圓錐曲線中的離心率問題

1、22錐曲線中的離心率問題離心率兩大考點：求值、求范圍求值：1 利用a與C的尖系式（或齊次式）2. 幾何法3. 與其它知識點結合求范圍：1利用圓錐曲線相尖性質建立a、c不等尖系求解.2. 運用數形結合建立a、c不等尖系求解3. 利用曲線的范圍，建立不等尖系4. 運用函數思想求解離心率5. 運用判別式建立不等尖系求解離心率一、求離心率的值1 利用a與C的尖系式（或齊次式）題1:（成都市2010第二次診斷性檢測）已知橢圓的一個焦點為F，若橢圓上存在點P,滿足以橢圓短軸為直徑的圓與線段 PF相切于線段PF的中點，則該橢圓的離心率為解斬記裟飪的中慮為3*IP “2 二 J 二占 fFFi-ZOM.呼方程

2、得59有一“個內角為60，則題2:已知以雙曲線C的兩個焦點及虛軸的兩個端點為原點的四邊形中 雙曲線C的離心率為題3 :設雙曲線勺一爲二1 a>0, b>0的漸近線與拋物線y二x2+1相切則該雙曲線的 a2 b2離心率等于()(A) .3 IB 2(C) -5(D) ,6解：由題雙曲線2X2a> 0, b> 0的一條漸近線方程為a b2bx、，代入拋物線方程a整理得ax2 bx a 0 ,因漸近線與拋物線相切，所以b2 4a20,即c2 5a2 e .5，故選擇 C。題4: (2009浙江理)過雙曲線b21 (a 0,b0)的右頂點A作斜率為1的直線該直線與雙曲線的兩條漸

3、近線的交點分別為ULUT 1 UUUrB，c若AB BC，則雙曲線的離心率是2(B)；3(C) - 5(D)帀解析對A3K人則克線方程為工丁一"一 X點線霸阿漸近 線的交點7 B島屆)q右備卜則有m鵠一啤).1*11-6 Cf-/打十焉島.因為2兀O=亙已胖以4沖二護士二岳.故選U2.幾何法題1 :以橢圓的右焦點F，為圓心作圓，使這圓過橢圓的中心，且交橢圓于點M，若直線MFl(Fl為左焦點)是圓F2的切線，M是切點，則橢圓的離心率是 rMFI = IFF = 2,MF = 3,- 3- 1213,.題2: Fi, F2為橢圓的左、右兩個焦點'過F2的直線交橢圓于P '

4、 Q兩點 PFlA PQ 且PFl = PQ，求橢圓的離心率.如圖2,設丨PFiI,則1 PQ 1=h IfiQ 1=72.PFlr + fPQf+lQF; 2 4.P 圖2,2a =2c = /I PFlV +fPF2 IZ= 1: + (2a - 1 )2 = y "=當=/6 -r3.（05全國）設橢圓的兩個焦點分別為吒、已,過Fz作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若FPR為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（）A. 2B.C.2 2 D. . 2-122（采用離心率的定義以及橢圓的定義求解）2c橢圓的定義2c離心率的定義C a2aIPFlIIPF2 故選 D2c1 -42 12.

5、2c2c2 1II + t MF i:解：如右圖所不,有3與其它知識點結合題1:已知M為橢圓上一點，, F2是其兩個焦點且/ MFiFa= 2a Z MF2Fi=a (a 工 0,)則橢圓的離心率為（(A)1 2si na (B)I- Sin 2a(C)1-cos2a解由已知及正弦定理，得 JMF】ILJSin Q SinSin 3a ,叱例性噴.得*1 密 I! F血!Sin U + Sin IaSirl(D)2cosa -1-FVF2lWry 3“ .Sirl a 十 Shi 2a3血Q 卷X石Mi ： ： 3' W 13 - ' ； ；,3 4si? CI ",

6、 二二 ZOOS a 11亠2gvx故選D題2 :已知P為雙曲線右支上一點，Fi、F2是其左、右兩焦點，且/ PFF2=15 ° / PF2F=75 0則雙曲線的離心率為2練習:22Xy1設雙曲線一*1 （0< a<b）,半焦距為C,直線I過點（a,O） , （OJb）兩點，已知原點到a b直線I的距離為一光,則雙曲線的離心率為（）553442已知雙曲線的漸近線為y=?3X '則雙曲線的離心率為3過雙曲線的一個焦 點F作垂育于實軸的弦MN ,A為雙曲線的距F較遠的頂點，/ MAN=902雙曲線的離心率等于a+ C4. （07安徽卷）22酥吃分別是雙曲線×

7、2 -y210,b 0）的兩個焦點，A和B是以O為圓心，以|0劃為半徑（a的圓與該雙曲線左支白溯、交點，且 FzAB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ D ）A. 3B.C.D. 1 + 3913,.5. (07 全國口)22設R、已分別是雙曲線與爲伯勺左、右焦點，若雙曲線上存在點A,使RAF? 90。, a b 且I A£ I 3AF2JJ雙曲線的離心率為(B )A.違B.C. J5D.、5222二、求離心率的取值范圍1利用圓錐曲線相尖性質建立a、C不等尖系求解.22題1: (2008福建)雙曲線篤21 (a> 0,b>0)的兩個焦點為Fi、F“若P為其上一點,a bH

8、lPFil=2IPF2 ,則雙曲線離心率的取值范圍為()A. (1,3)B. 1,3C. (3,+ )D. 3,分析求雙曲線離心率的取值范圍需建立不等尖系，題設是雙曲線一點與兩焦點之間尖系應想到用雙曲線第一定義如何找不等矢系呢？解析： IPFlI=2IPF2, IPFIlIPF2 = IPF2=2a, PF2 Cag 卩 2a c a 3a C所以雙曲線離心率的取值范圍為1 e 3，故選B點評：本題建立不等尖系是難點，如果記住一些雙曲線重要結論(雙曲線上任一點到其對應焦點的距離不小于Ca)則可建立不等矢系使問題迎刃而解題2 :22（04重慶）已知雙曲線篤爲1, （a,b）的左，右焦點分別為Fu

9、F2點P在ab雙曲線的右支上且PFj4PF2,則此雙曲線的離心率e的最大值為：（)4SAR -33 IPFIl=4P IPFllF2, IPF2=3IPF2=2a ,所以雙曲線離心率的取值范圍為1 eC2n73IPF2IC a C2 a3即-a雪C5故選B.3練習:1 已知h，F2分別為-(a5b 0)的左、右焦點,P為雙曲線右支上任PR 2點，若的最小值為PF28a，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（A (1,2B(1,3C2,3D3,解析阻(2a PF2)2PF2 PF? PF24a 2 4a2 4a 8a，欲使最小值為8a，PF2需右支上存在一點P,使PF22a 而 PF2Cag卩 2a

10、c a 所以 1 e 3.2利用曲線的范圍，建立不等尖系22X y題1.設橢圓_+ _=i (a> b>0)的左右焦點分別為E>F2 ,如果橢圓上存在點P,a b使？ RPF290。，求禺心率e的取值范圍。解：設F (兀刃因為厶氣尸耳二90©，所以FF、丄円”顱 血蹈二J XhC X r+y =C將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得F但由橢圓范圍及今F耳二90。知OwW <Z2j憊O圮從而麗邑=-<1日2所央日¥為且rSaEPO<-b.La2-b2題2:橢圓G :與1 (ab)的兩焦點為Fi ( C)O) , F2 (c,0)，橢圓上

11、存在點M使bULUV UUULVFM gF2M 0.求橢圓離心率e的取值范圍;UUUV UUJlV 2 解析設 M (x, v), FMHMOXVC將 y2 b2必代入得2aa?b2QOx22 2a 是橢圓中建立不等矢系的重要依據在求解參數點評：務占1(ab0)中丨X a b范圍問題中經常使用，應給予重視10/13'.3運用數形結合建立a、C不等尖系求解22題1: (06福建)已知雙曲線篤爲1(aO,b 0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為a b60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是(A)(1,2( B)(1,2)(C) 2,)(D)(2,)解析 欲使過

12、點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率3a即c2 a2 3a2 c2 4a2即e2故選C.k如圖1,若-J則L與雙曲線只有一個交點；若丿，貝UL與雙曲線的兩交點均在右題2:直線L過雙曲線b2 1 (a 0,b0)的右焦點，斜率k=2 ,若L與雙曲線的兩個交點分別在左、右兩支上，求雙曲線離心率的取值范圍。1213,.支上，->2 >2a,b2 >Aac2 二加 = S>5aX題3:已知R、F2分別是雙曲線一2每1 (a b0,b0)的左、右焦蟲，過Pl且垂直于軸的直線與雙曲線交于A、B兩點°若4 ABF

13、 2是銳角三角形求雙曲線的離心率的取/古拈l CAKB是銳解：如圖2，因為 ABF2是等腰三角形，所以只要/ 角即可即/ AF2Fk45 °則ll<l21r-<<0 V3 -21v0, 1 ve v 1 +4.運用函數思想求解離心率2X題1：(08全國卷n)設a1 ,則雙曲線一2aY1的離心率e的取值范圍是A. (22丿B(、2、5)C.(P2D. (2, : 5)解析：由題意可知e寸1 ()$I (I丄)2 a a1 1,2 e ,5，故選 B.5.運用判別式建立不等尖系求解離心率21：(全國I)設雙曲線C：字y21 (a 0)與直線I：X 1相交于兩個不同的點a

14、B求雙曲線C的離心率e的取值范圍解析由C與I相交于兩個不同的點，故知方程組2X 21a2八有兩個不同的實數解消去y并整理得X y 1(1 a2) x2+2a2- 2a2=01 a"0所以4a 8a (1 a )解得 °a 2 Ha 1.0.雙曲線的離心率e 嚴 F7qo .2且 a II e所以雙曲線的離心率取值范圍是(BfgIJZ1313,.練習:2 2Xy1。設r 2l(a0,ba b的范圍0）兩條漸近線含實軸的所成角為IW由圖5知14/1組1。分析求雙曲線離心率的取值范圍需建立不等矢系，題設是雙曲線一點與兩焦點之間尖系應想到用雙曲線第一定義如何找不等矢系呢?解析： I

15、PFll=2PF2,. . . IPFllIPF2=lPF2=2a, PF2 CaE卩 2a c a 3a C所以雙曲線離心率的取值范圍為1 e 3 ,故選B.(雙曲線上任一點到其對應點評：本題建立不等矢系是難點，如果記住一些雙曲線重要結論焦點 的距離不小于Ca)則可建立不等矢系使問題迎刃而解22,TlPFIl二4PF2,.IPFIlIPF2二3PF2二2a, PF2 Caga需右支上存在一點P,使PF21。解：設因為 rJ 11X-I-C X322+y =C將這個方程與橢圓方程聯(lián)立,消去工具衛(wèi)一吃嚀r32 占2但由橢圓范圍及耳=90°5,故選B334a2PF2 4a2.4a2 4a

16、PF2所以雙曲線離心率的取值范圍為練習：IPF(2aInll)解析 PF2PF22a 而 PF2C a 即 2a C8a，欲使最小值為8a ,a所以1 e3.,所以廠一y,可解得執(zhí)而得上2也才=ya 2所央日專BPO<.一a1 -XUJHV ULULV2,解析設 M (x,y),FM F2M 0 XyC將 y2 b22 X2代入得X2a2 a2b2215 13,.2a2求得d21613,.22XV點評：2 1(abO)中X a，是橢圓中建立不等尖系的重要依據在求解參數a b范圍問題中經常使用，應給予重視3組即b 3a即1 ,解析欲使過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的 的斜率絕對值小于等于漸近線的斜率,c2 a22223a C 4a 即 e 2 故選 C.2,解：如圖1，若，則L與雙曲線只有一個交點；若則L與雙曲線的兩交/ > 2八 >2c >4ac->7 a點均在右支_h ,3，解：如圖2,因為 ABFz是等腰三角形，所以只要/ AKB是銳角即可，即/ AF2FK45 °I 腫 JTREI, 2 畑、3