必修一全部知識點(diǎn)及典型例題(2)18頁

1、第一部分 集合知識點(diǎn)一集合的含義1 集合的中元素的三個特性：元素確定性 元素的互異性 元素的無序性2.集合的表示： 集合的表示方法1） 列舉法：a,b,c2） 描述法： xÎR| x-3>2 ,x| x-3>23） 語言描述法：例：不是直角三角形的三角形4） Venn圖:3集合的分類：有限集 無限集 空集 4常見集合表示R實(shí)數(shù)集 Q有理數(shù)集 N自然數(shù)集 Z整數(shù)集 N*正整數(shù)集 C復(fù)數(shù)集二集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2“相等”關(guān)系：A=B

2、 (55，且55，則5=5)實(shí)例：設(shè) A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同則兩集合相等” 任何一個集合是它本身的子集。AÍA真子集:如果AÍB,且A¹ B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB或BA如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC 如果AÍB 同時 BÍA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集三、集合的運(yùn)算運(yùn)算類型交 集并 集補(bǔ) 集 定 義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集

3、合,叫做A,B的交集記作AB，即AB=x|xA，且xB由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集記作：AB，即AB =x|xA，或xB)設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集，記作，CSA=韋恩圖示SA性 質(zhì)AA=A A=AB=BA ABA ABBAA=A A=AAB=BA ABABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=U A (CuA)= 第二部分 函數(shù)知識點(diǎn) 一.函數(shù).1、映射（1）映射：設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種映射法則f，對于集合A中的任一個元素，在

4、集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，則這樣的對應(yīng)（包括集合A、B以及A到B的對應(yīng)法則f）叫做集合A到集合B的映射，記作f：AB。（象與原象P36）注意:對映射定義的理解。判斷一個對應(yīng)是映射的方法。一對多不是映射，多對一是映射2、函數(shù)構(gòu)成函數(shù)概念的三要素 定義域?qū)?yīng)法則值域(注意區(qū)間表示方法)兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的條件：三要素有兩個相同1、下列各對函數(shù)中，相同的是 （ ）A、 B、 C、 D、f（x）=x，2、給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有 （ ）A、 0個 B、 1個 C、 2個 D、3個xxxx1211122211112222yyyy3OOOO3函數(shù) ，若，則= 二、

5、函數(shù)的解析式與定義域1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù)：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零， (7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.u 相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時具備)練習(xí).函數(shù) 的定義域.2求函數(shù)定義域的兩個難點(diǎn)問題（1） （2） 練習(xí).設(shè)，則的定義域?yàn)開變式練習(xí)：，求的定義域。三

6、、函數(shù)的值域1求函數(shù)值域的方法直接法：從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡單的復(fù)合函數(shù)；換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域，適合根式內(nèi)外皆為一次式；判別式法：運(yùn)用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍；適合分母為二次且R的分式；分離常數(shù)：適合分子分母皆為一次式（x有范圍限制時要畫圖）；單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；圖象法：二次函數(shù)必畫草圖求其值域；利用對號函數(shù)幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含絕對值函數(shù)1（直接法）2 3（換元法）4. （法） 5. 6. (分離常數(shù)法) 7. (單調(diào)性)8.， (結(jié)合分子/分母有理化的數(shù)學(xué)方法)9(圖象

7、法)10(對號函數(shù)) 11. (幾何意義)四函數(shù)的奇偶性1定義:設(shè)y=f(x)，xA，如果對于任意A，都有，則稱y=f(x)為偶函數(shù)。如果對于任意A，都有，則稱y=f(x)為奇函數(shù)。2函數(shù)的奇偶性也可以通過下面方法證明： 奇函數(shù) 偶函數(shù)3.性質(zhì)：y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于軸對稱, y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則f(0)=0奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇兩函數(shù)的定義域D1 ，D2，D1D2要關(guān)于原點(diǎn)對稱4奇偶性的判斷看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱看f

8、(x)與f(-x)的關(guān)系1 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù). 當(dāng)時，則當(dāng)時， 2 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)。（）求的值；（）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；3 已知在（1，1）上有定義，且滿足證明：在（1，1）上為奇函數(shù)；4 若奇函數(shù)滿足，則_五、函數(shù)的單調(diào)性1證明函數(shù)單調(diào)性的方法：（）. 定義法： 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)）； 下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）（）用導(dǎo)數(shù)證明： 若在某個區(qū)間A內(nèi)有導(dǎo)數(shù)， 則在A內(nèi)為增函數(shù)； 在A內(nèi)為減函數(shù)。2求單調(diào)區(qū)間的方

9、法： a.定義法： b.導(dǎo)數(shù)法： c.圖象法： d.復(fù)合函數(shù)在公共定義域上的單調(diào)性：若f與g的單調(diào)性相同，則為增函數(shù)； 若f與g的單調(diào)性相反，則為減函數(shù)。 注意：先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集。3一些有用的結(jié)論： a.奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同； b.偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反； c.在公共定義域內(nèi)增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。 d.函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上是單調(diào)遞減。4 設(shè)是定義在M上的函數(shù)，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則在M上是減函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則在M上是增函數(shù)。（同增異減）1判斷函數(shù)的單

10、調(diào)性。2例 函數(shù)對任意的，都有，并且當(dāng)時， 求證：在上是增函數(shù)； 若，解不等式 3函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_4(高考真題)已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是 （ ）（A） （B） （C）（D） 5函數(shù)的單調(diào)性通常也可以以下列形式表達(dá)： 單調(diào)遞增 單調(diào)遞減六函數(shù)的周期性：1（定義）若是周期函數(shù)，T是它的一個周期。說明：nT也是的周期（推廣）若，則是周期函數(shù)，是它的一個周期對照記憶說明：說明：2若；則周期是21 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),則,f(6)的值為(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)22 定義在R上的偶函數(shù)，滿足，在區(qū)間-2,0上單調(diào)遞減，設(shè)，則的大小順序?yàn)開

11、3 已知f (x)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且則f (2005)= .4 已知是(-)上的奇函數(shù)，當(dāng)01時，f(x)=x，則f(7.5)=_5 設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x恒滿足，當(dāng)時求證：是周期函數(shù)；當(dāng)時，求的解析式；計(jì)算：七、反函數(shù)1.只有單調(diào)的函數(shù)才有反函數(shù)；反函數(shù)的定義域和值域分別為原函數(shù)的值域和定義域；2.求反函數(shù)的步驟：求原函數(shù)，的值域B把看作方程，解出；x，y互換的的反函數(shù)為，。3、關(guān)于反函數(shù)的性質(zhì)（1）y=f(x)和y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的單調(diào)性；（3）已知y=f(x)，求f-1(a)，可利用f(x)=a，

12、從中求出x，即是f-1(a)；（4）f-1f(x)=x;（5）若點(diǎn) (a,b)在y=f(x)的圖象上，則 (b,a)在y=f-1(x)的圖象上；（6）y=f(x)的圖象與其反函數(shù)y=f-1(x)的圖象的交點(diǎn)一定在直線y=x上;1設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，且的圖像過點(diǎn)，則的圖像必過( )（A） （B） （C） （D）2：，的反函數(shù)為 。3：已知，求的反函數(shù)。4：設(shè) 。八一次函數(shù)與正比例函數(shù)1正比例函數(shù)y=kx(k0)的圖象是經(jīng)過兩點(diǎn)O(0，0)，A(1，k)的一條直線；一次函數(shù)y=kx+b(k0)的圖象是經(jīng)過兩點(diǎn)A(0，b)，的一條直線，但在取值時要根據(jù)具體情況靈活選取因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函

13、數(shù)的圖象時，只要描出兩點(diǎn)即可畫出一條直線一次函數(shù)y=kx+b的圖象是恒過(0，b)點(diǎn)且平行于直線y=kx的一條直線，其中k叫直線y=kx+b的斜率，b是直線y=kx+b在y軸上的截距(注意：截距b不是距離，它可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)或零)2一次函數(shù)y=kx+b(k0)與正比例函數(shù)y=kx(k0)的性質(zhì).y=kx（k0）y=kx+b（k0，且b0）經(jīng)過原點(diǎn)（0，0）與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（0，b）為和（b/k，0）k0經(jīng)過一、三象限必過一、三象限k0經(jīng)過二、四象限必過二、四象限當(dāng)k0時，y的值隨x值的增大而增大；當(dāng)k0時，y的值隨x值的增大而減小。當(dāng)k0時，k的值越大，函數(shù)圖象與x軸正方向所成的銳角最

14、大。圖象與系數(shù)的聯(lián)系八二次函數(shù)(涉及二次函數(shù)問題必畫圖分析)1二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的圖象是一條拋物線，對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，其中a是二次項(xiàng)系數(shù)，決定開口方向和大小，b是一次項(xiàng)系數(shù)與a決定對稱軸的位置，c為常數(shù)項(xiàng)是與Y軸的截距。2二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系一元二次方程的根為二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)的的解。一元二次不等式的解集(a>0)二次函數(shù)情況一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c (a>0)=b2-4acax2+bx+c>0 (a>0)ax2+bx+c<0 (a>0)圖象與解>0=0<0R3與是兩種不同的表達(dá)

15、形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中4一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時的特殊情況.圖象與軸的交點(diǎn)個數(shù)： 當(dāng)時，圖象與軸交于兩點(diǎn)，其中的是一元二次方程的兩根(x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a韋達(dá)定理)這兩點(diǎn)間的距離. 當(dāng)時，圖象與軸只有一個交點(diǎn)； 當(dāng)時，圖象與軸沒有交點(diǎn). 當(dāng)時，圖象落在軸的上方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有； 當(dāng)時，圖象落在軸的下方，無論為任何實(shí)數(shù)，都有5待定系數(shù)法求二次函數(shù)方程二次函數(shù)的解析式： （1）一般形式：（2）頂點(diǎn)式：（3）兩根式：例1.拋物線與軸交與、兩點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，求拋物線解析式。解：拋物線與軸交于、兩點(diǎn)設(shè)拋物線為 拋物線過點(diǎn)即 練習(xí).已知拋物線，滿足下列條

16、件，求函數(shù)解析式。圖像過點(diǎn)、圖像過點(diǎn)、且對稱軸是圖像頂點(diǎn)是，且過點(diǎn)圖像和軸交于和兩點(diǎn)，且過點(diǎn)1、已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的范圍是（ ）（A） (B) (C) (D) 2、方程有一根大于1，另一根小于1，則實(shí)根m的取值范圍是_3. 拋物線頂點(diǎn)且與軸交于兩點(diǎn)、，且.求拋物線的解析式。九函數(shù)的圖象變換（在下面畫出圖形變化的方法圖形）作出下列函數(shù)的簡圖：（1）y=|log|； （2）y=|2x-1|；（3）y=2|x|； （4）y=|x2+2x-3|十.函數(shù)的零點(diǎn).方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)

17、的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)3、函數(shù)零點(diǎn)的求法： （代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根； （幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零4.函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a) ·f(b)，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c （a,b），使得f(c)=0，這個 c 也就是方程f(x)=0的根。5.二分法求零點(diǎn)例.求 解： 因?yàn)?.375與2.4375精確到0.1的近似值都為2.4，所以此方程的近似解為十一初等函數(shù)1根式定義：若一個

18、數(shù)的次方等于，則這個數(shù)稱的次方根。即若，則稱的次方根，1）當(dāng)為奇數(shù)時，次方根記作；2）當(dāng)為偶數(shù)時，負(fù)數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個次方根且互為相反數(shù)，記作性質(zhì)：1）；2）當(dāng)為奇數(shù)時，；3）當(dāng)為偶數(shù)時，。2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：，u 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義規(guī)定：1）N*； 2）； n個3）Q，4）、N* 且性質(zhì)：1）、 Q）；2）、 Q）；3） Q）。（注）上述性質(zhì)對r、R均適用。3對數(shù)的概念定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱以為底N的對數(shù)，記作其中稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)1）以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，記作；2）以無理數(shù)為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，記作；基本

19、性質(zhì)：1）真數(shù)N為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無對數(shù)）；2）；3）；4）對數(shù)恒等式：。運(yùn)算性質(zhì)：如果則1）；2）；3）R）換底公式：1）；2）。4指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù)稱指數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域?yàn)镽；2）函數(shù)的值域?yàn)椋?）當(dāng)時函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時函數(shù)為增函數(shù)。函數(shù)圖像：1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且圖象都在第一、二象限；2）指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時，圖象向左無限接近軸，當(dāng)時，圖象向右無限接近軸）；3）對于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，函數(shù)值的變化特征：（2）對數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù)稱對數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?）函數(shù)的值域?yàn)镽；3）當(dāng)時函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時函數(shù)為增函數(shù)；4）

20、對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)函數(shù)圖像：1）對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（0，1），且圖象都在第一、四象限；2）對數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當(dāng)時，圖象向上無限接近軸；當(dāng)時，圖象向下無限接近軸）；3）對于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。函數(shù)值的變化特征：，.，. 5指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對比（1）指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax (a>0 , a1)互為反函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形式Y(jié)=ax (a>0且a1)y=logax (a>0 , a1)定義域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )過定點(diǎn)（，1）（1，）圖象指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax (a>0 , a1)圖象關(guān)于y=x對稱單調(diào)性a> 1,在(-,+ )上為增函數(shù)a<1, 在(-,+ )上為減函數(shù)a>1,在(0,+ )上為增函數(shù)a<1, 在(0,+ )上為減函數(shù)值分布y>1 y<1y>0 y<0（2）. 比較兩個冪值的大小，是一類易錯題，解決這類問題，首先要分清底數(shù)相同還是指數(shù)相同1、 ，如果底數(shù)相同，可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；指數(shù)相同，可以利用指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與圖象關(guān)系（對數(shù)式比較