新第27章 相似 專項訓練3（含答案）

1、第27章 相似 專項訓練專訓1證比例式或等積式的技巧名師點金：證比例式或等積式，若所遇問題中無平行線或相似三角形，則需構造平行線或相似三角形，得到成比例線段；若比例式或等積式中的線段分布在兩個三角形或不在兩個三角形中，可嘗試證這兩個三角形相似或先將它們轉(zhuǎn)化到兩個三角形中再證兩三角形相似，若在兩個明顯不相似的三角形中，可運用中間比代換 構造平行線法1如圖，在abc中，d為ab的中點，df交ac于點e，交bc的延長線于點f，求證：ae·cfbf·ec.(第1題)2如圖，已知abc的邊ab上有一點d，邊bc的延長線上有一點e，且adce，de交ac于點f，試證明：ab·

2、dfbc·ef.(第2題) 三點找三角形相似法3如圖，在abcd中，e是ab延長線上的一點，de交bc于f.求證：.(第3題)4如圖，在abc中，bac90°，m為bc的中點，dmbc交ca的延長線于d，交ab于e.求證：am2md·me.(第4題) 構造相似三角形法5如圖，在等邊三角形abc中，點p是bc邊上任意一點，ap的垂直平分線分別交ab，ac于點m，n.求證：bp·cpbm·cn.(第5題) 等比過渡法6如圖，在abc中，abac，debc，點f在邊ac上，df與be相交于點g，且edfabe.求證：(1)defbde；(2)dg&#

3、183;dfdb·ef.(第6題)7如圖，ce是rtabc斜邊上的高，在ec的延長線上任取一點p，連接ap，作bgap于點g，交ce于點d.【來源：21cnj*y.co*m】求證：ce2de·pe.(第7題) 兩次相似法8如圖，在rtabc中，ad是斜邊bc上的高，abc的平分線be交ac于e，交ad于f.求證：.(第8題)9如圖，在abcd中，ambc，ancd，垂足分別為m，n.求證：(1)amband；(2).(第9題) 等積代換法10如圖，在abc中，adbc于d，deab于e，dfac于f.求證：.(第10題) 等線段代換法11如圖，等腰abc中，abac，adb

4、c于點d，點p是ad上一點，cfab，延長bp交ac于點e，交cf于點f，21·cn·jy·com求證：bp2pe·pf.(第11題)12已知：如圖，ad平分bac，ad的垂直平分線ep交bc的延長線于點p.求證：pd2pb·pc.(第12題)專訓2巧用“基本圖形”探索相似條件名師點金：幾何圖形大多數(shù)由基本圖形復合而成，因此熟悉三角形相似的基本圖形，有助于快速、準確地識別相似三角形，從而順利找到解題思路和方法相似三角形的四類結構圖：2-1-c-n-j-y1.平行線型2相交線型3子母型4旋轉(zhuǎn)型 平行線型1如圖，在abc中，be平分abc交ac于點

5、e，過點e作edbc交ab于點d.(1)求證：ae·bcbd·ac；(2)如果sade3，sbde2，de6，求bc的長(第1題) 相交線型2如圖，點d，e分別為abc的邊ac，ab上的點，bd，ce交于點o，且，試問ade與abc相似嗎？請說明理由(第2題) 子母型3如圖，在abc中，bac90°，adbc于點d，e為ac的中點，ed的延長線交ab的延長線于點f.求證：.(第3題) 旋轉(zhuǎn)型4如圖，已知dabeac，adeabc.求證：(1)adeabc；(2).(第4題)專訓3利用相似三角形巧證線段的數(shù)量和位置關系名師點金：判斷兩線段之間的數(shù)量和位置關系是幾何中

6、的基本題型之一由角的關系推出“平行或垂直”是判斷位置關系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判斷數(shù)量關系的常用方法www-2-1-cnjy-com 證明兩線段的數(shù)量關系證明兩線段的相等關系1如圖，已知在abc中，debc，be與cd交于點o，直線ao與bc邊交于點m，與de交于點n.求證：bmmc.(第1題)2如圖，一直線和abc的邊ab，ac分別交于點d，e，和bc的延長線交于點f，且aecebfcf.求證：addb.(第2題)證明兩線段的倍分關系3如圖，在abc中，bdac于點d，ceab于點e，a60°，求證：debc.(第3題)4如圖，am為abc的角平分線，d為ab的中點

7、，ceab，ce交dm的延長線于e.求證：ac2ce.(第4題) 證明兩線段的位置關系證明兩線段平行5如圖，已知點d為等腰直角三角形abc的斜邊ab上一點，連接cd，decd，decd，連接ce，ae.求證：aebc.【出處：21教育名師】(第5題)6在abc中，d，e，f分別為bc，ab，ac上的點，efbc，dfab，連接ce和ad，分別交df，ef于點n，m.(1)如圖，若e為ab的中點，圖中與mn平行的直線有哪幾條？請證明你的結論；(2)如圖，若e不為ab的中點，寫出與mn平行的直線，并證明 (第6題)證明兩線垂直7如圖，在abc中，d是ab上一點，且ac2ab·ad，bc2

8、ba·bd，求證：cdab.(第7題)8如圖，已知矩形abcd，adab，點e，f把ab三等分，df交ac于點g，求證：egdf.(第8題)專訓4相似三角形與函數(shù)的綜合應用名師點金：解涉及相似三角形與函數(shù)的綜合題時，由于這類題的綜合性強，是中考壓軸題重點命題形式之一，因此解題時常結合方程思想、分類討論思想進行解答 相似三角形與一次函數(shù)1如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線yx3與x軸交于點c，與直線ad交于點a，點d的坐標為(0，1)(1)求直線ad的解析式；(2)直線ad與x軸交于點b，若點e是直線ad上一動點(不與點b重合)，當bod與bce相似時，求點e的坐標(第1題) 相似三

9、角形與二次函數(shù)2如圖，直線yx3交x軸于點a，交y軸于點b，拋物線yax2bxc經(jīng)過a，b，c(1，0)三點(1)求拋物線對應的函數(shù)解析式；(2)若點d的坐標為(1，0)，在直線yx3上有一點p，使abo與adp相似，求出點p的坐標(第2題)3如圖，直線y2x2與x軸交于點a，與y軸交于點b，把aob沿y軸翻折，點a落到點c，過點b的拋物線yx2bxc與直線bc交于點d(3，4)(1)求直線bd和拋物線對應的函數(shù)解析式；(2)在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在一點m，作mn垂直于x軸，垂足為點n，使得以m，o，n為頂點的三角形與boc相似？若存在，求出點m的坐標；若不存在，請說明理由(第3題)

10、相似三角形與反比例函數(shù)4如圖，矩形oabc的頂點a，c分別在x軸和y軸上，點b的坐標為(2，3)，雙曲線y(x>0)經(jīng)過bc的中點d，且與ab交于點e，連接de.(1)求k的值及點e的坐標；(2)若點f是oc邊上一點，且fbcdeb，求直線fb對應的函數(shù)解析式(第4題)專訓5全章熱門考點整合應用名師點金：本章主要內(nèi)容為：平行線分線段成比例，相似三角形的判定及性質(zhì)，位似圖形及其畫法等，涉及考點、考法較多，是中考的高頻考點其主要考點可概括為：3個概念、2個性質(zhì)、1個判定、2個應用、1個作圖、1個技巧 3個概念成比例線段1下列各組線段，是成比例線段的是()a3 cm，6 cm，7 cm，9 c

11、mb2 cm，5 cm，0.6 dm，8 cmc3 cm，9 cm，1.8 dm，6 cmd1 cm，2 cm，3 cm，4 cm2有一塊三角形的草地，它的一條邊長為25 m，在圖紙上，這條邊的長為5 cm，其他兩條邊的長都為4 cm，則其他兩邊的實際長度都是_m.相似多邊形3如圖，已知11，22，33，44，dd，試判斷四邊形abcd與四邊形abcd是否相似，并說明理由(第3題)位似圖形4如圖，在abc中，a，b兩個頂點在x軸的上方，點c的坐標是(1，0)以點c為位似中心，在x軸的下方作abc的位似圖形，并把abc的邊放大到原來的2倍，記所得的像是abc.設點b的對應點b的坐標是(a，b)，

12、求點b的坐標(第4題) 2個性質(zhì)平行線分線段成比例的性質(zhì)5如圖，在rtabc中，a90°，ab8，ac6.若動點d從點b出發(fā)，沿線段ba運動到點a為止，運動速度為每秒2個單位長度過點d作debc交ac于點e，設動點d運動的時間為x秒，ae的長為y.(1)求出y關于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當x為何值時，bde的面積有最大值，最大值為多少？ (第5題)相似三角形的性質(zhì)6如圖，已知d是bc邊上的中點，且adac，debc，de與ba相交于點e，ec與ad相交于點f.(1)求證：abcfcd；(2)若sfcd5，bc10，求de的長(第6題) 1個判定相似三角形的判定

13、7如圖，acb為等腰直角三角形，點d為斜邊ab上一點，連接cd，decd，decd，連接ae，過c作coab于o.求證：aceocd.(第7題)8.如圖，在o的內(nèi)接abc中，acb90°，ac2bc，過點c作ab的垂線l交o于另一點d，垂足為點e.設p是上異于點a，c的一個動點，射線ap交l于點f，連接pc與pd，pd交ab于點g.21*cnjy*com(1)求證：pacpdf；(2)若ab5，求pd的長(第8題) 2個應用測高的應用9如圖，在離某建筑物ce 4 m處有一棵樹ab，在某時刻，1.2 m的竹竿fg垂直地面放置，影子gh長為2 m，此時樹的影子有一部分落在地面上，還有一部

14、分落在建筑物的墻上，墻上的影子cd高為2 m，那么這棵樹的高度是多少？(第9題)測寬的應用10如圖，一條小河的兩岸有一段是平行的，在河的一岸每隔6 m有一棵樹，在河的對岸每隔60 m有一根電線桿，在有樹的一岸離岸邊30 m處可看到對岸相鄰的兩根電線桿恰好被這岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，求河的寬度(第10題) 1個作圖作一個圖形的位似圖形11如圖，在方格紙中(每個小方格的邊長都是1個單位長度)有一點o和abc.請以點o為位似中心，把abc縮小為原來的一半(不改變方向)，畫出abc的位似圖形(第11題) 1個技巧 證明四條線段成比例的技巧12如圖，已知abc，bac的平分線與da

15、c的平分線分別交bc及bc的延長線于點p，q.(1)求paq的度數(shù)；(2)若點m為pq的中點，求證：pm2cm·bm.(第12題)答案(第1題)1證明：如圖，過點c作cmab交df于點m.cmab，cmfbdf.又cmad，adecme.d為ab的中點，.，即ae·cfbf·ec.2證明：過點d作dgbc，交ac于點g，dgfecf，adgabc.，.adce，.，即ab·dfbc·ef.點撥：過某一點作平行線，構造出“a”型或“x”型的基本圖形，通過相似三角形轉(zhuǎn)化線段的比，從而解決問題3證明：四邊形abcd是平行四邊形aedc，ac.cdfe

16、，daefcd，.4證明：dmbc，bac90°，bbem90°，ddea90°.bemdea，bd.又m為bc的中點，bac90°，bmam.bbam.bamd.又amedma.amedma.am2md·me.(第5題)5證明：如圖，連接pm，pn.mn是ap的垂直平分線，mamp，nanp.12，34.又abc是等邊三角形，bc1360°.2460°.56120°.又67180°c120°.57.bpmcnp.，即bp·cpbm·cn.6證明：(1)abac，abcacb

17、.debc，abcbde180°，acbced180°，cedbde.又edfabe，defbde.(2)由defbde得，de2db·ef.又由defbde，得beddfe.gdeedf，gdeedf.，de2dg·df，dg·dfdb·ef.7證明：bgap，peab，aepbedagb90°.ppab90°，pababg90°.pabg.aepdeb.，即ae·bepe·de.又ceab，ceabec90°，cabace90°.又acb90°，cab

18、cbe90°.acecbe.aecceb.，即ce2ae·be.ce2de·pe.8證明：易得bacbdf90°.be平分abc，abedbf，bdfbae，得.bacbda90°，abcdba.abcdba，得，.9證明：(1)四邊形abcd為平行四邊形bd.ambc，ancd，amband90°，amband.(2)由amband得，bamdan.又adbc，.ambc，adbc，ambmad90°.bbammannad90°，bman.amnbac，.10證明：adbc，deab，adbaed90°

19、.又baddae，adeabd，得ad2ae·ab，同理可得ad2af·ac，ae·abaf·ac，.11證明：連接pc，如圖abac，adbc，ad垂直平分bc，abcacb，bpcp，12，abc1acb2，即34.cfab，3f，4f.又cpfcpe，cpfepc，即cp2pf·pe.bpcp，bp2pe·pf.(第11題)(第12題)12證明：如圖，連接pa，則papd，pdapad.bbaddaccap.又ad平分bac，baddac.bcap.又apcbpa，pacpba，即pa2pb·pc，pd2pb·

20、;pc.1(1)證明：edbc，adeabc.be平分abc，dbeebc.edbc，debebc.dbedeb.debd.，即ae·bcbd·ac.(2)解：設hade表示ade中de邊上的高，hbde表示bde中de邊上的高，habc表示abc中bc邊上的高sade3，sbde2，.adeabc，.de6，bc10.2解：相似理由如下：因為，boecod，doecob，所以boecod，doecob.所以ebodco，deocbo.因為adedcodeo，abcebocbo.所以adeabc.又因為aa，所以adeabc.2·1·c·n&#

21、183;j·y3證明：bac90°，adbc于點d，bacadb90°.又cbaabd(公共角)，abcdba.，badc.adbc于點d，e為ac的中點，deec.bdfcdec.bdfbad.又ff，dbfadf.(第3題)點撥：當所證等積式或比例式運用“三點定型法”不能定型或能定型而不相似，條件又不具備成比例線段時，可考慮用中間比“搭橋”，稱為“等比替換法”，有時還可用“等積替換法”，例如：如圖，在abc中，adbc于點d，deab于點e，dfac于點f，求證：ae·abaf·ac.可由兩組“射影圖”得ae·abad2，af&#

22、183;acad2，ae·abaf·ac.21世紀教育網(wǎng)版權所有4證明：(1)dabeac，daebac.又adeabc，adeabc.(2)adeabc，.dabeac，adbaec.1證明：debc.neombo.同理可得.debc，aneamc.同理可得，.mc2bm2.bmmc.(第2題)2證明：如圖，過c作cgab交df于g點cgab，adbd.3證明：bdac，ceab，a60°，abdace30°，.又aa，adeabc，debc.21*cnjy*com4證明：如圖，延長ce，交am的延長線于f.abcf，bamf，bdmcem，bamcf

23、m，.又ba2bd，cf2ce.又am平分bac，bamcam，camf，accf，ac2ce.(第4題)(第5題)5證明：如圖，過點c作coab于點o.decd，decd，ecdced45°.abc是等腰直角三角形，cabb45°.cabced.又aocedc90°，acoecd.又aceecoocdeco45°，aceocd.aceocd.caecod90°.又acb90°，caeacb180°.aebc.6解：(1)mnaced.證明如下：efbc，aemabd，amfadc，.e為ab的中點，efbc，f為ac的中點

24、又dfab，d為bc的中點，emmf.f為ac的中點，fnae，n為ec的中點，從而mnac.又d為bc的中點，e為ab的中點，edac，mnaced.(2)mnac.證明如下：efbc，aemabd，amfadc，.又dfab，.又menfec，menfec.emnefc.mnac.7證明：ac2ab·ad，.又aa，acdabc.adcacb.又bc2ba·bd，.又bb，bcdbac.bdcbca.adcbdc.bdcadc180°，adcbdc90°.cdab.8證明：adab，點e，f把ab三等分，設aeeffbadk，則abcd3k.cdab

25、，dcgfag，cdgafg.afgcdg，.設fg2m，則dg3m，dffgdg2m3m5m.在rtafd中，df2ad2af25k2，dfk.5mk.mk.fgk.，.又afdgfe，afdgfe.egfdaf90°.egdf.1解：(1)設直線ad的解析式為ykxb(k0)將d(0，1)a代入解析式得：解得直線ad的解析式為yx1.(2)直線ad的解析式為yx1.令y0，得x2.得b(2，0)，即ob2.直線ac為yx3.令y0，得x3.得c(3，0)，即bc5設e當e1cbc時，如圖，bodbce190°，dboe1bc.bodbce1.www.21-cn-此時點c

26、和點e1的橫坐標相同將x3代入yx1，解得y.e1.當ce2ad時，如圖，bodbe2c90°，dbocbe2，bodbe2c.過點e2作efx軸于點f，則e2fcbfe290°.又e2bfbe2f90°，ce2fbe2f90°.e2bfce2f.e2bfce2f，則.即e2f2cf·bf.(3x)(x2)解得：x12，x22(舍去)e2(2，2)當ebc90°時，此情況不存在綜上所述：e1或e2(2，2)(第1題)(第2題)2解：(1)由題意得a(3，0)，b(0，3)，拋物線經(jīng)過a，b，c三點，把a(3，0)，b(0，3)，c(1

27、，0)三點的坐標分別代入yax2bxc，得方程組解得拋物線對應的函數(shù)解析式為yx24x3.(2)如圖，由題意可得abo為等腰直角三角形若aboap1d，則，dp1ad4，p1(1，4)；若aboadp2，過點p2作p2mx軸于m，abo為等腰直角三角形，adp2是等腰直角三角形，由三線合一可得dmam2p2m，即點m與點c重合，p2(1，2)，點p的坐標為(1，4)或(1，2)21教育網(wǎng)3解：(1)易得a(1，0)，b(0，2)，c(1，0)設直線bd對應的函數(shù)解析式為ykxm.把b(0，2)，c(1，0)的坐標分別代入ykxm，得解得直線bd對應的函數(shù)解析式為y2x2.拋物線對應的函數(shù)解析式

28、為yx2bxc.把b(0，2)，d(3，4)的坐標分別代入yx2bxc，得解得拋物線對應的函數(shù)解析式為yx2x2.(2)存在，如圖，當monbco時，即，mn2on.設ona，則m(a，2a)，a2a22a，解得a12(不合題意，舍去)，a21，m(1，2)；如圖，當moncbo時，即，mnon.設onn，則m，n2n2，解得n1(不合題意，舍去)，n2，m(，)存在這樣的點m(1，2)或(第3題)4解：(1)在矩形oabc中，點b的坐標為(2，3)，bc邊的中點d的坐標為(1，3)雙曲線y經(jīng)過點d(1，3)，3，k3，y.點e在ab上，點e的橫坐標為2.又雙曲線y經(jīng)過點e，點e的縱坐標為y，

29、點e的坐標為.21·世紀*教育網(wǎng)(2)易得bd1，be，cb2.fbcdeb，即，cf，of，即點f的坐標為.設直線fb對應的函數(shù)解析式為yk1xb，而直線fb經(jīng)過b(2，3)，f，k1，b，直線fb對應的函數(shù)解析式為yx.1c2203解：四邊形abcd與四邊形abcd相似由已知條件知，dabdab，bb，bcdbcd，dd，且，所以四邊形abcd與四邊形abcd相似【來源：21·世紀·教育·網(wǎng)】4解：如圖，過點b作bmx軸于點m，過點b作bnx軸于點n，則cbmcbn.所以mcncbmbnbcbc.又由已知條件知nca1，bnb，bcbc12，所以mc

30、(a1)bm(b)12.所以mc(a1)，bm.所以mo(a1)1.所以點b的坐標為.(第4題)5解：(1)debc，yx6(0x4)(2)sbde·2x·y·2x·(x2)26，當x2時，sbde有最大值，最大值為6.6(1)證明：如圖，d是bc邊上的中點，debc，ebec，b1.又adac，acd2，abcfcd.(2)解：如圖，過點a作amcb于點m.d是bc邊上的中點，bc2cd.由(1)知abcfcd，.又sfcd5，sabc20.sabcbc·am，am4.debc，ambc，deam，bdebma.由adac，ambc，知dmc

31、dbc.，de.點撥：從復雜的圖形中分析線段的特點和聯(lián)系，找到切入點是解較復雜問題的關鍵(第6題)7證明：acb為等腰直角三角形，ab為斜邊，cab45°.coab.aoc90°.又decd，decd，ced45°，cde90°.caoced，aocedc.acoecd.acoecd，.aceocd.aceocd.8(1)證明：由四邊形apcb內(nèi)接于圓o，得fpcb.又bace90°bce，aceapd，所以apdfpc，所以apddpcfpcdpc，即apcfpd.又pacpdc，所以pacpdf.(2)解：由(1)知pacpdf，所以pcapfd.又paccaf，所以paccaf，所以cafpdf，所以，則pd