高等代數(shù)在數(shù)學(xué)分析極值問題中的應(yīng)用

1、    高等代數(shù)在數(shù)學(xué)分析極值問題中的應(yīng)用    劉蕓摘要：本文以高等代數(shù)中的二次型與特征值來分析和解決多元函數(shù)的極值問題，揭示高等代數(shù)與數(shù)學(xué)分析這兩門基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)學(xué)科之間的聯(lián)系，來為問題的解決提供一定的參考和借鑒。關(guān)鍵詞：高等代數(shù)；數(shù)學(xué)分析；極值問題一、 引言線性代數(shù)中的行列式和矩陣：行列式代表一個數(shù)，而矩陣僅是一些數(shù)的有順序的擺法。利用矩陣能夠把線性方程組中的系數(shù)組成向量空間中的向量，這樣能夠徹底解決一個多元線性方程組的解的情況，以及不同解之間的關(guān)系等理論問題。下文就多元函數(shù)的極值問題展開討論，分析高等代數(shù)在數(shù)學(xué)分析極值問題的應(yīng)用。二、 相關(guān)定理1.

2、實對稱矩陣a是正定，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣a的順序主子式全大于零。2. 實對稱矩陣a是負(fù)定，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣a的順序主子式負(fù)正相間，即（-1）ia11a12a1ia21a22a2iai1ai2aii>0，i=1，2，n。（一） 利用二次型求多元函數(shù)的極值對于一個實值多元函數(shù)f（x1，x2，xn），如果函數(shù)f的二階偏導(dǎo)數(shù)存在，那么矩陣2fx212fx1x22fx1xn2fx2x12fx222fx2xn2fxnx12fxnx22fx2n稱為黑塞矩陣，記作h（f）。定理：設(shè)y=f（x1，x2，xn）是在p0=（x01，x02，x0n）點處有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，并且gradf（p0），記f在點p0處的黑塞

3、矩陣為hf（p0）。（1）當(dāng)矩陣h f（p0）是正（負(fù)）定矩陣，y=f（x1，x2，xn） 在p0處取得極?。ù螅┲担唬?）當(dāng)矩陣h f（p0）是不定矩陣，y=f（x1，x2，xn） 在p0處沒有極值。證明：由f（x1，x2，xn）處在p0處的泰勒公式有：f（x1，x2，xn）=f（p0）+gradf（p0）xt·hf（p0）·x+o（|x|）2）。其中x=x1-x01xnx0n，因為gradf（p0）=0，所以f（x1，x2，xn）-f（p0）=121xt·hf（p0）·x+o（|x|2）。所以，如果矩陣hf（p0）是負(fù)定矩陣，二次型xt·h

4、f（p0）x是負(fù)定二次型，于是在|x|很小時，y=f（x1，x2，xn）在點p0處取極大值。而如果hf（p0）是不定矩陣時，y=f（x1，x2，xn）在點p0處沒有極值。（二） 利用特征值求多元函數(shù)的極值定理：設(shè)a=（aij）為n階實對稱方陣，證明多元函數(shù)f（x）=ni=1nj=iaijxixj在單位球面ni=1a2i上的最大、小值分別是矩陣a的最大、小特征值。其中aij=aijr（i，j=1，2，n）。分析：本命題可轉(zhuǎn)化為高等代數(shù)中的二次型f（x1，x2，xn）=xax在xx=1條件下的最大（?。┲祮栴}，然后利用特征值理論來解決。解：令x=x1x2x3，a=a11a12a1na21a22a2

5、nan1an2ann，因為aij=aijr，所以a為實對稱矩陣，則f（x1，x2，xn）=xax是一實二次型。設(shè)1，2，n是a的特征根，且12n，由于矩陣a實對稱，則存在正交陣t使tat=10002000n，作正交變換x=ty，可有f（x）=1y21+1y2n，那么對于xr均有1xxxaxnxx，特別地當(dāng)xx=1時，有1xaxn，所以f（x）在ni=1x2i=1上的最大值小于或等于n，最小值大于或等于1.設(shè)1，2分別是屬于1，n的特征向量，則a1=11，an=1n，10，n0，那么有1a1=1（11）=1 11，則1=a1a11a1，同理可得n=a1an1an，所以：f（x）在單位球面上的最大、小值分別是矩陣a的最大、小特征值。三、 結(jié)束語希望通過不斷地探究數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)這兩門課程之間的聯(lián)系，促進相互之間解題方法的融會貫通，為高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)者和