《小學(xué)奧數(shù)三年級(jí)教案學(xué)案》第02講 尋找規(guī)律（教）

1、學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)：三年級(jí) 課 時(shí) 數(shù)：3學(xué)員姓名：輔導(dǎo)科目：奧數(shù)學(xué)科教師：授課主題第02講尋找規(guī)律授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)教學(xué)目標(biāo)發(fā)現(xiàn)排列規(guī)律，并依據(jù)規(guī)律填寫數(shù)字或算式。授課日期及時(shí)段T（Textbook-Based）同步課堂知識(shí)梳理 按照一定次序排列起來的一列數(shù)，叫做數(shù)列。如自然數(shù)列：1，2，3，4，雙數(shù)列：2，4，6，8，我們研究數(shù)列，目的就是為了發(fā)現(xiàn)數(shù)列中數(shù)排列的規(guī)律，并依據(jù)這個(gè)規(guī)律來填寫空缺的數(shù)。觀察是解決問題的根據(jù)。通過觀察，得以揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一般情況下，我們可以從以下幾個(gè)方面來找規(guī)律：1根據(jù)每組相鄰兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所

2、要填的數(shù)；2根據(jù)相隔的每兩個(gè)數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；3要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律；4數(shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以認(rèn)為是正確的。對于較復(fù)雜的按規(guī)律填數(shù)的問題，我們可以從以下幾個(gè)方面來思考： 1.對于幾列數(shù)組成的一組數(shù)變化規(guī)律的分析，需要我們靈活地思考，沒有一成不變的方法，有時(shí)需要綜合運(yùn)用其他知識(shí)，一種方法不行，就要及時(shí)調(diào)整思路，換一種方法再分析； 2.對于那些分布在某些圖中的數(shù)，它們之間的變化規(guī)律往往與這些數(shù)在圖形中的特殊位置有關(guān)，這是我們解這類題的突破口。 3.對于找到的規(guī)律，應(yīng)該適合這組數(shù)中的所有數(shù)或這組算式中

3、的所有算式。典例分析考點(diǎn)一:發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律例1、填上合適的數(shù)。（1）3，6，9，12，（ ），（ ）（2）1，2，4，7，11，（ ），（ ）（3）2，6，18，54，（ ），（ ）【解析】（1）前一個(gè)數(shù)加上3就等于后一個(gè)數(shù)，也就是相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是3.根據(jù)這一規(guī)律，可以后推知括號(hào)里填15和18. （2）第一個(gè)數(shù)增加1等于第二個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)增加2等于第三個(gè)數(shù)，也就是每相鄰兩個(gè)數(shù)的差依次是1,2,3,4.，這樣下一個(gè)數(shù)應(yīng)比11大5，填16；再下一個(gè)數(shù)應(yīng)比16大6，填22.（3）后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的3倍，162和486例2、找出規(guī)律，再在括號(hào)里填上合適的數(shù)。（1）15，2，12，2，9，2，（ ），

4、（ ）（2）21，4，18，5，15，6，（ ），（ ）（3）3，4，7，3，4，10 , 3 , 4 ,13，（ ），（ ）（4）187，286，385，（ ），（ ）【解析】（1）第一個(gè)數(shù)減3是第三個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)減3是第5個(gè)數(shù)，第二、第四、第六個(gè)數(shù)不變。應(yīng)填6,2. （2）第一個(gè)數(shù)減3是第三個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)減3是第5個(gè)數(shù)；第二個(gè)數(shù)加1是第四個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)加1是第六個(gè)數(shù)。應(yīng)填12, （3）每三個(gè)為一組，每組中的前兩個(gè)數(shù)都是3,4，每組的第三個(gè)數(shù)都等于前一組第三個(gè)數(shù)加上3的和。填3, 4，16（4）每個(gè)數(shù)十位上的數(shù)字8不變，百位上的數(shù)字依次是1,2,3.,個(gè)位上的數(shù)字依次是7,6,5.，并且百位

5、上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字的和是8，應(yīng)填484,583例3、 1，1，2，3，5，8，13，（   ），34，55中，括號(hào)里應(yīng)填什么數(shù)？【解析】經(jīng)仔細(xì)觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和。根據(jù)這一規(guī)律，括號(hào)里應(yīng)填的數(shù)為：8+13=21或3413=21上面這個(gè)數(shù)列叫做斐波那切（意大利古代著名數(shù)學(xué)家）數(shù)列，也叫做“兔子數(shù)列”。例4、下面每個(gè)括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)都是按一定的規(guī)律組合的，在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（8，4）（5，7）（10，2）（，9）【解析】經(jīng)仔細(xì)觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：每個(gè)括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)相加的和都是12。根據(jù)這一規(guī)律，里所填的數(shù)應(yīng)為：129=3考點(diǎn)二

6、：發(fā)現(xiàn)規(guī)律填寫圖形內(nèi)空缺的數(shù)例1、根據(jù)前面圖形里的數(shù)的排列規(guī)律，填入適當(dāng)?shù)臄?shù)。510914712111691413（1） 9327124363612（3） 【解析】（1）橫著看，圖形中右邊的數(shù)比左邊的數(shù)多5；豎著看，下面的數(shù)比上面的數(shù)多4；斜著看，和相等。根據(jù)這一規(guī)律，應(yīng)填18.（2）通過觀察可以發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)圖形中的數(shù)之間有這樣的關(guān)系:4×8÷2=16,7×8÷4=14，也就是說中心的數(shù)等于上面的數(shù)與左下方的數(shù)的乘積除以右下方的數(shù)。9×4÷3=12，應(yīng)填12例2、按規(guī)律填數(shù)。23312541412346433524【解析】 通過觀察可以

7、發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)圖形里的數(shù)之間有一定的聯(lián)系：左上方的數(shù)十位上的數(shù)字和右上方的數(shù)個(gè)位上的數(shù)字分別與下面的數(shù)的千位、個(gè)位上的數(shù)字相同，左上方的數(shù)十位上的數(shù)字分別與右上方的數(shù)十位上的數(shù)字之和與下面的數(shù)百位上的數(shù)字相同，左上方的數(shù)個(gè)位上的數(shù)字與右上方的數(shù)個(gè)位上的數(shù)字之和與下面的數(shù)十位上的數(shù)字相同。根據(jù)這一規(guī)律，應(yīng)填3594.例3、根據(jù)下表中的排列規(guī)律，在空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。【解析】經(jīng)仔細(xì)觀察、分析表格中的數(shù)可以發(fā)現(xiàn)：12+6=18，8+7=15，即每一橫行中間的數(shù)等于兩邊的兩個(gè)數(shù)的和。依此規(guī)律，空格中應(yīng)填的數(shù)為：4+8=12。例4、根據(jù)前面圖形中的數(shù)之間的關(guān)系，想一想第三個(gè)圖形的括號(hào)里應(yīng)填什么數(shù)？【解析】經(jīng)

8、仔細(xì)觀察、分析可以發(fā)現(xiàn)前面兩個(gè)圈中三個(gè)數(shù)之間有這樣的關(guān)系：5×12÷10=6    4×20÷10=8根據(jù)這一規(guī)律，第三個(gè)圈中右下角應(yīng)填的數(shù)為：8×30÷10=24.考點(diǎn)三：根據(jù)規(guī)律速求復(fù)雜算式的值例1、先計(jì)算下面一組算式的第一題，然后找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律直接寫出后幾題的得數(shù)。12345679×9=      12345679×18= 12345679×54=      

9、  12345679×81=【解析】題中每個(gè)算式的第一個(gè)因數(shù)都是12345679，它是有趣的“缺8數(shù)”，與9相乘，結(jié)果是由九個(gè)1組成的九位數(shù)，即：111111111。不難發(fā)現(xiàn)，這組題得數(shù)的規(guī)律是：只要看每道算式的第二個(gè)因數(shù)中包含幾個(gè)9，乘積中就包含幾個(gè)111111111。因?yàn)椋?2345679×9=111111111所以：12345679×18=12345679×9×2=22222222212345679×54=12345679×9×6=666666666  12345679×81=1

10、2345679×9×9=999999999.例2、找規(guī)律計(jì)算。（1） 8118=（81）×9=7×9=63（2） 7227=（72）×9=5×9=45 （3） 6336=（）×9=×9=【解析】6:；3；27經(jīng)仔細(xì)觀察、分析可以發(fā)現(xiàn)：一個(gè)兩位數(shù)與交換它的十位、個(gè)位數(shù)字位置后的兩位數(shù)相減，只要用十位與個(gè)位數(shù)字的差乘9，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的差。例3、計(jì)算（1）26×11    （2）38×11【解析】一個(gè)兩位數(shù)與11相乘，只要把這個(gè)兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字的和插入這兩個(gè)數(shù)字中

11、間，就是所求的積。（1） 26×11=2（2+6）6=286（2） 38×11=3（3+8）8=418注意：如果兩個(gè)數(shù)字的和滿十，要向前一位進(jìn)一。例4、下面數(shù)列的每一項(xiàng)由3個(gè)數(shù)組成的數(shù)組表示，它們依次是：（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）問：第100個(gè)數(shù)組內(nèi)3個(gè)數(shù)的和是多少？【解析】分析一：數(shù)組的第1個(gè)分量依次是：1，2，3構(gòu)成等差數(shù)列，所以第 100個(gè)數(shù)組中的第 1個(gè)數(shù)為100；數(shù)組的第2個(gè)分量 3，6，9也構(gòu)成等差數(shù)列，所以第100個(gè)數(shù)組中的第2個(gè)數(shù)為3×100=300；同理，第3個(gè)分量為5×100=500，所以，第100個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)

12、數(shù)的和為100+300+500=900。解：第100個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和為100+300+500=900。分析二：以不去求組里的三個(gè)數(shù)而直接求和，考察各組的三個(gè)數(shù)之和。第1組：1+3+5=9，第2組：2+6+10=18第3組：3+ 9+ 15= 27，9，18，27構(gòu)成一等差數(shù)列，第100項(xiàng)為9×100=900，即第100個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和為900。解：9×100=900，即第100個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和為900?？键c(diǎn)四：用周期規(guī)律解決數(shù)學(xué)問題例1、 求67999的個(gè)位數(shù)字?！窘馕觥恳?yàn)?7的個(gè)位數(shù)是7，所以67n的個(gè)位數(shù)隨著n的增大，按7，9，3，1四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)。999

13、÷42493，所以67999的個(gè)位數(shù)字與73的個(gè)位數(shù)字相同，即67999的個(gè)位數(shù)字是3。例2、求291+3291的個(gè)位數(shù)字?！窘馕觥恳?yàn)?n的個(gè)位數(shù)字按2，4，8，6四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91÷4223，所以，291的個(gè)位數(shù)字與23的個(gè)位數(shù)字相同，等于8。類似地，3n的個(gè)位數(shù)字按3，9，7，1四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291÷4723，所以3291與33的個(gè)位數(shù)相同，等于7。最后得到291+3291的個(gè)位數(shù)字與8+7的個(gè)位數(shù)字相同，等于5。例3、求下式除法運(yùn)算所得的余數(shù)：555÷3?！窘馕觥恳?yàn)閍÷3的余數(shù)不僅僅與a的個(gè)位數(shù)有關(guān)，所以不能用求555

14、的個(gè)位數(shù)的方法求解。為了尋找5n÷3的余數(shù)的規(guī)律，先將5的各次方除以3的余數(shù)列表如下：注意：表中除以3的余數(shù)并不需要計(jì)算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余數(shù)乘以5后，再除以3去求。比如，52除以3的余數(shù)是1，53除以3的余數(shù)與1×5=5除以3的余數(shù)相同。這是因?yàn)?23×8+1，其中3×8能被3整除，而53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，（3×8）×5能被3整除，所以53除以3的余數(shù)與1×5除以3的余數(shù)相同。由上表看出，5n除以3的余數(shù)，隨著n的增大，按2，

15、1的順序循環(huán)出現(xiàn)。由55÷2=271知，555÷3的余數(shù)與51÷3的余數(shù)相同，等于2。例4、某種細(xì)菌每小時(shí)分裂一次，每次1個(gè)細(xì)茵分裂成3個(gè)細(xì)菌。20時(shí)后，將這些細(xì)菌每7個(gè)分為一組，還剩下幾個(gè)細(xì)菌？【解析】1時(shí)后有1×3=31（個(gè)）細(xì)菌，2時(shí)后有31×3=32（個(gè)）細(xì)菌20時(shí)后，有320個(gè)細(xì)菌，所以本題相當(dāng)于“求320÷7的余數(shù)”。將3的各次方除以7的余數(shù)列表，由表看出，3n÷7的余數(shù)以六個(gè)數(shù)為周期循環(huán)出現(xiàn)。由20÷632知，320÷7的余數(shù)與32÷7的余數(shù)相同，等于2。所以最后還剩2個(gè)細(xì)菌。最后

16、再說明一點(diǎn)，an÷b所得余數(shù)，隨著n的增大，必然會(huì)出現(xiàn)周期性變化規(guī)律，因?yàn)樗糜鄶?shù)必然小于b，所以在b個(gè)數(shù)以內(nèi)必會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。          P(Practice-Oriented)實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練 Ø 課堂狙擊1、在括號(hào)內(nèi)填上合適的數(shù)。（1）2，4，6，8，10，（ ），（ ）（2）1，2，5，10，17，（ ），（ ）（3）2，8，32，128，（ ），（ ）【解析】（1）12；14（2）26;37 （3）512;2048 2、按規(guī)律填數(shù)。（1）2，1，4，1，6，1，（ ），（ ）（2）

17、3，2，9，2，27，2，（ ），（ ）（3）18，3，15，4，12，5，（ ），（ ）【解析】（1）8;1 （2）81;2 （3） 9;6 3、找出排列規(guī)律，在空缺處填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。37598121014121614（1）【解析】（1）18 （2）16；通過觀察可以發(fā)現(xiàn)前兩個(gè)圖形中的數(shù)之間有這樣的關(guān)系:7×8÷2=28；9×6÷2=27也就是說右下角數(shù)字等于三角形上面數(shù)字與左下角數(shù)的乘積除以24、先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）2，2，4，6，10，16，（   ），（   ）（2）34，21，13，

18、8，5，（   ），2，（   ）（3）0，1，4，15，56，（   ）【解析】（1）26，42 后一位數(shù)字等于前兩位數(shù)字之和（2） 3,1 后一位數(shù)字等于前兩項(xiàng)數(shù)字之差（3）209 1×4-0=4 4×4-1=15 15×4-4=56 56×4-15=2095、求以下除法運(yùn)算所得的余數(shù)。7855÷5【解析】（1）由55÷4133知，7855的個(gè)位數(shù)與83的個(gè)位數(shù)相同，等于2，所以7855可分解為10×a2。因?yàn)?0×a能被5整除，所以7855除以5的余

19、數(shù)是2。6、在方框內(nèi)填出合適的數(shù)?！窘馕觥浚?）13；9+7=16 16+5=21 4+9=13（2）2； 8+10+12=30 5+9+16=30 17+11+2=30（3）20；12-12÷4=9 35-35÷7=30 24-24÷6=207、找規(guī)律，寫得數(shù)。 1+0×9=     2+1×9=     3+12×9=   4+123×9=      9+12345678×

20、9=【解析】1；11；111；1111；1111111118、利用規(guī)律計(jì)算。（1）5335   8228   9229 87+78 6116 9559 39×11  46×11（2）  根據(jù) 62+26=（6+2）×11=8×11=88，計(jì)算87+78=【解析】（1）18；54；63；165；45；429；506（2）1659、求28128-2929的個(gè)位數(shù)字?！窘馕觥坑?28÷432知，28128的個(gè)位數(shù)與84的個(gè)位數(shù)相同，等于6。由29÷2141知，2929的個(gè)位數(shù)與91

21、的個(gè)位數(shù)相同，等于9。因?yàn)?9，在減法中需向十位借位，所以所求個(gè)位數(shù)字為1697。Ø 課后反擊1、在括號(hào)內(nèi)填上合適的數(shù)。（1）1，5，25，125，（ ），（ ）（2）1，15，3，13，5，11，（ ），（ ）（3）（64，62）（48，46）（29，27）（15，）（4）（100，50）（86，43）（64，32）（，21）（5）（8，6）（16，3）（24，2）（12，）【解析】（1）625；3125（2）7;9; 乘積均為24 （3）13；每組數(shù)兩數(shù)之差均為2 （4）42；每組數(shù)兩數(shù)之商均為2 （5）4；每組數(shù)兩數(shù)之積均為482、根據(jù)前面圖形中數(shù)之間的關(guān)系，想一想第三個(gè)圖形的

22、空格里應(yīng)填什么數(shù)。                 【解析】15；可以發(fā)現(xiàn)前面兩個(gè)圈中三個(gè)數(shù)之間有這樣的關(guān)系：3×6÷2=9    5×12÷2=30 5×12÷2=30 3×10÷2=153、根據(jù)規(guī)律，在空格內(nèi)填數(shù)。（1）198，297，396，（ ），（ ）32543864214526653257（2）【解析】（1）495,

23、594 （2）38974、下面括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)是按一定的規(guī)律組合的，在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）（6，9）（7，8）（10，5）（，3）（2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，）（3）（18，17）（14，10）（10，1）（，5）（4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，）（5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，）【解析】（1）12; （2）6; 乘積均為24 （3）21；每對括號(hào)里的數(shù)，前一個(gè)和后一個(gè)差分別是 18-17=1 = 1的平方 14-10=4 = 2的平方 10-1=9 = 3的平方 所以 -5= 4的平方16+5=21（4）17；3=2×2-1 ,9=5&#

24、215;2-1 13=7×2-1 ,9×2-1=17（5）14；每組兩數(shù)之差依次是1,2,3,45、找規(guī)律，寫得數(shù)。 1×1=       11×11=     111×111=   111111111×111111111=【解析】1； 121； 12321；123456789876543216、利用規(guī)律計(jì)算。 （1）6116   （2）9559 （3）39×11      （4）46×11【解析】（1）45；（2）36；（3）429；（4）5067、求291+3291的個(gè)位數(shù)字?！窘馕觥恳?yàn)?n的個(gè)位數(shù)字按2，4，8，6四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，91÷4223，所以，291的個(gè)位數(shù)字與23的個(gè)位數(shù)字相同，等于8。類似地，3n的個(gè)位數(shù)字按3，9，7，1四個(gè)數(shù)的順序循環(huán)出現(xiàn)，291÷4723，所以3291與33的個(gè)位數(shù)相同，等于7。最后得到291+329