新第28章 銳角三角函數(shù) 專項訓(xùn)練2（含答案）

1、第28章 銳角三角函數(shù) 專項訓(xùn)練專訓(xùn)1解直角三角形的幾種常見類型名師點金：解直角三角形是中考的重要內(nèi)容之一，直角三角形邊、角關(guān)系的知識是解直角三角形的基礎(chǔ)解直角三角形時，要注意三角函數(shù)的選取，避免計算復(fù)雜在解題中，若求解的邊、角不在直角三角形中，應(yīng)先添加輔助線，構(gòu)造直角三角形 已知兩直角邊解直角三角形1如圖，在rtabc中，c90°，a，b，c分別為a，b，c的對邊，a2，b6，解這個直角三角形(第1題) 已知一直角邊和斜邊解直角三角形2如圖，acb90°，ab13，ac12，bcmbac，求sin bac的值和點b到直線mc的距離21·cn·jy

2、83;com(第2題) 已知一直角邊和一銳角解直角三角形3如圖，在abc中，b90°，c30°，ab3.(1)求ac的長；(2)求bc的長(第3題)4如圖，在rtabc中，c90°，a30°，bc3，d為ac邊上一點，bdc45°，求ad的長www.21-cn-(第4題) 已知斜邊和一銳角解直角三角形5如圖，在rtabc中，c90°，b45°，a，b，c分別為a，b，c的對邊，c10，解這個直角三角形www-2-1-cnjy-com(第5題)6.如圖，在abc中，c90°，b30°，ad是bac的平分線，

3、與bc相交于點d，且ab4，求ad的長2-1-c-n-j-y(第6題) 已知非直角三角形中的邊(或角或三角函數(shù)值)解直角三角形化斜三角形為直角三角形問題(化斜為直法)7如圖，在abc中，點d是ab的中點，dcac，且tan bcd，求a的三角函數(shù)值(第7題)化解四邊形問題為解直角三角形問題8如圖，在四邊形abcd中，對角線ac，bd交于點e，bac90°，ced45°，dce30°，de，be2.求cd的長和四邊形abcd的面積【來源：21cnj*y.co*m】(第8題)化解方程問題為解直角三角形問題9已知a，b，c分別是abc中a，b，c的對邊，關(guān)于x的一元二次

4、方程a(1x2)2bxc(1x2)0有兩個相等的實數(shù)根，且3ca3b.(1)判斷abc的形狀；(2)求sin asin b的值專訓(xùn)2構(gòu)造三角函數(shù)基本圖形解實際問題的幾種數(shù)學(xué)模型名師點金：解直角三角形及其應(yīng)用是近幾年各地中考命題的熱點之一，考查內(nèi)容不僅有傳統(tǒng)的計算距離、高度、角度的應(yīng)用題，還有要求同學(xué)們根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建三角函數(shù)的基本圖形，建立數(shù)學(xué)模型，將某些簡單的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)問題來求解運用銳角三角函數(shù)知識解決與實際生活、生產(chǎn)相關(guān)的應(yīng)用題是近年來中考的熱點題型【出處：21教育名師】 構(gòu)造一個直角三角形解實際問題1太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、便利、高效

5、等特點，已成為世界各國普遍關(guān)注和重點發(fā)展的新興產(chǎn)業(yè)如圖是太陽能電池板支撐架的截面圖，其中的粗線表示支撐角鋼，太陽能電池板與支撐角鋼ab的長度相同，均為300 cm，ab的傾斜角為30°，beca50 cm，支撐角鋼cd，ef與底座地基臺面接觸點分別為d，f，cd垂直于地面，feab于點e.兩個底座地基高度相同(即點d，f到地面的垂直距離相同)，均為30 cm，點a到地面的垂直距離為50 cm，求支撐角鋼cd和ef的長度各是多少厘米(結(jié)果保留根號)(第1題)2如圖，大樓ab右側(cè)有一障礙物，在障礙物的旁邊有一幢小樓de，在小樓的頂端d處測得障礙物邊緣點c的俯角為30°，測得大樓

6、頂端a的仰角為45°(點b，c，e在同一水平直線上)，已知ab80 m，de10 m，求障礙物b，c兩點間的距離(結(jié)果精確到0.1 m)(參考數(shù)據(jù)：1.414，1.732)(第2題) 構(gòu)造形如“”的兩個直角三角形解實際問題3如圖，“中國海監(jiān)50”正在南海海域a處巡邏，島礁b上的中國海軍發(fā)現(xiàn)點a在點b的正西方向上，島礁c上的中國海軍發(fā)現(xiàn)點a在點c的南偏東30°方向上，已知點c在點b的北偏西60°方向上，且b，c兩地相距120海里(1)求出此時點a到島礁c的距離；(2)若“中國海監(jiān)50”從a處沿ac方向向島礁c駛?cè)?，當?shù)竭_點a時，測得點b在a的南偏東75°的

7、方向上，求此時“中國海監(jiān)50”的航行距離(注：結(jié)果保留根號)21*cnjy*com(第3題)4黔東南州某校吳老師組織九(1)班同學(xué)開展數(shù)學(xué)活動，帶領(lǐng)同學(xué)們測量學(xué)校附近一電線桿的高已知電線桿直立于地面上，某天在太陽光的照射下，電線桿的影子(折線bcd)恰好落在水平地面和斜坡上，在d處測得電線桿頂端a的仰角為30°，在c處測得電線桿頂端a的仰角為45°，斜坡與地面成60°角，cd4 m，請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高(ab)(結(jié)果精確到1 m，參考數(shù)據(jù)：1.4，1.7)【版權(quán)所有：21教育】(第4題)5如圖，防洪大堤的橫斷面是梯形abcd，其中adbc，坡角60

8、6;.汛期來臨前對其進行了加固，改造后的背水面坡角45°.若原坡長ab20 m，求改造后的坡長ae(結(jié)果保留根號)21教育網(wǎng)(第5題) 構(gòu)造形如“”的兩個直角三角形解實際問題6某興趣小組借助無人飛機航拍校園如圖，無人飛機從a處水平飛行至b處需8 s，在地面c處同一方向上分別測得a處的仰角為75°，b處的仰角為30°.已知無人飛機的飛行速度為4 m/s，求這架無人飛機的飛行高度(結(jié)果保留根號)21教育名師原創(chuàng)作品(第6題)7如圖，小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口處，測得正前方旗桿頂部a點的仰角為37°，旗桿底部b點的俯角為45°，升旗時，國旗上端懸

9、掛在距地面2.25米處，若國旗隨國歌聲冉冉升起，并在國歌播放45秒結(jié)束時到達旗桿頂端，則國旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升？(參考數(shù)據(jù)：sin 37°0.60，cos 37°0.80，tan 37°0.75)21世紀教育網(wǎng)版權(quán)所有(第7題) 構(gòu)造形如“”的兩個直角三角形解實際問題8如圖，小剛同學(xué)在廣場上觀測新華書店樓房墻上的電子屏幕cd，點a是小剛的眼睛，測得屏幕下端d處的仰角為30°，然后他正對屏幕方向前進了6米到達b處，又測得該屏幕上端c處的仰角為45 °，延長ab與樓房垂直相交于點e，測得be21米，請你幫小剛求出該屏幕上端與下端之間的距離

10、cd(結(jié)果保留根號)21*cnjy*com(第8題)答案1解：a2，b6，c4.tan a，a30°，b60°.2解：ab13，ac12，acb90°，bc5.sin bac.過點b作bdmc于點d.設(shè)點b到直線mc的距離為d，則bdd，bcmbac，sin bacsin bcm.sin bcm，即，d.即點b到直線mc的距離為.3解：(1)由題意知sin c，即，則ac6.(2)由題意知tan c，即，則bc3.4解：c90°，bdc45°，bc3，cd3.a30°，bc3，tan a，即ac3.adaccd33.5解：b45

11、76;，c90°，c10，a45°.ab5.6解：c90°，b30°，ab4，cab60°，acab·sin 30°4×2.又ad是bac的平分線，cad30°.cos cad，ad4.7解：過點d作cd的垂線交bc于點e，如圖在rtcde中，tan bcd，可設(shè)dex，則cd3x.cdac，deac.又點d為ab的中點，點e為bc的中點deac.ac2de2x.在rtacd中，acd90°，ac2x，cd3x，adx.sin a，cos a，tan a.方法技巧：本題中出現(xiàn)了tan bcd，由

12、于bcd所在的三角形并非直角三角形，因此應(yīng)用正切函數(shù)的定義，構(gòu)造出一個與之相關(guān)的直角三角形進行求解2·1·c·n·j·y(第7題)(第8題)8解：如圖，過點d作dhac于點h.ced45°，dhec，de，ehde·cos 45°×1，dh1.又dce30°，hc，cd2.aeb45°，bac90°，be2，abae2，acaeehhc213，s四邊形abcd×2×(3)×1×(3).方法技巧：題目中所給的有直角和30°，45

13、°角，因此我們可以通過構(gòu)造另一個直角三角形，然后運用特殊角的三角函數(shù)值求出某些邊的長，進而求出四邊形的面積【來源：21·世紀·教育·網(wǎng)】9解：(1)將方程整理，得(ca)x22bx(ac)0，則(2b)24(ca)(ac)4(b2a2c2)方程有兩個相等的實數(shù)根，0，即b2a2c2.abc為直角三角形(2)由3ca3b，得a3c3b.將代入a2b2c2，得(3c3b)2b2c2.4c29bc5b20，即(4c5b)(cb)0.由可知，bc，4c5b.bc.將代入，得ac.在rtabc中，sin asin b.點撥：解決本題的突破口是由一元二次方程根與判別

14、式的關(guān)系得到一個關(guān)于a，b，c的等式從解題過程可以看出，求三角函數(shù)值時，只分析出直角三角形中三邊的比例關(guān)系即可求出其值21·世紀*教育網(wǎng)1解：如圖，過a作agcd于g，則cag30°，在rtacg中，cgacsin 30°50×25，gd503020，cdcggd252045，連接fd并延長與ba的延長線交于h，則h30°，在rtcdh中，ch2cd90，ehecchabbeacch300505090290，在rtefh中，efeh·tan 30°290×.答：支撐角鋼cd和ef的長度各是45 cm， cm.(第1

15、題)2解：如圖，過點d作dfab于點f，過點c作chdf于點h.則debfch10 m，在直角adf中，af80 m10 m70 m，adf45°，dfaf70 m.在直角cde中，de10 m，dce30°，ce10(m)，bcbece70107017.3252.7(m)答：障礙物b，c兩點間的距離約為52.7 m.(第2題)(第3題)3解：(1)如圖所示，延長ba，過點c作cdba交ba延長線于點d，由題意可得：cbd30°，bc120海里，則dc60海里，故cos 30°，解得：ac40，答：點a到島礁c的距離為40海里；(2)如圖所示：過點a作a

16、nbc于點n，可得130°，baa45°，anae，則215°，即ba平分cba，設(shè)aax，則aex，故ca2an2×xx，xx40，解得：x20(3)，答：此時“中國海監(jiān)50”的航行距離為20(3)海里4解：延長ad交bc的延長線于g，作dhbg于h，如圖所示(第4題)在rtdhc中，dch60°，cd4，則chcd·cosdch4×cos 60°2，dhcd·sindch4×sin 60°2，dhbg，g30°，hg6，cgchhg268，設(shè)abx m，abbg，g30&

17、#176;，bca45°，bcx，bgx，bgbccg，xx8，解得：x11(m)答：電線桿的高約為11 m.5解：如圖，過點a作afbc于點f.在rtabf中，abf60°，afab·sin 60°20×10(m)在rtaef中，45°，afef，ae10(m)答：改造后的坡長ae為10 m.(第5題)(第6題)6解：如圖，作adbc于d，bh水平線于h，由題意得：ach75°，bch30°，abch，abc30°，acb45°，ab32 m，adcdab·sin 30°16 m，bdab·cos30°16 m，bccdbd(1616)m，則bhbc·sin 30°(88)m.7解：過點c作cdab于d.在rtbcd中，bd9米，bcd45°，則cdbd9米在rtacd中，cd9米，ac