高考二次求導(dǎo)（精編版）

1、一解答題（共40 小題）高考二次求導(dǎo)1. 已知函數(shù) f （ x）=ax2+lnx ，g（x） = bx，其中 a，br，設(shè) h（x）=f （x） g（ x），（1） 若 f （x）在 x=處取得極值，且f （ 1） =g（ 1） 2求函數(shù) h（x）的單調(diào)區(qū)間；（2） 若 a=0 時，函數(shù) h（x）有兩個不同的零點x1 ，x2求 b 的取值范圍；求證：12. 設(shè) a， b r，函數(shù)，g（x）=ex（ e 為自然對數(shù)的底數(shù)），且函數(shù)f（ x）的圖象與函數(shù) g（x）的圖象在 x=0 處有公共的切線（）求 b 的值；（）討論函數(shù)f （ x）的單調(diào)性；（）若 g（ x） f （x）在區(qū)間（， 0）內(nèi)恒成

2、立，求 a 的取值范圍3. 已知函數(shù)（1） 若 y=f （x）在（ 0，+）恒單調(diào)遞減，求a 的取值范圍；（2） 若函數(shù) y=f （x）有兩個極值點 x1，x2（ x1 x2），求 a 的取值范圍并證明x1+x2 2 4已知函數(shù)（1）設(shè) g（x）=2f （x）+g（x），求 g（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）證明：當(dāng) x0 時， f （x+1） g（x）；（3）證明： k1 時，存在 x0 1，當(dāng) x（ 1，x0）時，恒有5. 已知函數(shù)（）當(dāng) a=0 時，求曲線 f（x）在 x=1 處的切線方程；（）設(shè)函數(shù) h（x）=alnx xf （x），求函數(shù) h （ x）的極值；（） 若 g（x）=aln

3、x x 在1 ，e （e=2.718 28）上存在一點 x0，使得 g（x0）f （ x0 ）成立，求 a 的取值范圍6. 設(shè)函數(shù) f （x）=eax+lnx ，其中 a0，e 是自然對數(shù)的底數(shù)（）若 f （ x）是（ 0，+）上的單調(diào)函數(shù)，求 的取值范圍；（）若 0，證明：函數(shù)f （x）有兩個極值點 7已知函數(shù)（a 為常數(shù)， a 0）（）當(dāng) a=1 時，求函數(shù) f （x）在點（ 3， f （ 3）的切線方程（）求 f （ x）的單調(diào)區(qū)間；3（）若 f （ x）在 x0 處取得極值，且，而 f （ x） 0 在e+2 ，e +2 上恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍（其中e 為自然對數(shù)的底數(shù)） 8

4、已知函數(shù)（1） 若 g（x）在點（ 1，g（1）處的切線方程為8x 2y3=0，求 a，b 的值；（2） 若 b=a+1， x1，x2 是函數(shù) g（x）的兩個極值點，試比較4 與 g（x1） +g（x2）的大小9已知函數(shù) f （ x）=xalnx 1，其中 a 為實數(shù)（）求函數(shù) g（x）的極值；（）設(shè) a 0，若對任意的 x1、x2 3 ， 4 （x1x2），恒成立，求實數(shù) a 的最小值 10已知函數(shù) f （x）=xlnx k（ x 1）（1） 求 f （x）的單調(diào)區(qū)間；并證明lnx+2（e 為自然對數(shù)的底數(shù)）恒成立；（2） 若函數(shù) f（x）的一個零點為 x（1x1 1）， f' （x

5、）的一個零點為x0 ，是否存在實數(shù) k，使=k，若存在，求出所有滿足條件的k 的值；若不存在，說明理由11已知函數(shù) f （x）=（x2）ex+a（ x 1） 2（）討論 f （x）的單調(diào)性；（）若 f （ x）有兩個零點，求a 的取值范圍212設(shè)函數(shù) f （x）=ax alnx ， g（ x）=，其中 a r，e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù)（）討論 f （x）的單調(diào)性；（）證明：當(dāng)x 1 時， g（x） 0；3（）確定 a 的所有可能取值，使得f （x） g（ x）在區(qū)間（ 1， +）內(nèi)恒成立 13設(shè)函數(shù) f （x）=（x1） axb，xr，其中 a，br（1）求 f （x）的單調(diào)區(qū)間；（2）

6、若 f （x）存在極值點 x0 ，且 f （ x1 ）=f （ x0），其中 x1x0，求證： x1+2x0=3；（3）設(shè) a0，函數(shù) g（x）=|f （x）| ，求證： g（x）在區(qū)間 0 ，2 上的最大值不小于14. 設(shè)函數(shù) f （x）=acos2x+（a1）（cosx+1），其中 a 0，記|f （x）| 的最大值為 a（）求 f （ x）；（）求 a；（）證明： | f （ x）| 2a15. 設(shè)函數(shù) f （x）=x3axb，xr，其中 a，br（1）求 f （x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若 f （x）存在極值點 x0 ，且 f （ x1 ）=f （ x0），其中 x1x0，求證： x1+2

7、x0=0；（3）設(shè) a0，函數(shù) g（x）=|f （x）| ，求證： g（x）在區(qū)間 1， 1 上的最大值不小于16. 已知函數(shù) f （x）=（x2）ex+a（ x 1） 2 有兩個零點（）求 a 的取值范圍；（）設(shè) x1，x2 是 f （ x）的兩個零點，證明：x1+x22 17已知 f （ x）=a（xlnx ）+，ar（i ）討論 f （x）的單調(diào)性；（ii ）當(dāng) a=1 時，證明 f （ x）f （ x）+對于任意的 x1 ，2 成立218已知函數(shù) f （x）=lnx+x （）若函數(shù) g（x）=f （x） ax 在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a 的取值范圍；3xx（）在（）的條件下，若a1

8、，h（x）=e 3ae x0 ，ln2 ，求 h（x）的極小值；2（）設(shè) f（ x）=2f （x） 3x kx（ k r），若函數(shù) f（x）存在兩個零點m，n（0mn），且2x0 =m+n問：函數(shù) f（ x）在點（x0 ，f（x0）處的切線能否平行于x 軸？若能，求出該切線方程；若不能，請說明理由19 g（x）=2lnx x2 mx， x r，如果 g（x）的圖象與 x 軸交于 a（ x ， 0），b（ x，0）（x x ），ab中點為 c（x0，0），求證 g（ x0 ） 0 20已知函數(shù) f （x）=alnx ax3（ar）（）求函數(shù) f （x）的單調(diào)區(qū)間；1212（）若函數(shù)y=f （ x

9、）的圖象在點（ 2，f （2）處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t 1 ，2 ，函數(shù) g（ x）=x3+x2（f'（x）+）在區(qū)間（ t ，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；*（）求證：××××（ n 2， n n） 21設(shè)函數(shù) f （x）=（1+x）2 2ln （1+x）（1） 若關(guān)于 x 的不等式 f （x） m0 在0 ，e1 有實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍2（2） 設(shè) g（x）=f （ x） x 1，若關(guān)于 x 的方程 g（ x）=p 至少有一個解，求p 的最小值*（3） 證明不等式：（ n n） 22已知函數(shù)， f （x）

10、=alnx ax3（ar）（1 ）當(dāng) a=1 時，求函數(shù) f （x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù) y=f （ x）的圖象在點（ 2， f （2）處的切線的傾斜角為45°，問： m在什么范圍取值時，對于任意的t1 ，2 ，函數(shù)在區(qū)間（ t ，3）上總存在極值？23. 已知函數(shù) f （x）=x3+x2+ax+b（a，b 為常數(shù)），其圖象是曲線c（1） 當(dāng) a= 2 時，求函數(shù) f （x）的單調(diào)減區(qū)間；（2） 設(shè)函數(shù) f （ x）的導(dǎo)函數(shù)為f （ x），若存在唯一的實數(shù)x0，使得 f （x0）=x0 與 f （ x0） =0同時成立，求實數(shù) b 的取值范圍；（3） 已知點 a 為曲線 c上的動

11、點，在點 a處作曲線 c的切線 l 1 與曲線 c交于另一點 b，在點 b 處作曲線 c 的切線 l 2，設(shè)切線 l 1， l 2 的斜率分別為 k1， k2 問：是否存在常數(shù) ，使得 k2=k1？若存在，求出 的值；若不存在，請說明理由24. 已知函數(shù) f （x）=alnx ax3（a0）（）討論 f （x）的單調(diào)性；2（）若 f （ x）+（a+1）x+4e0 對任意 xe ， e 恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍（ e 為自然常數(shù)）；2222*（）求證 ln （2 +1）+ln （3 +1）+ln （4 +1）+ln （ n +1） 1+2lnn! （n2，nn ）（n!=1 ×

12、2×3×× n）25. 已知函數(shù) f （x）=lnx xlna ，a 為常數(shù)（1） 若函數(shù) f （ x）有兩個零點 x1， x2，且 x1x2，求 a 的取值范圍；（2） 在（ 1）的條件下，證明：的值隨 a 的值增大而增大26. 已知函數(shù) f （x）=e1 x（ a+cosx）， ar（）若函數(shù) f （x）存在單調(diào)減區(qū)間，求實數(shù)a 的取值范圍；（）若 a=0，證明：，總有 f （ x 1） +2f （ x）?cos（x+1） 0 27已知函數(shù) f （x）=（e 為自然對數(shù)的底數(shù)）（1） 若 a=，求函數(shù) f （x）的單調(diào)區(qū)間；（2） 若 f （1）=1，且方程

13、f （ x）=1 在（ 0，1）內(nèi)有解，求實數(shù)a 的取值范圍28. 已知函數(shù) f （x）=，g（x）=ln （x+1），曲線 y=f （x）在點（ 1， f （ 1）處的切線方程是 5x 4y+1=0（1） 求 a，b 的值；（2） 若當(dāng) x0 ，+）時，恒有 f （ x） kg（ x）成立，求 k 的取值范圍；（3）若=22361，試估計 ln的值（精確到 0.001 ）29. 設(shè) ar，函數(shù) f （x）=lnx ax（）求 f （ x）的單調(diào)遞增區(qū)間；2（）設(shè) f（ x）=f （x）+ax說明理由；+ax，問 f（ x）是否存在極值，若存在，請求出極值；若不存在，請（）設(shè) a（ x1，y1

14、）， b（ x2，y2）是函數(shù) g（x）=f （x）+ax 圖象上任意不同的兩點，線段ab的中點為 c（x0， y0 ），直線 ab的斜率為為 k證明： kg（ x0 ）30已知函數(shù) f （x）=x3+（1 a） x2 a（a+2）x（ar）， f （ x）為 f （x）的導(dǎo)數(shù)（）當(dāng) a=3 時證明 y=f （x）在區(qū)間（ 1，1）上不是單調(diào)函數(shù)（）設(shè)，是否存在實數(shù)a，對于任意的x1 1， 1 存在 x20 ，2 ，使得 f （x1）+2ax1=g（x2）成立？若存在求出a 的取值范圍；若不存在說明理由231已知函數(shù) f （x）=x （ a+2） x+alnx ，其中常數(shù) a 0（）當(dāng) a 2

15、 時，求函數(shù) f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（）設(shè)定義在 d上的函數(shù) y=h（x）在點 p（x0， h（x0） 處的切線方程為l ：y=g（ x），若0 在 d內(nèi)恒成立，則稱p 為函數(shù) y=h（x）的“類對稱點”當(dāng)a=4 時，試問 y=f （ x）是否存在“類對稱點”，若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 32已知函數(shù) f （x）=2ex+2axa2， a r（1） 當(dāng) a=1 時，求 f （ x）在點（ 0，f （0）處的切線方程；（2） 求函數(shù) f （ x）的單調(diào)區(qū)間；2x（3） 若 x0 時， f （ x） x 3 恒成立，求實數(shù)a 的取值范圍 33已知 a r，

16、函數(shù) f （ x）=e a（x+1）的圖象與 x 軸相切（）求 f （ x）的單調(diào)區(qū)間；2（）若 x 0 時， f （x） mx，求實數(shù) m的取值范圍34已知函數(shù) h（x）=ax2+1，設(shè) f （ x）=h' （x） 2alnx ， g（ x）=ln 2x+2a2，其中 x0，ar（1）若 f （x）在區(qū)間（ 2，+）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a 的取值范圍；（2）記 f（x）=f （ x）+g（x），求證： f（x）x35. 已知函數(shù) f （x）=lnx x+1，函數(shù) g（x）=axe 4x，其中 a 為大于零的常數(shù)（）求函數(shù) f （x）的單調(diào)區(qū)間；（）求證： g（x） 2f （x） 2（l

17、na ln2 ）36. 已知 x（ 1，+），函數(shù) f （ x）=ex+2ax（ar），函數(shù) g（x）=|lnx|+lnx，其中 e 為自然對數(shù)的底數(shù)（1）若 a=，求函數(shù) f （x）的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：當(dāng) a（ 2，+）時， f （ x1） g（ x）+a 37已知函數(shù) f （x）=x2+mlnx+x（1） 求 f （x）的單調(diào)區(qū)間；2（2） 令 g（x）=f （x）x ，試問過點 p（1，3）存在多少條直線與曲線y=g（x）相切？并說明理由38已知函數(shù)（）若 f （ x）在點（ 2， f （2）處的切線與直線x 2y+1=0 垂直，求實數(shù) a 的值；（）求函數(shù) f （x）的單調(diào)區(qū)間；2

18、（）討論函數(shù)f （ x）在區(qū)間 1 ，e 上零點的個數(shù)39已知函數(shù) f （x）=（2a）lnx+2ax（ a 0）（1） 當(dāng) a=0 時，求 f （ x）的極值；（2） 當(dāng) a0 時，討論 f （ x）的單調(diào)性；（3）若對于任意的 x1， x21 ，3 ，a（， 2）都有|f （x1）f（ x2）| （ m+ln3）a2ln3 ，求實數(shù) m的取值范圍40已知函數(shù) f （x）=lnx ax（）若函數(shù) f （x）在（ 1，+）上單調(diào)遞減，求實數(shù)a 的取值范圍；（）當(dāng) a=1 時，函數(shù)有兩個零點 x1，x2，且 x1x2 求證： x1+x2 12017 年 02 月 13 日數(shù)學(xué)的高中數(shù)學(xué)組卷一解答

19、題（共40 小題）參考答案與試題解析21（2017?南京一模）已知函數(shù)f（x）=ax +lnx ， g（x）=bx，其中 a， b r，設(shè) h（x）=f（ x）g（x），（1） 若 f （x）在 x=處取得極值，且f （ 1） =g（ 1） 2求函數(shù) h（x）的單調(diào)區(qū)間；（2） 若 a=0 時，函數(shù) h（x）有兩個不同的零點x1 ，x2求 b 的取值范圍；求證：1解：（ 1）由已知得 f，（ x 0）， 所以，所以 a=2由 f （ 1）=g（ 1） 2，2得 a+1=b2， 所以 b=1所以 h（x）=x +lnx+x ，（ x0）則，（ x0），由 h（ x） 0 得 0x1，h（ x）

20、0 得 x1所以 h（x）的減區(qū)間為（ 1，+），增區(qū)間為（ 0，1）（2）由已知 h（x）=lnx+bx ，（ x0） 所以 h，（ x0），當(dāng) b 0 時，顯然 h（x）0 恒成立，此時函數(shù)h（ x）在定義域內(nèi)遞增， h（ x）至多有一個零點， 不合題意當(dāng) b 0 時，令 h（ x）=0 得 x= 0，令 h（x ） 0 得；令 h（x） 0 得所以 h（x）極大=h（） = ln （ b） 10，解得且 x0時， lnx 0，x +時， lnx 0所以當(dāng)時， h（ x）有兩個零點證明：由題意得，即，×得因為 x1，x2 0，所以 b（x1+x2） 0，所以，因為 0 b， 所以

21、 eb1，2所以 x1x2e ，所以12（2017?四川模擬）設(shè) a，br，函數(shù)，g（x）=e（xe 為自然對數(shù)的底數(shù)） ，且函數(shù) f （x）的圖象與函數(shù) g（x）的圖象在 x=0 處有公共的切線（）求 b 的值；（）討論函數(shù)f （ x）的單調(diào)性；（）若 g（ x） f （x）在區(qū)間（， 0）內(nèi)恒成立，求 a 的取值范圍2x（） f'（x）=x +2ax+b，g' （ x）=e ，由 f'（0）=b=g' （0）=1，得 b=1（ 2 分）222（） f'（ x）=x +2ax+1=（x+a） +1a ，22當(dāng) a 1 時，即 1a1 時， f'

22、（x） 0，從而函數(shù) f （x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增， 當(dāng) a 1 時，此時若，f'（ x） 0，則函數(shù) f （x）單調(diào)遞增；若， f'（x） 0，則函數(shù) f （ x）單調(diào)遞減； 若時， f'（ x） 0，則函數(shù) f （x）單調(diào)遞增（ 6 分）x20x（）令 h（ x）=g' （x） f'（ x）=e x 2ax1，則 h（0）=e 1=0h' （ x）=e 2x2a，xx令 u（ x）=h' （x）=e 2x2a，則 u' （x）=e 2當(dāng) x 0 時， u' （x） 0，從而 h' （ x）單調(diào)遞減， 令 u（

23、0） =h' （0）=1 2a=0，得先考慮的情況，此時， h' （0）=u（ 0） 0；又當(dāng) x（， 0）時， h' （x）單調(diào)遞減，所以h' （ x） 0； 故當(dāng) x（， 0）時， h（x）單調(diào)遞增；又因為 h（0）=0，故當(dāng) x0 時， h（x） 0，從而函數(shù) g（ x） f （x）在區(qū)間（， 0）內(nèi)單調(diào)遞減；又因為 g（0） f （ 0） =0，所以 g（x）f （x）在區(qū)間（， 0）恒成立 接下來考慮的情況，此時， h' （ 0） 0，令 x=a，則 h' （ a）=e a0由零點存在定理，存在x0（ a，0）使得 h' （x0

24、）=0，當(dāng) x（ x0，0）時，由 h' （x）單調(diào)遞減可知 h' （x） 0，所以 h（x）單調(diào)遞減， 又因為 h（0）=0，故當(dāng) x（ x0，0）時 h（x） 0從而函數(shù) g（ x） f （x）在區(qū)間（ x0，0）單調(diào)遞增；又因為 g（0） f （ 0） =0，所以當(dāng) x（ x0 ，0）， g（x） f （x）綜上所述，若 g（x）f （x）在區(qū)間（， 0）恒成立，則 a 的取值范圍是（ 14分）3（ 2017?達(dá)州模擬）已知函數(shù)（1） 若 y=f （x）在（ 0，+）恒單調(diào)遞減，求a 的取值范圍；（2） 若函數(shù) y=f （x）有兩個極值點 x1，x2（ x1 x2），求

25、a 的取值范圍并證明x1+x2 2 解：（ 1）因為 f'（x）=lnx ax+1（x0），所以由 f'（x） 0 在（ 0，+）上恒成立得，令，易知 g（x）在（ 0， 1）單調(diào)遞增（ 1，+）單調(diào)遞減， 所以 ag（1）=1，即得： a1（ 5 分）（2）函數(shù) y=f （ x）有兩個極值點x1 ，x2（x1 x2），即 y=f'（ x）有兩個不同的零點，且均為正，f'（ x）=lnx ax+1（x0）， 令 f（ x）=f'（x）=lnx ax+1，由可 知 1）a0 時，函數(shù) y=f （x）在（ 0，+）上是增函數(shù)，不可能有兩個零點2）a0 時，

26、y=f（x）在是增函數(shù)在是減函數(shù)，此時為函數(shù)的極大值，也是最大值當(dāng)時，最多有一個零點，所以才可能有兩個零點， 得： 0 a1（ 7 分）此時又因為，令，（ a）在（ 0，1）上單調(diào)遞增，2所以 （ a）（ 1） =3e ，即綜上，所以 a 的取值范圍是（ 0，1）（ 8 分）下面證明 x1+x2 2由于 y=f（x）在是增函數(shù)在是減函數(shù)，可構(gòu)造出構(gòu)造函數(shù)則， 故m（ x ） 在 區(qū) 間上 單 調(diào)減 又 由 于，則，即有 m（x1）0 在上恒成立，即有成立由于，y=f（x）在是減函數(shù)，所以所以成立（ 12 分）4（ 2017?大理州一模）已知函數(shù)（1）設(shè) g（x）=2f （x）+g（x），求 g

27、（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）證明：當(dāng) x0 時， f （x+1） g（x）；（3）證明： k1 時，存在 x0 1，當(dāng) x（ 1，x0）時，恒有 解：（ 1）由題意知，（ 1 分）從而（ 2 分）令 g'（x） 0 得 0x2（ 3 分）所以函數(shù) g（ x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（ 0，2）（ 4 分）（2）令（ 5 分）從而（ 6 分）因為 x0，所以 h' （ x） 0，故 h（x）在（ 0，+）上單調(diào)遞增（ 7 分） 所以，當(dāng) x 0 時， h（x） h（0）=0，即 f （ x+1）g（x）（ 8 分）（3）當(dāng) k1 時，令（ 9 分）則有（ 10 分）2由 f'

28、（x）=0 得 x +（ 1 k）x+1=0，解之得，（ 11 分）從而存在 x0=x2 1，當(dāng) x（ 1，x0）時， f' （x） 0，故 f（ x）在1 ， x0）上單調(diào)遞增，從而當(dāng)x（ 1，x0）時， f（x）f（1）=0， 即（ 12 分）5（ 2017?茂名一模）已知函數(shù)（）當(dāng) a=0 時，求曲線 f（x）在 x=1 處的切線方程；（）設(shè)函數(shù) h（x）=alnx xf （x），求函數(shù) h （ x）的極值；（） 若 g（x）=alnx x 在1 ，e （e=2.718 28）上存在一點 x0，使得 g（x0）f （ x0 ）成立，求 a 的取值范圍解：（）當(dāng) a=0 時， f（

29、x）=，f（ 1） =1，則切點為（ 1，1），（ 1 分），切線的斜率為k=f'（1）=1，（ 2 分）曲線 f（x）在點（ 1，1）處的切線方程為y1=（ x 1），即 x+y2=0（ 3 分）（）依題意，定義域為（ 0，+），（ 4 分）當(dāng) a+10，即 a 1 時，令 h' （x） 0， x 0， 0x 1+a， 此時， h（x） 在區(qū)間（ 0，a+1）上單調(diào)遞增，令 h' （x） 0，得 x 1+a此時， h（x）在區(qū)間（ a+1，+）上單調(diào)遞減（ 5 分 ）當(dāng) a+10，即 a 1 時， h' （x）0 恒成立， h（ x）在區(qū)間（ 0，+）上單調(diào)遞

30、減（ 6 分） 綜上，當(dāng) a 1 時， h（ x）在 x=1+a 處取得極大值 h（1+a）=aln （1+a） a 2，無極小值；當(dāng) a 1 時， h（ x）在區(qū)間（ 0， +）上無極值（ 7 分）（）依題意知，在 1 ，e 上存在一點 x0，使得 g（ x0）f （x0）成立， 即在1 ，e 上存在一點 x0，使得 h（ x0） 0，故函數(shù)在1 ， e 上，有 h（x）max0（ 8 分）由（）可知，當(dāng)a+1 e，即 ae1 時， h（ x）在1 ， e 上單調(diào)遞增，（ 9 分）當(dāng) 0a+11，或 a 1，即 a 0 時， h（x）在1 ，e 上單調(diào)遞減，h（x）max=h（1）=11a

31、0， a 2（ 10 分）當(dāng) 1a+1e，即 0ae 1 時，由（）可知， h（x）在 x=1+a處取得極大值也是區(qū)間（0，+）上的最大值， 即 h（ x） max=h（1+a） =aln （1+a） a2=aln （1+a） 1 2，0ln （a+1） 1， h（1+a） 0 在1 ，e 上恒成立， 此時不存在 x0 使 h（ x0 ） 0 成立（ 11 分）綜上可得，所求a 的取值范圍是或 a 2（ 12 分）6（ 2017?佛山一模）設(shè)函數(shù)f （x）=eax+lnx ，其中 a 0，e 是自然對數(shù)的底數(shù)（）若 f （ x）是（ 0，+）上的單調(diào)函數(shù)，求 的取值范圍；（）若 0，證明：函數(shù)

32、f （x）有兩個極值點ax解：（） f （ x）=ae +=，（ x 0），若 0，則 f （ x） 0，則 f （x）在（ 0，+）遞減，ax若 0，令 g（x）=axe +，其中 a 0， x 0，ax則 g（ x）=ae （1+ax），令 g（ x）=0，解得： x=，故 x（ 0，）時， g（ x） 0， g（ x）遞減， x（，+）時， g（ x） 0，g（x）遞增，故 x=時， g（x）取極小值也是最小值g（）=，故 0 即 時， g（ x） 0，此時 f （ x） 0， f （ x）在（ 0，+）遞增， 綜上，所求 的范圍是（， 0 ， +）；ax（） f （ x）=ae +=，

33、（ x0），ax令 g（ x）=axe +，其中 a0，x0，ax求導(dǎo)得： g（ x）=ae （ 1+ax），令 g（ x）=0，解得： x=，x（ 0，）時， g（ x） 0，g（x）遞減， x（，+）時， g（ x） 0，g（x）遞增，x=時， g（x）取得極小值，也是最小值g（）=，0， g（）=0，又 g（ 0）= 0，g（）g（0） 0，函數(shù) f （x）有兩個極值點7（ 2017?南充模擬）已知函數(shù)（ a 為常數(shù)， a 0）（）當(dāng) a=1 時，求函數(shù) f （x）在點（ 3， f （ 3）的切線方程（）求 f （ x）的單調(diào)區(qū)間；3（）若 f （ x）在 x0 處取得極值，且，而 f

34、（ x） 0 在e+2 ，e +2 上恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍（其中e 為自然對數(shù)的底數(shù)） 解：（x2）（）當(dāng) a=1 時， f'（3）=2.，所以，函數(shù) f （x）在點（ 3，f （ 3）處的切線方程為：，即 4x+2y3=0（ 3 分）（）=， 因為 x2，所以 x20，2當(dāng) a0 時，（ x1） （ a+1）=x（ x 2） a0 在 x 2 上成立， 所以 f'（ x）當(dāng) x2 恒大于 0，故 f （ x）在（ 2，+）上是增函數(shù)（ 5 分）當(dāng) a0 時，因為 x2，所以， a（ x2） 0，當(dāng)時， f'（x） 0，f （x）為減函數(shù)；當(dāng)時， f'

35、（x） 0，f （x）為增函數(shù)（ 7 分）綜上：當(dāng) a 0 時， f （x）在（ 2， +）上為增函數(shù)；當(dāng) a 0 時， f （x）在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)（ 8 分）3（）由（）知x0 處有極值，故 a0，且， 因為且 e+2 2，所以 f （x）在e+2 ，e +2 上單調(diào)（ 10 分）3當(dāng)e+2 ，e +2 為增區(qū)間時， f （x） 0 恒成立，則有3當(dāng)e+2 ，e +2 為減區(qū)間時， f（x）0 恒成立，則有解集為空集63綜上：當(dāng) a e +2e 時滿足條件（ 12 分）8（ 2017?本溪模擬）已知函數(shù)（1） 若 g（x）在點（ 1，g（1）處的切線方程為8x 2y3=0，求 a，

36、b 的值；（2） 若 b=a+1， x1，x2 是函數(shù) g（x）的兩個極值點，試比較4 與 g（x1） +g（x2）的大?。?）根據(jù)題意可求得切點，由題意可得，即，解得 a=1，b=1（ 3 分）2（2）證明： b=a+1，則 根據(jù)題意可得 x ax+a=0 在（ 0，+）上有兩個不同的根x1 ，x2即，解得 a 4，且 x1+x2=a， x1 x2=a（ 5 分）（ 6 分）令，則 f'（x）=lnx+1 x1=lnx x， 令 h（ x）=lnx x，則當(dāng) x4 時，h（x）在（ 4，+）上為減函數(shù)，即h（ x） h（4）=ln4 4 0， f'（x） 0，f （x）在（

37、4，+）上為減函數(shù)，即f （ x） f （4）=8lnx 12，g（x1）+g（x2） 8ln2 12，（ 10 分）又，即，g（x1）+g（x2） 4（ 12 分）9（ 2017?本溪模擬）已知函數(shù)f （ x）=xalnx 1，其中 a 為實數(shù)（）求函數(shù) g（x）的極值；（）設(shè) a 0，若對任意的 x1、x2 3 ， 4 （x1x2），恒成立，求實數(shù) a 的最小值解：（），令 g' （x）=0，得 x=1，列表如下：x（， 1）1（1，+）g'（x）+0g（x）極大值當(dāng) x=1 時， g（x）取得極大值 g（ 1） =1，無極小值；（ 4 分）（）當(dāng) m=1時， a 0 時，

38、 f （x）=x alnx 1， x（ 0，+），在3 ，4 恒成立， f （x）在3 ，4 上為增函數(shù)， 設(shè)，在3 ，4 上恒成立，h（x）在3 ，4 上為增函數(shù)，不妨設(shè)x2x1，則等價于： f （x2） f （x1） h（ x2 ） h（x1），即 f （ x2 ） h（x2） f （ x1 ） h（x1），（ 6 分）設(shè)，則 u（x）在3 ，4 上為減函數(shù)，在3 ，4 上恒成立，恒成立，x3 ，4 ，（ 8 分）設(shè)， v' （x） 0， v（x）為減函數(shù)，v（x）在3 ，4 上的最大值，a 的最小值為（ 12 分）10（ 2017?瀘州模擬）已知函數(shù)f （x）=xlnx k（x1

39、）（1） 求 f （x）的單調(diào)區(qū)間；并證明lnx+2（e 為自然對數(shù)的底數(shù)）恒成立；（2） 若函數(shù) f（x）的一個零點為 x（1x1 1）， f' （x）的一個零點為x0 ，是否存在實數(shù) k，使=k，若存在，求出所有滿足條件的k 的值；若不存在，說明理由 解：（ 1） f （ x）=lnx+1 k，x（ 0，ek 1）時， f （ x） 0，此時 h（ x）遞減，x（ ek 1， +）時， f （ x） 0，此時 h（x）遞增， 令 k=2，則 f （ x）=xlnx 2（x1），故 x=e 時， f （ x）有最小值是 f （e），故 f （ x）=xlnx 2（x1）f （e）=2

40、e， 即 lnx+ 2 恒成立；（2）由題意得： x1lnx 1 k（x1 1） =0， lnx 0+1k=0，假設(shè)存在 k，使得=k，（ k0）成立，消元得： ek 1lnk ek 1+1=0， 設(shè) m（ k）=ek 1lnk ek1 +1，k1則 m（ k）=e（lnk+1），設(shè) f（ k）=lnk+1， 則 f（ x）=，k（ 0，1）時， f（ x） 0，即此時函數(shù) f（k）遞減， k（ 1，+）時， f（ x） 0，此時函數(shù) f（k）遞增，f（k） f（ 1） =0，m（ k） 0，故函數(shù) m（k）在（ 0，+）遞增，m（1）=0， k=1，k1但 k=1 時， x1 =e故 k 不

41、存在k=1，與已知 x11 矛盾，x211（ 2016?新課標(biāo)）已知函數(shù)f （x）=（x2）e +a（x1） （）討論 f （x）的單調(diào)性；（）若 f （ x）有兩個零點，求a 的取值范圍x2解：（）由 f （x）=（x2） e +a（x1） ，xx可得 f （ x）=（x1）e +2a（x1）=（x1）（e +2a），當(dāng) a0 時，由 f （ x） 0，可得 x 1；由 f （ x） 0，可得 x 1， 即有 f （x）在（， 1）遞減；在（ 1，+）遞增；當(dāng) a0 時，若 a=，則 f （ x） 0 恒成立，即有f （ x）在 r上遞增； 若 a時，由 f （ x） 0，可得 x 1 或

42、xln （ 2a）；由 f （ x） 0，可得 1xln （ 2a）即有 f （x）在（， 1），（ ln （ 2a）， +）遞增； 在（ 1， ln （ 2a）遞減；若a0，由 f （ x） 0，可得 xln （ 2a）或 x1；由 f （ x） 0，可得 ln （ 2a） x1即有 f （x）在（， ln （ 2a），（ 1，+）遞增；在（ ln （ 2a）， 1）遞減；（）由（）可得當(dāng)a0 時， f （x）在（， 1）遞減；在（ 1，+）遞增，且 f （1）=e0，x+， f （x） +； x， f （x）+ f （x）有兩個零點；x當(dāng) a=0 時， f （x）=（x2） e ，所以 f

43、 （x）只有一個零點x=2；當(dāng) a0 時，若 a時， f （ x）在（ 1，ln （ 2a）遞減，在（， 1），（ ln （ 2a）， +）遞增，又當(dāng) x1 時， f （ x） 0，所以 f （ x）不存在兩個零點；當(dāng) a時， f （ x）在（ 1，+）單調(diào)遞增，又x1 時， f （x）0，所以 f （x）不存在兩個零點綜上可得， f （ x）有兩個零點時， a 的取值范圍為（ 0，+）212（ 2016?四川）設(shè)函數(shù) f （x）=ax a lnx ，g（ x）=，其中 a r，e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù)（）討論 f （x）的單調(diào)性；（）證明：當(dāng)x 1 時， g（x） 0；（）確定 a 的

44、所有可能取值，使得f （x） g（ x）在區(qū)間（ 1， +）內(nèi)恒成立2（）解：由 f （x）=ax alnx ，得 f （ x）=2ax=（x0），當(dāng) a 0 時， f （ x） 0 在（ 0，+）成立，則 f （x）為（ 0， +）上的減函數(shù)； 當(dāng) a 0 時，由 f （ x）=0，得 x=，當(dāng) x（ 0，）時， f （ x） 0，當(dāng) x（，+）時， f （ x） 0， 則 f （ x）在（ 0，）上為減函數(shù)，在（，+）上為增函數(shù)；綜上，當(dāng) a 0 時， f （x）為（ 0，+）上的減函數(shù)，當(dāng)a 0 時， f （x）在（ 0，）上為減函數(shù)，在（，+）上為增函數(shù)；（）證明：要證g（x） 0（x

45、1），即0，即證，也就是證，令 h（ x）=，則 h（ x）=，h（x）在（ 1，+）上單調(diào)遞增，則h（ x） min=h（1）=e， 即當(dāng) x1 時， h（ x） e，當(dāng) x 1 時， g（x） 0；（）解：由 f （x） g（ x），得， 設(shè) t （ x）=，由題意知， t （ x） 0 在（ 1，+）內(nèi)恒成立，t （1）=0，有 t （ x）=2ax=0 在（ 1， +）內(nèi)恒成立，令 （ x）=，則 （ x）=2a=， 當(dāng) x 2 時，（ x） 0，令 h（ x）=，h（ x）=，函數(shù)在 1 ， 2）上單調(diào)遞增， h（x）min=h（1）=1 又 2a1，e1 x 0， 1x2，（ x）

46、 0，綜上所述， x 1，（ x） 0，（ x）在區(qū)間（ 1， +）單調(diào)遞增，t （ x）t （ 1） 0，即 t （x）在區(qū)間（ 1，+）單調(diào)遞增，a13（ 2016?天津）設(shè)函數(shù)f （x）=（x1）3ax b， x r，其中 a，br（1）求 f （x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若 f （x）存在極值點 x0 ，且 f （ x1 ）=f （ x0），其中 x1x0，求證： x1+2x0=3；（3）設(shè) a0，函數(shù) g（x）=|f （x）| ，求證： g（x）在區(qū)間 0 ，2 上的最大值不小于3解：（ 1）函數(shù) f （ x） =（ x1） ax b 的導(dǎo)數(shù)為f （ x）=3（x1）2 a，當(dāng) a 0

47、時， f （ x） 0，f （ x）在 r上遞增；當(dāng) a 0 時，當(dāng) x1+或 x 1時， f （ x） 0， 當(dāng) 1x1+，f （ x） 0，可得 f （x）的增區(qū)間為（， 1），（ 1+，+），減區(qū)間為（ 1，1+）；2（2）證明： f （ x0 ）=0，可得 3（x0 1） =a，32232由 f （ x0）=（x01） 3x0 （x01） b=（x0 1） （ 2x01） b，220f （32x）=（22x ） 3（32x ）（x1） b0000=（x1） （88x9+6x ） b=（x1） （ 2x1） b，0000即為 f （32x0）=f （ x0 ）=f （x1）， 即有 32

48、x0=x1，即為 x1 +2x0=3；（3）證明：要證 g（x）在區(qū)間 0 ， 2 上的最大值不小于， 即證在0 ， 2 上存在 x1， x2 ，使得 f （ x1 ） f （x2）當(dāng) a 3 時， f （x）在0 ，2 遞減， f （2）=12a b， f （ 0）=1b，f （0） f （2）=2a 2 4，遞減，成立；3當(dāng) 0 a 3 時， f （1）=（） a（ 1） b=a+ab= a b，f （1+） =（） 3a（1+） b= a a b=ab，f （2）=1 2ab，f （0）=1b，f （2） f （0）=22a，若 0 a時， f （2） f （ 0） =22a成立；若 a時， f （1） f （ 1+）=成立 綜上可得， g（ x）在區(qū)間 0 ，2 上的最大值不小于14（ 2016?新課標(biāo)）設(shè)函數(shù)f （x）=acos2x+（ a 1）（cosx+1），其中 a 0，記|f （ x）| 的最大值為 a（）求 f （ x）；（）求 a；（）證明： | f （ x）| 2a（i ）解： f （ x）=2asin2x （ a1）sinx （ii ）當(dāng) a 1 時，|f（x）|=|acos2x+ （ a 1）（cosx+1） | a|cos2x|+ （ a 1） | （ cos