常用邏輯用語知識點(diǎn)總結(jié)及同步練習(xí)

1、選修 2-1 第一章常用邏輯用語1.1 命題及其關(guān)系1. 定義：一般地，我們用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句，叫做命題；其中判斷為正確的命題，為真命題；判斷為不正確的命題，為假命題。2. 辨析：能夠分辨哪一個是命題及其真假。判斷一個語句是否是命題，關(guān)鍵在于能否判斷其真假。語句可分為疑問句、祈使句、感嘆句與陳述句。一般的，只有陳述句能分辨真假，其他類型的句子無所謂真假，我們把每個能分辨真假的陳述句作為一個命題。對于一個句子，有時我們可能無法判斷其真假，但對這個句子卻是有真假的，如：“太陽系外存在外星人 ”，對于這個句子所描述的情形， 目前確定其真假， 但從事物的本質(zhì)而言，句子本身是

2、可以判斷其真假的。這類語句也稱為命題。語句是不是命題，關(guān)鍵在于能不能判斷其真假，也就是判斷其是否成立。不判斷真假的語句，就不能叫命題。 “X<2”。3.原命題與逆命題即在兩個命題中，如果第一個命題的條件（或題設(shè)）是第二個命題的結(jié)論，且第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做 互逆命題 ；如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的 逆命題 .4. 否命題與逆否命題即在兩個命題中，一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個命題就叫做 互否命題 ，若把其中一個命題叫做原命題，則另一個就叫做原命題的否命題 .5. 原命題與逆否命題即在兩個命題

3、中，一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個命題就叫做 互為逆否命題 ，若把其中一個命題叫做原命題，則另一個就叫做原命題的 否命題 .6.四種命題的形式一般到，我們用 p 和 q 分別表示原命題的條件和結(jié)論，用 p 和q 分別表示 p 和 q 的否定，于是四種命題的形式就是：原命題：若 p 則 q；逆命題：若 q 則 p；否命題：若 p則 q；逆否命題：若 q則p.7. 四種命題的相互關(guān)系一般的，四種命題的真假性，有且僅有以下四種情況：（四種命題的真假性之間的關(guān)系）原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性

4、；兩個命題為互逆或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.8. 反證法欲證 “若 p 則 q”為真命題，從否定其結(jié)論即 “非 q”出發(fā)，經(jīng)過正確的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，從而 “非 q”為假，即原命題為真，這樣的證明方法稱為反證法其反證法的步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；(2)從這個假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾；(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確1.2 充分條件與必要條件1. 充分條件的定義如果 p 成立時， q 必然成立，即 p q，我們就說， p 是 q 成立的充分條件（即為使 q 成立，只需條件 p 就夠了）2. 必要條件的定義如果 B 成立時， A 必然成

5、立，即 q p，我們就說， q 是 p 成立的必要條件（即為使 q 成立，就必須條件 p 成立）3. (1)若 pq，且 qp，則稱 p 是 q 的充分必要條件，簡稱充要條件。Pq說明： 充要條件是互為的；“p是 q 的充要條件 ”也說成 “p與 q 等價 ”、 p 當(dāng)且僅當(dāng) q”等 .p q，且 q p，則 p 是 q 的充要條件；p q，但 q p，則 p 是 q 的充分而不必要條件；q p，但 p q，則 p 是 q 的必要而不充分條件；p q，且 q p，則 p 是 q 的既不充分也不必要條件 .1.3 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞1. “或 ”與日常生活中的用語 “或”的意義不同，在日常生活用語

6、中的 “或 ”帶有不可兼有的意思，而邏輯用語中的 “或”可以同時兼有。對于邏輯用語 “或 ”的理解我們可以借助于集合中的并集的概念： 在 A BxAxB”中至少有一個 x | x A 或 x B 中的 “或”是指 “”與“成立，可以是 “x A且 xB ”，也可以是 “x A 且 x B ”，也可以是 “xA 且 x B ”，邏輯用語中的 “或”與并集中的 “或”的含義是一樣的；2.對“且”的理解，可以聯(lián)想到集合中的交集的概念： 在 A B x | xA且 xB 的“且”是指“”、“B”都要滿足的意思，即 x 既要屬于集合 A，又要屬于集合 B；xAx3. 對“非”的理解， 可以聯(lián)想到集合中的

7、補(bǔ)集的概念：“非 ”有否定的意思，一個命題p 經(jīng)過使用邏輯聯(lián)結(jié)詞 “非”構(gòu)成一個復(fù)合命題 “非 p ”，當(dāng) p 為真時，非 p 為假，當(dāng) p 為假時，非 p為真。若將命題p 對應(yīng)集合 P ，則命題非 p 就對應(yīng)著集合 P 在全集 U 中的補(bǔ)集 CU P ；對于非的理解，還可以從字意上來理解， “非”本身就具有否定的意思，如 “0.5 是非整數(shù) ”是對命題 “0.5是整數(shù) ”進(jìn)行否定而得出的新命題。一般地，寫一個命題的否定，往往需要對正面敘述的詞語進(jìn)行否定。4. 構(gòu)造復(fù)合命題的方式： 簡單命題 +邏輯連結(jié)詞（或、且、非） +簡單命題。5. 復(fù)合命題的真假判斷：pq非 pp 或 qp 且 q真真假

8、真真真假假真假假真真真假假假真假假注意： “命題的否定 ”與“否命題 ”是兩個不同的概念：前者只否定結(jié)論，后者結(jié)論與條件共同否定。1.4 全稱量詞與存在量詞1. 全稱量詞、全稱命題定義：短語 “所有的 ”“任意一個 ”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號 “ ”表示。（常見的全稱量詞還有“一切 ” 每“一個 ” 任“給 ” 所“有的 ”等 。 ）含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題。如：全稱命題 “對 M 中任意一個 x，有 p(x)成立 ”可用符號簡記為：簡記為xM ，p(x),讀作 “對任意 x 屬于 M ，有 p(x)成立 ”。2. 存在量詞、特稱命題定義 ：短語 “存在一個 ”“至少有一個

9、”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示。 (常見的存在量詞還有 “有些 ”“有一個 ”“對某個 ”“有的 ”等 。)含有存在量詞的命題，叫做特稱命題。特稱命題 “存在 M 中的一個 x0，使 p(x0)成立 ”可用符號簡記為：x0M ，p( x0 ),讀作 “存在一個 x0 屬于 M ，使 p(x0)成立 ”。3. 同一全稱命題、特稱命題，由于自然語言的不同，可能有不同的表述方法：4. 全稱命題、特稱命題（ 含有全稱量詞的命題叫全稱命題，含有存在量詞的命題叫特稱命題）（1）關(guān)系：全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題。（2）全稱量詞與存在量詞的否定。關(guān)鍵詞否定詞關(guān)鍵詞否定詞關(guān)

10、鍵詞否定詞關(guān)鍵詞否定詞都是不都是至少一個一個都沒有至多一個至少兩個屬于不屬于等于不等于大于不大于小于不小于不是不都是任意的某個任意兩個某兩個所有的某些能不能基礎(chǔ)訓(xùn)練 A 組一、選擇題1下列語句中是命題的是（）A周期函數(shù)的和是周期函數(shù)嗎？01B s i n 4 5Cx22 x 10D梯形是不是平面圖形呢？2在命題 “若拋物線 yax2bxc 的開口向下，則x | ax2bxc 0”的逆命題、否命題、逆否命題中結(jié)論成立的是（）A都真B 都假C否命題真D逆否命題真3有下述說法： ab 0是 a2b2 的充要條件 ab0 是 11 的充要條件ab a b0 是 a3b3 的充要條件則其中正確的說法有（

11、）A0 個B1個C2 個D 3 個4下列說法中正確的是（）A 一個命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真B“ab ”與“ a c b c ”不等價C“a2b20 ,則 a,b 全為 0 ”的逆否命題是 “若 a,b 全不為 0 , 則 a2b20 ”D 一個命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真5若 A : a R, a 1 , B : x 的二次方程 x2(a 1)xa 2 0 的一個根大于零 ,另一根小于零 ,則 A 是 B 的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件6已知條件 p : x 12，條件 q :5 x 6x2 ，則p 是 q 的（）A充分不必要條

12、件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件二、填空題1 命題： “若 a b 不為零，則 a, b都不為零 ”的逆否命題是2A : x1, x2 是方程ax2bxc0(a0) 的兩實(shí)數(shù)根；B : x1x2ba,則A是 B 的條件3 用 “充分、必要、充要 ”填空： p q 為真命題是 p q 為真命題的 _條件； p 為假命題是 p q 為真命題的 _條件； A : x 23, B : x24x 15 0 , 則 A 是 B 的_條件4命題 “ax22ax 30 不成立 ”是真命題，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 _5“a b Z ”是“x2ax b0 有且僅有整數(shù)解 ”的_條件三、解答題1

13、 對于下述命題 p ，寫出 “ p ”形式的命題，并判斷 “p ”與“ p ”的真假：（1）p : 91 ( AB)（其中全集*是質(zhì)數(shù)U N， Ax | x， Bx | x是正奇數(shù) ）（2） p : 有一個素?cái)?shù)是偶數(shù)；（3） p : 任意正整數(shù)都是質(zhì)數(shù)或合數(shù)；（4） p : 三角形有且僅有一個外接圓2已知命題 p : 4x6, q : x22x1a 20(a0), 若非 p 是 q 的充分不必要條件，求a 的取值范圍3若 a2b2c2 ，求證： a, b, c 不可能都是奇數(shù)4求證：關(guān)于 x 的一元二次不等式 ax 2ax10 對于一切實(shí)數(shù) x 都成立的充要條件是0a4綜合訓(xùn)練 B 組一、選擇

14、題1若命題 “p q ”為假，且 “ p ”為假，則（）Ap 或 q 為假 Bq 假Cq 真D 不能判斷 q 的真假2下列命題中的真命題是（）A3 是有理數(shù)B2 2是實(shí)數(shù)Ce 是有理數(shù)Dx | x是小數(shù)R3 有下列四個命題：“若 xy0 , 則 x, y 互為相反數(shù) ”的逆命題；“全等三角形的面積相等 ”的否命題；2“若 q1 ,則 x2xq0 有實(shí)根 ”的逆否命題；其中真命題為（）AB C D 4設(shè) a R ，則 a 1 是 11 的（）aA充分但不必要條件B必要但不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件5命題： “若 a2b20(a, b R) ，則 ab0”的逆否命題是（）A 若 ab

15、0( a, bR) ，則 a2b20B 若 ab0(a, bR) ，則 a2b20C 若 a0,且 b 0(a, bR) ，則 a2b20D若 a 0,或 b0(a, b R) ，則 a2b206若 a, bR ,使 ab1 成立的一個充分不必要條件是 ( )Aa b1Ba 1Ca0. 5且, b0.D5 b 1二、填空題1有下列四個命題：、命題 “若 xy1 ，則 x ， y 互為倒數(shù) ”的逆命題；、命題 “面積相等的三角形全等 ”的否命題；、命題 “若 m1，則 x22xm0 有實(shí)根 ”的逆否命題；、命題 “若 AB B，則AB ”的逆否命題其中是真命題的是（填上你認(rèn)為正確的命題的序號）2

16、 已知 p, q 都是 r 的必要條件， s 是 r 的充分條件 , q 是 s 的充分條件，則 s 是 q 的_條件， r 是 q 的條件， p 是 s 的條件3“ ABC 中 ,若C 900 ,則 A,B 都是銳角 ”的否命題為；4已知、 是不同的兩個平面，直線 a, 直線 b，命題 p : a與b 無公共點(diǎn)；命題 q : /，則 p是q 的條件5若 “x2,5 或 xx | x 1或x4 ”是假命題，則 x 的范圍是 _三、解答題1 判斷下列命題的真假：（1）已知 a,b,c, dR, 若 ac,或 bd, 則abcd.（2）xN , x3x2（3）若 m1, 則方程 x22 xm0 無

17、實(shí)數(shù)根（4）存在一個三角形沒有外接圓2 已知命題 p : x2x6, q : x Z 且“”與“非 q ”同時為假命題，求x的值p且 q3已知方程 x2(2k1)xk 20 ,求使方程有兩個大于 1的實(shí)數(shù)根的充要條件4已知下列三個方程：x24ax4a30, x2(a1)xa20, x22ax2a0 至少有一個方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍提高練習(xí) C 組一、選擇題1 有下列命題： 2004 年 10 月 1日是國慶節(jié)，又是中秋節(jié)； 10 的倍數(shù)一定是 5 的倍數(shù)；梯形不是矩形；方程x21的解 x1其中使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題有（）A1個B2個C3個D4個2 設(shè)原命題：若 a b 2 ，則 a,

18、b 中至少有一個不小于 1，則原命題與其逆命題的真假情況是（）A原命題真，逆命題假B原命題假，逆命題真C原命題與逆命題均為真命題D原命題與逆命題均為假命題3在 ABC中， “”是 “”的（）A 30sin A12A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件4一次函數(shù) ym x1 的圖象同時經(jīng)過第一、三、四象限的必要但不充分條件是（）nnA m 1,且n1Bmn 0C m 0 ,且 n 0D m 0 ,且 n 05設(shè)集合 Mx | x 2, Px | x3 ,那么“,或xP”是“x MP ”的（x MA必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件6命題 p

19、: 若 a,bR ，則 ab1是 a b1的充分而不必要條件； 命題 q : 函數(shù) yx 1 2的定義域是, 13,，則（）A“ 或q”為假B“ 且q”為真ppCp 真 q 假Dp 假 q 真二、填空題1命題 “若 ABC 不是等腰三角形，則它的任何兩個內(nèi)角不相等 ”的逆否命題；2用充分、必要條件填空：x1,且y 2 是 x y3 的 x 1, 或y2 是 x y3 的3 下列四個命題中“k1”是“函數(shù) ycos2 kxsin 2 kx 的最小正周期為”的充要條件；“a3”是“直線 ax2 y 3a0 與直線 3x (a 1)ya 7 相互垂直 ”的充要條件； 函數(shù) yx24的最小值為 2x2

20、3其中假命題的為（將你認(rèn)為是假命題的序號都填上）4已知 ab 0 ，則 ab 1是 a3b3aba 2b20 的_條件5若關(guān)于 x 的方程 x22(a1)x2a 60有一正一負(fù)兩實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a 的取值范 _三、解答題1 寫出下列命題的 “ p ”命題：（1）正方形的四邊相等（2）平方和為 0 的兩個實(shí)數(shù)都為 0（3）若ABC 是銳角三角形，則ABC 的任何一個內(nèi)角是銳角（4）若 abc0 ，則 a,b,c 中至少有一個為0（5）若 ( x1)(x2)0,則 x1且x22 已知 p : 1x 12 ； q : x22x 1 m20(m 0) 若 p 是 q 的必要非充分條件，求實(shí)數(shù)3m 的取值

21、范圍3 設(shè) 0a, b,c 1，求證： (1 a)b,(1 b)c,(1c) a 不同時大于 144 命題 p : 方程 x2 mx 1 0 有兩個不等的正實(shí)數(shù)根，命題q :方程2pq4x 4(m 2)x 1 0”為真命題，求 m 的取值范圍無實(shí)數(shù)根若“ 或（數(shù)學(xué)選修 2-1）第一章常用邏輯用語參考答案基礎(chǔ)訓(xùn)練 A 組一、選擇題1B可以判斷真假的陳述句2D原命題是真命題，所以逆否命題也為真命題3A ab0a2b2 ，僅僅是充分條件 ab 011，僅僅是充分條件； a b0 a3b3 ，僅僅是充分條件ab4D否命題和逆命題是互為逆否命題，有著一致的真假性5AA : aR, a1a 2 0 ，充分

22、，反之不行6Ap : x 1 2, 3 x 1 ， q :5 x 6 x2 , x25x 60, x 3,或 x 2pq ，充分不必要條件二、填空題1 若 a,b 至少有一個為零，則 a b 為零2充分條件AB3必要條件；充分條件；充分條件， A :1x5,B:219 x 219,A B4 3 , 0 a x22a x 3 0恒成立，當(dāng) a0時，3 0成立；當(dāng) a0 時，a04a21 2a得 3a 0 ；3 a 005必要條件左到右來看： “過不去 ”，但是 “回得來 ”三、解答題1 解：（ 1）p :91 A, 或91 B ； p 真，p 假；（2）p : 每一個素?cái)?shù)都不是偶數(shù)；p 真，p

23、假；（ 3）p : 存在一個正整數(shù)不是質(zhì)數(shù)且不是合數(shù)；p 假，p 真；（ 4）p : 存在一個三角形有兩個以上的外接圓或沒有外接圓2 解：p : 4 x6, x10,或x 2, A x | x10,或x 2q : x22x 1 a20，x1 a, 或x 1 a, 記Bx | x 1 a, 或x 1 a1a2而pq,AB ，即1a10 ,0a3a03 證明：假設(shè) a,b, c 都是奇數(shù)，則 a2 ,b2 , c2 都是奇數(shù)得 a2b2 為偶數(shù)，而 c2 為奇數(shù)，即 a2b2c2 ，與 a2b2c2 矛盾所以假設(shè)不成立，原命題成立a04證明： ax2ax10(a0) 恒成立a24a00a4（數(shù)學(xué)選

24、修 2-1）第一章常用邏輯用語參考答案綜合訓(xùn)練 B 組一、選擇題1B“ p ”為假，則 p 為真，而 p q （且）為假，得 q 為假2B2 2 屬于無理數(shù)指數(shù)冪，結(jié)果是個實(shí)數(shù)；3 和 e 都是無理數(shù)；x | x是小數(shù)R3 C 若 x y 0 , 則 x, y 互為相反數(shù)，為真命題，則逆否命題也為真；“全等三角形的面積相等 ”的否命題為 “不全等三角形的面積不相等相等”為假命題；若 q 144q0,即4 4q 0 ,則 x22x q0 有實(shí)根，為真命題4Aa11，“過得去 ”；但是 “回不來 ”，即充分條件a0,b01aa0,b05Dab0的否定為 a,b 至少有一個不為 0a0,b0a0,b

25、06 D 當(dāng) a1,b0 時，都滿足選項(xiàng) A, B ，但是不能得出 ab1其中之一當(dāng) a0.5,b0.5 時，都滿足選項(xiàng) C ，但是不能得出 ab的否定是1另外三個二、填空題1，ABB，應(yīng)該得出 BA2充要，充要，必要qsr,qq ; s rqs ,rr ;q srp3若 C900 ,則 A,B 不都是銳角條件和結(jié)論都否定4必要qp從 p 到 q ，過不去，回得來51, 2x2 , 5和 xx | x1或x4都是假命題，則x2, 或x51x4三、解答題1解：（ 1）為假命題，反例： 14，或 52，而1 542（ 2）為假命題，反例： x 0, x3x2 不成立（ 3）為真命題，因?yàn)?m144

26、m0 無實(shí)數(shù)根（ 4）為假命題，因?yàn)槊總€三角形都有唯一的外接圓2解：非 q 為假命題，則 q 為真命題； p且q 為假命題，則p 為假命題，即x2x 6, 且 xZ ，得 x2x60 , 2 x 3, x Zx2x60x1, 0,或1,23 解：令 f ( x) x2 (2k 1)x k2 ，方程有兩個大于 1的實(shí)數(shù)根(2 k 1)24k 202k1121即 0 k4f (1)01所以其充要條件為0k44解：假設(shè)三個方程：x24ax4a30, x2(a ) xa20, x22ax2a0 都沒有實(shí)數(shù)根，31a1(4a)24(4a3)022則 2( a 1)24a20，即 a1 ,或 a1 ，得3

27、a1(2a)24(2a)03212a 03a,或 a1提高練習(xí) C 組1 C 中有 “且”；中沒有；中有 “非”； 中有 “或 ”2A因?yàn)樵}若 a b2 ，則 a, b 中至少有一個不小于 1的逆否命題為，若 a, b 都小于 1，則 ab 2顯然為真，所以原命題為真；原命題若ab 2，則 a,b 中至少有一個不小于 1的逆命題為，若 a, b 中至少有一個不小于 1，則 a b2，是假命題，反例為 a 1.2,b 0.33B當(dāng) A1700 時， sin170 0sin10 01 ，所以 “過不去 ”；但是在 ABC 中，12sin A300A1500A300 ，即 “回得來 ”24B一次函數(shù) ym x1 的圖象同時經(jīng)過第一、三、四象限nnm0,且 10m0, 且 n0mn0，但是 mn 0 不能推導(dǎo)回來nn5A“,或xP”不能推出 “xMP ”，反之可以x M6D當(dāng) a2, b2時，從 ab 1 不能推出 ab 1，所以 p 假， q 顯然為真1 若