求合力的方法稱為力多邊形法, 即幾何法。圖2-21平面匯交力系合成的兒何法上述作圖求合力的方法可推廣到由個(gè)力組成的平血匯交力系，并得出結(jié)論：平面匯交 力系的合力等于力系小各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點(diǎn)。用矢量式表示：r = fl + f2+ - + fn= ef(2-8)(2)平面匯交力系合成的解析法：設(shè)有一平面匯交力系只、八、凡匯交于/點(diǎn)，如圖2-22 (a)所示，為求該力系合力的投影，先畫力多邊形求出合力乩 如圖222

27、 (b)所示。圖2-22平面匯交力系合成的解析法(c)在力多邊形所在平面內(nèi)取直角坐標(biāo)系x0,將力系的合力r及各分力只、f2.形分別向 x、軸投影，得 &、r、fz fl、fh、fy、fqy、fiyo rx = ad, fx = abt fzx= be, fx = _cd, 由圖 222 (b)可知 ad = ab + be + cd),即rx = fix +忌+心二工八同理ry = fy + f2y + f3y="fy(2-9)即合力在某一軸上的投影，等于力系中各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，這就是合力投 影定理。根據(jù)合力投影定理，分別求出各力在x軸和7軸上投影的代數(shù)和他、ry

28、,然后參照 公式(2-3)即可求出合力的大小和方向，如圖222 (c)所示。即：tan(7 =bl(2-10)合力指向由工&和工竹，的e負(fù)號(hào)確定。2. 平面匯交力系的平衡平血匯交力系的平衡條件是合力等于零。(1) 平面匯交力系平衡的幾何條件平面匯交力系平衡的幾何條件是力系屮各力構(gòu)成的力多邊形自行封閉。即用幾何法求平 面匯交力系合力時(shí)，第一個(gè)力矢和最后一個(gè)力矢首尾相接，力多邊形白行封閉，無缺口，力 系合力為零。即r=hf = 0(2) 平面匯交力系平衡的解析條件由求平面匯交力系合力的解析法可知，當(dāng)合力為零時(shí)，則有：r = j r： + 代珂(工 fj + (工 fj = 0(2-11)z

29、=omo上式稱為平而匯交力系的平衡方程。該平衡方程說明，平而匯交力系平衡的解析條件是 力系中各分力在兩個(gè)絕標(biāo)軸上投影的代數(shù)和都等于零。一個(gè)剛體受平而匯交力系作用而平衡 時(shí)，最多可求解兩個(gè)未知最，通常未知最就是約束反力的人小和方向。反力指向不好確定時(shí), 可先假設(shè)。根據(jù)平衡方程計(jì)算結(jié)果為匕 則表示所假設(shè)指向是止確的；若結(jié)果為負(fù)，則表示 力的指向與假設(shè)的指向相反。例26如圖223 (a)所示，簡易起重機(jī)由桿、3c桿、滑輪3及絞車d組成，a. b、c三處均為較鏈。已知重物重力g = 20kn,不計(jì)桿件自重，忽略摩擦和滑輪的人小自重, 試求平衡時(shí)ab桿和bc桿所受的力。解：取滑輪b為研究對象，畫其受力圖

30、如圖223 (b)所示。作用在滑輪b上的力有重 力g、鋼索的拉力t (t=g),以及二力桿3c的約束反力rab、rrc。這些力構(gòu)成 一個(gè)平面匯交力系。為了求解方便，選圖示坐標(biāo)軸。簡易起重機(jī)心+皿60。+ 論30。= 0 嘰 + t sin 60。- g sin 30。= 0又 7=g = 20kn解得心p=27.32kn心=7.32kn負(fù)號(hào)說明該力的實(shí)際指向與圖示方向相反，即兩桿實(shí)際受壓。2.3.3平面任意力系的簡化與平衡1.力的平移定理力的平移定理探討的是把作用在剛體上的一個(gè)力，從其原位置平行移動(dòng)到該剛體上的另 一位置，且要保持作用效果不變。如圖224所示，設(shè)力f作用在剛體的力點(diǎn)，根據(jù)加減平

31、衡力系公理，在任一點(diǎn)b加一 對平衡力f和且使f = f” = f,由于f和“兩力構(gòu)成一個(gè)力偶，其力偶矩恰好等于 原力f對b點(diǎn)的矩,即= mr(f) = fd。= 所以，力f即平移到了 3點(diǎn)，但附加了一個(gè)由力f和"組成的力偶。rti此得到力的平移定理：作用于剛體上的力，均可從原來的位置平行移到剛體內(nèi)任一指 定點(diǎn)；欲不改變力對剛體的作用，則必須附加一個(gè)力偶，附加力偶的力偶矩等于原力對指定 點(diǎn)的力矩。2.平面任意力系的簡化平面任意力系向平面內(nèi)任一點(diǎn)的簡化，就是找到一個(gè)最簡單的力系來等效代替已知的平 面任意力系。下面通過一個(gè)例了，說明平面任意力系簡化的一般步驟。圖225 (a)所示為一平面任

32、意力系只、f2. f3,在該力系作用面內(nèi)任選一點(diǎn)0作為簡 化中心。首先，應(yīng)用力的平移定理，將各個(gè)力都平移到o點(diǎn)，這樣在簡化中心處得到一個(gè)平 面匯交力系和一個(gè)附加的平面力偶系“、加2、加3，如圖2-25 (b)所示，且 如=mo(fj, 加 2 = mo02),加 3 = mo(f3)。然后將平面匯交力系合成得一個(gè)合力，稱為原力系的主矢，以尺。表示，如圖2-25 (c) 所示。可見心的大小與方向和簡化中心的位置無關(guān)，即ro=f + f2 + f3= ef；將附加的平 面力偶系簡化得一個(gè)合力偶，稱為原力系的主矩，以表示，如圖225 (c)所示。主矩mo 的大小等于原力系中各力対簡化中心之矩的代數(shù)和

33、，即mo = wi +牝+加3 = ew = emo(f)o顯然，主矩隨簡化中心位置的不同而變化；但是，當(dāng)主矢心等于零時(shí)，主矩將與簡 化中心無關(guān)。3. 平面任意力系的平衡條件當(dāng)物體在平面任意力系作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，即力系既不會(huì)使物體移動(dòng)，也不會(huì)使物 體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，則主矢人。和主矩必須都等于零，即有：mo= zmo(f) = 0(2-12)11=0相當(dāng)于¥=0該式就是平面任意力系的平衡條件，也稱為平衡方程。如果作用于物體的是平面平行力系(即平面力系中各力的作用線互相平行)，可選取一個(gè)坐 標(biāo)軸與各力垂直。假如令x軸與各力垂直，則xf嚴(yán)0為恒等式，只剩下zfy = 0和xm()(f) = 0

34、 兩個(gè)平衡方程式，即(2-13)對于平面匯交力系，若取各力的匯交點(diǎn)為簡化中心，則工m°(f) = 0為恒等式，故平而 匯交力系的平衡方程只冇efv = 0和工fy = 0兩式，即(2-14)對于平而力偶系，不可能合成一個(gè)力，故zf嚴(yán)0和為f嚴(yán)0兩式均為恒等式，則只剩下 一個(gè)平衡方程刀= 即工？ = 0(2-15)例27簡易懸臂吊車示意圖如圖2-26 (a)所示,已知橫梁曲長6m,自重w=4kn, 拉桿bc傾斜角2=30。，電動(dòng)葫蘆連同重物共重g=10kn,求圖示位置吋拉桿bc所受力及 餃鏈/的約束反力。(a)解：(1)選m為研究對彖，畫肋的受力圖，如圖226 (b)所示，并選兀投影軸

35、。(2)列平衡方程工代=0rti 平.=0胚")=0心-他c cos 0 = 0即尺仃”一g + r%.sina = 0rbc sin(7x6-x3-gx4 = 0解得 rlic =17.33kn, rlx =15kn, rtv = 5.33kn例28電線桿如圖227 (a)所示，/端埋在地下，b端受導(dǎo)線拉力f,= 15kn,它與水 平線的夾角a=5°,在c點(diǎn)受鋼索拉力f2= 18kn,與垂線的夾角0 =45。求電線桿/端所受 的約束反力(廣義)。解：(1)選電線桿為研究對彖，畫電線桿的受力圖，如圖227 (b)所示，并選卩投影 軸。力端為固定端約束，其約束反力由心、r、,

36、、必三個(gè)量構(gòu)成。(2)列平衡方程xfv=0由 zfv.=0za/f) = 0r、+ f cos a- 7s sin /? = 0 即 < 尺一片sina-/cos0 = o-f cos(7x84-/ssin/?x54-ma =0解得 rit =-2.2kn, rl =14kn, m” =55.9kn m例29圖2-28 (a)所示簡支梁，己知梁m所受已知力q = 1.5kn/m (稱為均布載荷), w=100kn,梁的跨度厶=12m, d = 3im求/、b兩支座處的約束反力。川川川川川il一laq(a)川川川川川hi(b)解：(1)選m為研究對彖，畫 肋的受力圖，如圖228 (b)所示

37、。由于全部主動(dòng)力為 橫向外力，由此可知固定餃鏈/只冇豎直方向反力而活動(dòng)較鏈b約束反力方向也是 垂直的，故此力系為平面平行力系，只有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程。(2)列平衡方程。均布載荷相當(dāng)于一組均勻分布的小平行力。由力的簡化原理，可知均 布載荷與作用于其分布長度中點(diǎn)的一個(gè)力等效，其大小等于載荷集度乘以分布長度，方向與 均布載荷方向相同，均布載荷的投影和力矩的計(jì)算町按此力進(jìn)行，但在受力圖上一般不畫此 力，仍按均布載荷的原樣畫出。由 xma(f) = 0-qlx-"(厶一g) + n厶=02= 0ra-ql-w + nb=0解得 ra = 34knnr= 84kn例2-10曲柄滑塊機(jī)構(gòu)如圖2-2

38、9 (a)所示。設(shè)曲柄ob在水平位置吋機(jī)構(gòu)平衡，滑塊所 受工作阻力為f。已知l, ob =,不計(jì)滑塊和桿件白重。試求作用于曲柄上的力偶矩 m和支座。處的約束反力。解：這是一個(gè)由若干個(gè)物體以一定的約束方式組合的物系。在求解這類平衡問題時(shí)，既 可選擇整個(gè)物系為研究對象，也可選擇某一局部的兒個(gè)物體或單個(gè)物體為研究對象，作用于 研究對象上的力系都滿足平衡方程，所有未知力也均可以通過平衡方程求得。對于本例題中的這類運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，可按照力的傳遞順序，依次取研究對象。本題中，連桿 力3為二力桿，可先取滑塊/為研究對彖，求出連桿mb的約束反力后，再取曲柄03為研究 對象。(1)首先取滑塊/為研究對象，畫受力圖，如

39、2-29 (b)所示?；瑝K受平而匯交力系作 用，由平衡方程：解得rf 一 rcos a = 0f.<b)圖229曲柄滑塊機(jī)構(gòu).(c)(2)以|11|柄03為研究對象,畫受力圖,如229 (c)所示。曲柄受平面任意力系作用,列平衡方程:為巴=0,心-驗(yàn)sina = 0工& =0,心 +殮 cosg = 0工 m°(f) = 0, m - r'ab cos a ob = 0其中解得©_ 口 r_ y!l3 -r2rb r/、b 9 sin(x , cos ex 厶厶r； = r；b sin a = / ., , rov = -r；b cos a = -fy

40、ll3-r2m = rb cos a ob = f r2.4考慮摩擦的平衡問題及螺紋受力分析摩擦是一種普遍存在的現(xiàn)象。在一些問題屮，摩擦在對物體的受力情況影響很小時(shí)，為 了計(jì)算方便忽略不計(jì)。但在工程中有些摩擦問題是不能忽略的。2.4.1滑動(dòng)摩擦的基本知識(shí)互相接觸的兩個(gè)物體，當(dāng)它們沿接觸表面發(fā)住相對滑動(dòng)或有相對滑動(dòng)趨勢時(shí)，在接觸處 就會(huì)產(chǎn)生阻礙彼此滑動(dòng)的作用力，這種現(xiàn)象稱為滑動(dòng)摩擦，這種作用力稱為滑動(dòng)摩擦力，簡 稱摩擦力。當(dāng)兩物體未發(fā)生滑動(dòng)（僅冇滑動(dòng)趨勢）時(shí)，兩物體間的摩擦力稱為靜摩擦力；當(dāng) 兩物體已經(jīng)相對滑動(dòng)時(shí)，兩物體間的摩擦力稱為動(dòng)摩擦力。如圖230 （a）所示，放在粗糙地而上的物體在水平推

41、力p和重力g的作用下處于平衡 狀態(tài)，物體的受力圖如圖2-30 （b）所示，粗糙地面對物體的作用用兩個(gè)力來表示，一個(gè)是 與光滑面約束反力類似的法向反力n,另一個(gè)是打物體和對滑動(dòng)趨勢方向和反的切向反力片, 巧為靜摩擦力。(b)圖2-30滑動(dòng)縻擦山經(jīng)驗(yàn)可知，當(dāng)推力不大時(shí)，物體處于平衡狀態(tài)，由平衡條件，可得f = p （靜摩擦力 可由平衡條件求得）；若推力逐漸增大，靜摩擦力竹也逐漸增人，當(dāng)推力增至某一定值時(shí)， 物體處于將要滑動(dòng)而未滑動(dòng)的狀態(tài)，稱為平衡的臨界狀態(tài)，此吋靜摩擦力巧達(dá)到最人值f加, 稱為最大靜摩擦力?？梢姡o摩擦力有一個(gè)確定的范圍，即owf0f伽大量實(shí)驗(yàn)證明：最大靜摩擦力的大小與法向反力成止

42、比，即fftn（2-16）這就是靜滑動(dòng)摩擦定律。比例常數(shù)歩稱為靜靡擦系數(shù)，與材料等因素有關(guān)，其數(shù)值可通 過實(shí)驗(yàn)測定。實(shí)驗(yàn)還證明，物體發(fā)生相對滑動(dòng)時(shí)的摩擦力，即動(dòng)摩擦力，比最大靜摩擦力略小。在一 般的工程計(jì)算中，可近似的認(rèn)為動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力。2.4.2摩擦角與自鎖現(xiàn)象如圖231 (a)所示，一重為g的物體置于平而上，受到重力g與法向約束反力n (正 壓丿j)作用而平衡，無滑動(dòng)趨勢。此時(shí)，摩擦丿j為零。如圖231 (b)所示，當(dāng)在物體上加一水平推力p時(shí)，物體與水平面間有相對運(yùn)動(dòng)的趨 勢，便產(chǎn)生摩擦，摩擦力的人小隨物體狀態(tài)而變化。此時(shí)物體受到接觸面的總約束反力為法 向約束反力n與切向約束反力

43、(摩擦力)巧的合力，稱為全約束反力，用字母心表示。當(dāng) 物體處于臨界狀態(tài)時(shí)，摩擦力達(dá)到最人值為巧加全約束反力達(dá)到最大值rfm = n + ffn,此時(shí)全約束反力尺加與接觸面公法線間的夾角稱為摩擦角，用0表示，如圖231 (c)所 示，而(2-17)式(2j7)說明，摩擦角也是表示材料摩擦性質(zhì)的物理量，它表示全約束力心能夠偏離 接觸而法線方向的范圍。若物體與支承而的摩擦系數(shù)在各個(gè)方向相同，則這個(gè)范f同在空間就形成一個(gè)錐體，稱為摩擦錐，如圖231 (d)所示。物體靜止(即平衡)吋，全約束力心的 作用線不會(huì)超111摩擦錐的范圍。將重力g與水平推力p合成為主動(dòng)力凡 主動(dòng)力f與接觸面公法線間的夾介為弘 由

44、圖2-31 (c)、2-31 (d)可見，主動(dòng)力f的值無論怎樣增人，只耍aw%,即f的作用線在摩擦 錐范i韋i內(nèi)，約束面必產(chǎn)生一個(gè)與之相平衡的等值、反向、共線的全約束力rf,而全約束力 的切向分量靜滑動(dòng)縻擦力永遠(yuǎn)小于或等于最人靜摩擦力f的物體處于靜止?fàn)顟B(tài)。這種現(xiàn) 象稱為口鎖。(a)(b)(c). (4).2-31摩擦角與自鎖故物體的自鎖條件為:口鎖被廣泛應(yīng)用于工程上，如為了保證螺旋千斤頂在被升起的重物重力g作用下不會(huì)口 動(dòng)下降，則千斤頂?shù)穆菪莙必須小于摩擦角妙自卸貨車的車斗能升起的仰角必須大于 摩擦角0，卸貨時(shí)才能處于非白鎖狀態(tài)。2.4.3考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題考慮摩擦?xí)r物體的平衡問題，

45、其分析方法與不考慮摩擦?xí)r基本相同。所不同的是：畫受 力圖時(shí)，要考慮物體接觸面上的摩擦力；在列出物體的力系平衡方程后，應(yīng)再附加上摩擦力 的求解條件作為補(bǔ)充方程，而且由于靜摩擦力&有一個(gè)變化范圍，故問題的解答也是一個(gè)范 圍值,稱為平衡范圍。例241 一重量為6的物體放在傾角為q的斜面上，如圖2-32 (a)所示。若摩擦系數(shù)為 摩擦角為©(4>0)。試分別求物體沿斜而勻速下滑和勻速上滑時(shí)水平推力p的大小。解：(1)求物體沿斜面勻速下滑時(shí)所需的水平推力 受力圖如圖232 (b)所示，列平衡方程：工代=0 ,pfcosa-gsina + ffm =0工匕.-0 ,n -p'

46、;sina-gcos= 0列補(bǔ)充方程：ffm=fsn = nn(pfz sinrz- f.cosa sintan(p( cosa _ z 、解得 p =厶g =g = g tan( a-(pf)cos a + fs sin acos a + tan(pf sin a(2)求物體沿斜而勻速上滑時(shí)所需的水平推力 物體的受力情況如圖232 (c)所示，列平衡方程：工巴=0 ,pcosa gsina f伽=0工巴=0 , n psina gcosa = 0 列補(bǔ)充方程：尺伽=fsn = n tan(pfs 曰廠 sino+/：cos sina + taiqcos"解得 p =厶g =g =

47、g tan(o +(pf)cos a- fs sin acos a - tan(pt sin a例212圖233 (a)所示為一凸輪機(jī)構(gòu)，在推桿上端c點(diǎn)有載荷f作用。凸輪上受主 動(dòng)力偶矩m作用。設(shè)推桿與滑道間的靜摩擦系數(shù)為口輪與推桿間有良好的潤滑，摩擦不 計(jì)，尺寸s d為已知，推桿橫截面尺寸不計(jì)。試寫出使推桿在圖示位置不被卡住的滑道寬度b的計(jì)算式。解：設(shè)在圖示位置凸輪機(jī)構(gòu)處于向上推動(dòng)時(shí)平衡的臨界狀態(tài)。此時(shí)，推桿只冇力、兩點(diǎn)與滑道接觸，且受到最大靜摩擦力f伽作用。 分別取推桿和凸輪為研究対象，畫受力圖,圖2-33凸輪機(jī)構(gòu)滑道寬度b的計(jì)算由凸輪的受力圖列平衡方程：工m°(f) = o,

48、m-rfd=o 解得d由推桿的受力圖列平衡方程：工耳=0,m-n廠 0工耳,=0,-f - f加-ffmb + rlm/f) = 0,-n油+心=0r = “列補(bǔ)充方程：<ffina =fsnafjmb = fsh解得h- 2afsmm-df結(jié)果說明，該機(jī)構(gòu)不發(fā)生門鎖的條件為h>lm-df2.4.4螺紋副的受力分析、自鎖和機(jī)械效應(yīng)1 .螺紋副的受力分析及自鎖當(dāng)組成螺紋副的兩個(gè)構(gòu)件作相對運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果兩者的螺紋間受到載荷，則在其螺紋接觸面間將產(chǎn)生摩擦力。將矩形螺紋沿中徑2展開可得一斜面，如圖234所示，1為螺桿，2為螺母，2為螺紋 升角，0為軸向載荷，/為摩擦系數(shù)，0為摩擦角。如果在螺

49、母上加一力矩m使螺母逆著q力的方向勻速向上運(yùn)動(dòng)(對螺紋連接，相當(dāng)于擰緊螺母),p,使其沿斜面勻速向上滑動(dòng)。根據(jù)例211的分析可知:即相當(dāng)于在滑快2上加一水平推力(2-19)(b)圖2-34螺紋副的受力分析及h鎖p和當(dāng)于擰緊螺母吋必須在螺紋中徑必處施加的圓周力，其對螺紋軸心線z矩即為擰緊 螺母時(shí)所需的力矩，故：tan(a +(pf)(2-20)當(dāng)螺母順著q力的方向勻速向下運(yùn)動(dòng)時(shí)(對螺紋連接，相當(dāng)于放松螺付),塊2沿著斜而勻速下滑。由例211的分析可知：維持滑塊勻速下滑的圓周力為p' = 0tan(/l_©)即相當(dāng)于滑(2-21)則支持力矩為£0tan(2-。/)(2-

50、22)2當(dāng)斜面傾角a大于摩擦角©吋，滑塊在重力作用下有向下加速滑動(dòng)的趨勢。是一阻抗力矩。當(dāng)斜面傾角久小于摩擦角0時(shí)，為負(fù)值。英方向與螺母運(yùn)動(dòng)方向相同，此 時(shí)，at為放松螺母所需丿施加的驅(qū)動(dòng)力矩。由此說明，當(dāng)2w0時(shí)，螺母不能在重力作用下自行松動(dòng)，即處于自鎖狀態(tài)，欲使螺母放 松必須施加驅(qū)動(dòng)力矩。2.螺紋副的機(jī)械效率機(jī)器在工作時(shí)，由于摩擦阻力的存在，必然要消耗一部分功率，使得輸出功率小于輸入功率，我們把輸出的有用功率與輸入功率之比稱為機(jī)械效率，用表示，算式如下:(2-23)機(jī)械效率也可以用力的比值形式和力矩比值形式表達(dá)為:理想驅(qū)動(dòng)力二理想驅(qū)動(dòng)力矩二實(shí)際阻力矩實(shí)際驅(qū)動(dòng)力實(shí)際驅(qū)動(dòng)力矩一理想阻

51、力矩(2-24)p = 0tan(q + %)式（224）可用來計(jì)算機(jī)構(gòu)的機(jī)械效率。機(jī)械效率77總是小于1。在圖234所示螺旋機(jī)構(gòu)中，當(dāng)擰緊螺母時(shí)，螺母逆著載荷0向上運(yùn)動(dòng)，由式（220）可 知，當(dāng)考慮摩擦?xí)r需耍的實(shí)際驅(qū)動(dòng)力矩為：m =（幾+血）；設(shè)機(jī)構(gòu)中沒有摩擦，則0 =0,理想驅(qū)動(dòng)力矩為:mo = -0tana 02則向上擰緊螺母時(shí)的機(jī)械效率為：(2-25)理想驅(qū)動(dòng)力矩二二實(shí)際驅(qū)動(dòng)力矩一 m tan（2 +（p（）當(dāng)放松螺母時(shí)，公式（2-22）為實(shí)際支持阻力矩為：= p仝二qtan（a_p）；設(shè)2 2機(jī)構(gòu)中不存在摩擦，0=0,則理想支持阻力矩為:則放松螺母吋的機(jī)械效率為:(2-26)，二實(shí)際

52、阻動(dòng)力= tan（/l-0.）"二理想阻動(dòng)力二亦二tan2根據(jù)效率公式，升角久越小，螺紋效率越低。2.5空間力系簡介力的作用線不在同一平而內(nèi)的力系稱為空間力系。本節(jié)主耍介紹力在空間直角坐標(biāo)軸上 的投影與空間丿j系的平衡方程及應(yīng)用。2.5.1力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影為了分析空間力對物體的作用，冇時(shí)需要將力向空間直角坐標(biāo)軸投影得出力沿空間直角 坐標(biāo)軸的三個(gè)分力。例如在分析作用于斜齒倫上的力幾對齒輪軸的作用時(shí)，就需耍將該力分 解為沿齒輪的圓周方向、徑向和軸向三個(gè)分丿jf八f,.和幾，如圖235所示。下而討論求一個(gè)力在空間直角坐標(biāo)軸上三個(gè)投影的方法。已知作用在物體上的力f,過 其作用點(diǎn)建立

53、空間直角坐標(biāo)系如圖2-36所示，丿j f與z軸的 夾角為？，力f與z軸所決定的平面與x軸的夾角為妙求力f 在x、，和z軸上的投影。先將力f投影到z軸和平面內(nèi)得兄和fxyt再將fxy 投影到x軸和y軸得人和fy,則fx、竹和尺就是力f在空間 直角坐標(biāo)軸上的三個(gè)投影。其大小即(2-27)f: = feos/ 化fsinyfx = fxv cos 0 = f sin /cos （p f、= fxv sin 0 = f sin /sin cp例213在圖2-35 'i',若fn= 1410n,齒輪壓力角cr=20°,螺旋角0=25。，求軸向力 f“、圓周力形和徑向力幾的大小。

54、解：過力幾的作川點(diǎn)0取空間直角坐標(biāo)系，使齒輪的軸向、関周的切線方向和徑向分 別為x、y和z軸。由式（227）可得：fa = fn sin（90° 一 a） cos（90° 一 0） = 1410 cos 20° sin 25° 560n ft=fn sin（90° 一 a） sin（90° 一 0） = 1410 cos 20。cos 25。 120n fr=fn cos（90° 一 a） = 1410 sin 20。482n2.5.2力對軸之矩力使剛體繞某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量稱為力對 軸z矩。它等于力在與軸垂直的平面上的投影

55、（是 個(gè)矢量）對軸與平面交點(diǎn)z矩，記作下標(biāo) z表示収矩的軸，其單位為nm或kn m。如 圖2-37所示：胚（f） = mz（fxy） = mo（f =±fxyd力對軸之矩為代數(shù)量，正負(fù)號(hào)用右手螺旋法 則判定，如圖238所示：用右手握住軸，四指繞向與物體轉(zhuǎn)動(dòng)方向一致，伸開拇指，若拇指 指向與軸的正向一致為正，反之為負(fù)。注意：力與軸共面時(shí)，力對軸z矩為零。圖2-38右手螺旋法則判定力矩正負(fù)2.5.3空間任意力系的平衡方程及應(yīng)用與平而任意力系相同，可依據(jù)力的平移定理，將空間任意力系簡化，找到與其等效的主 矢和主矩，當(dāng)二者同時(shí)為零時(shí)力系平衡。此時(shí)所對應(yīng)的平衡條件應(yīng)為(2-28)工耳=0,巧=

56、0,工厶=0工陸(f) = 0,工= 工陸(f) = 0上式表明空間任意力系平衡的必要r充分條件是：各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投彩的代數(shù)和以 及各力對空間三個(gè)直角坐標(biāo)軸z矩的代數(shù)和都等丁零。式中，前三個(gè)方程表示剛體不能沿空 間三個(gè)坐標(biāo)軸移動(dòng)(即無任何移動(dòng))；后三個(gè)方程表示剛體不能繞三個(gè)軸坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)(即無任 何轉(zhuǎn)動(dòng))。共有六個(gè)獨(dú)立的平衡方程，最多可解六個(gè)未知量。為避免求解聯(lián)立方程，可靈活選取投影軸的方向和矩軸的位置，盡可能使一個(gè)方程只含 一個(gè)未知雖，以使解題過程簡化。計(jì)算空間力系的平衡問題時(shí)，常將力系向三個(gè)坐標(biāo)平面投彩，通過三個(gè)平面力系來進(jìn)行 計(jì)算，即把空間力系轉(zhuǎn)化為平血力系的形式來處理。此法稱為空間力系問題的平血解法，特 別適合解決軸類零件的空間受力平衡