2022年2022年高三數(shù)學(xué)不等式選講知識點(diǎn)和練習(xí)

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載不等式選講一.肯定值不等式1肯定值三角不等式定理 1： 假如 a、b 為實(shí)數(shù),就 |a+b| |a|+|b|、當(dāng)且僅當(dāng)ab 0 時,等號成立；rrrrr精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載注：（1）肯定值三角不等式的向量形式及幾何意義：當(dāng)ra , b 不共線時, | a +b | | a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載|+|b | ,它的幾何意義就為三角形的兩邊之和大于第三邊；（ 2）不等式 |a|-|b| |a ±b| |a|+|b|中“ =”成立的條件分別為：不等式|a|-|b|精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下

2、載|a+b| |a|+|b|,在側(cè)“ =”成立的條件為ab 0,左側(cè)“ =”成立的條件為ab 0 且|a| |b|;不等式 |a|-|b| |a-b| |a|+|b|,右側(cè)“ =”成立的條件為ab 0,左側(cè)“ =”成立的條件為 ab 0 且|a| |b| ；定理 2：假如 a、b、c為實(shí)數(shù),那么 |a-c| |a-b|+|b-c|、當(dāng)且僅當(dāng) a-bb-c 0 時,等號成立；2肯定值不等式的解法（ 1）含肯定值的不等式|x| a 與|x| a 的解集不等式a 0a=0a 0|x| ax|-ax a|x| ax|x a 或 x -a x|x r 且 x 0r精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡

3、迎下載注： |x|以及 |x-a|± |x-b|表示的幾何意義（|x| 表示數(shù)軸上的點(diǎn)x 到原點(diǎn)o 的距離； |精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x-a |± |x-b|）表示數(shù)軸上的點(diǎn)x 到點(diǎn) a、b 的距離之和（差）（ 2） |ax+b| cc 0 和|ax+b|cc 0 型不等式的解法 |ax+b| c-c ax+bc; | ax+b| cax+b c 或 ax+b-c.（ 3） |x-a|+|x-b| cc 0 和|x-a|+|x-b| cc 0 型不等式的解法方法一：利用肯定值不等式的幾何意義求解,表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想；方法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解,

4、表達(dá)了分類爭論的思想；方法三：通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,表達(dá)了函數(shù)與方程的思想；1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二.證明不等式的基本方法1比較法（ 1）作差比較法理論依據(jù)：a ba-b 0;a ba-b 0.證明步驟：作差變形判定符號得出結(jié)論；注：作差比較法的實(shí)質(zhì)為把兩個數(shù)或式子的大小判定問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)（或式子）與0的大小關(guān)系；（ 2）作商比較法精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載理論依據(jù)：ba0、1bab;精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b0、 a1 bab;精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

5、歡迎下載證明步驟：作商變形判定與1 的大小關(guān)系得出結(jié)論； 2綜合法（ 1）定義：從已知條件動身,利用定義.公理.定理.性質(zhì)等,經(jīng)過一系列的推理.論證而得到命題成立,這種證明方法叫做綜合法；綜合法又叫做推證法或由因?qū)Ч?；?2）思路：綜合法的思索路線為“由因?qū)Ч?,也就為從一個 （組） 已知的不等式動身,不斷地用必要條件代替前面的不等式,直至推導(dǎo)出要求證明的不等式；3分析法（ 1）定義：從要證的結(jié)論動身,逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(shí)（定義.公理或已證明的定理.性質(zhì)等）,從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法；（ 2）思路：分析法的思索路線為“

6、執(zhí)果索因”,即從要證的不等式動身,不斷地用充分條件來代替前面的不等式,直到打到已知不等式為止；注： 綜合法和分析法的內(nèi)在聯(lián)系為綜合法往往為分析法的相反過程,其表述簡潔. 條理清晰；當(dāng)問題比較復(fù)雜時, 通常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用,以分析法查找證明的思路, 用綜合法表達(dá).表達(dá)整個證明過程；4放縮法（ 1）定義：證明不等式時, 通常把不等式中的某些部分的值放大或縮小,簡化不等式,從而達(dá)到證明的目的,這種證明方法稱為放縮法；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）思路：分析證明式的形式特點(diǎn),適當(dāng)放大或縮小為證題關(guān)鍵；5. 除此之外仍有反證法和數(shù)學(xué)歸納法【肯定值不等式習(xí)題】精品學(xué)習(xí)

7、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 1】不等式 | x5| x3|10 的解集為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（a） -5.7（ b）-4、6（c） 、57、（ d） 、46、【答案】 d精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】由不等式的幾何意義知,式子| x5 | x3 | 表示數(shù)軸的點(diǎn) x 與點(diǎn)（ 5）的距離精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載和與點(diǎn)（ -3 ）的距離之和,其距離之和的最小值為8,結(jié)合數(shù)軸,選項(xiàng)d 正確精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例2】 已知集合a xr | x3x49 、 bxr | x4t1 、 t t

8、0、,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就集合 ab = .【答案】xr |2x5【解析】axr | x3 | x4 |9xr |4x5,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b xr | x4t1 t6、t0、xr | x24t1t6、 t0、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xr | x2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 abxr |4x5xr | x2xr |2x5 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 3】對于實(shí)數(shù)x ,y ,如 x11, y21,就 x2 y1 的最大值為.

9、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【答案】 5【例 4】不等式x1x30 的解集為 .3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】 x | x1；由題得 | x1 | | x3 | x12 x32x1所以不等式的解集為 x | x1；【例 5】如關(guān)于x 的不等式ax1x2 存在實(shí)數(shù)解,就實(shí)數(shù)a 的取值范疇為3 u 3、x1x2| x1x2|3所以 ax1x2存在實(shí)數(shù)解,有【答案】 、【解析】：由于a3 a3或 a3【例 6】已知函數(shù)f （ x ） =|x-2|-|x-5|.（i ）證明： -3 f （x） 3；（ ii ）求不等式f （x） x2-8x+15 的解集 .

10、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：（ i ）f x| x2 | x3、5 |2 x3、x7、2x2、x5、5.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) 2x5時、32x73.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以3f x3.（ ii ）由（ i ）可知,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) x2時、f xx28x15 的解集為空集；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) 2x5時、f xx28x15的解集為 x | 53x5 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)

11、習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) x5時、f xx28x15的解集為 x | 5x6 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載綜上,不等式f xx28 x15的解集為 x | 53x6.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 7】已知函數(shù)f x| x2 |、 g x| x3 |m.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）解關(guān)于x 的不等式f xa10 ar ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

12、料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）如函數(shù)f x 的圖象恒在函數(shù)g x 圖象的上方,求m 的取值范疇；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：（ 1）不等式f xa10 ,即 x2a10 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) a1 時,不等式的解集為、2u 2、 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) a1 時,不等式的解集為r ；4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) a1 時,即x21a ,即 x2a1 或者

13、x21a ,即 xa1 或者精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x3a ,解集為、1a) u 3a、 ；（ 5 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）函數(shù)f x的圖象恒在函數(shù)g x圖象的上方, 即 x2x3m 對任意實(shí)數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x 恒成立；即x2x3m 對任意實(shí)數(shù)x 恒成立；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 x2x3 x2) x

14、3) 5 ,故只要 m5 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 m 的取值范疇為、5 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【不等式證明習(xí)題】【例 1】如 a, b, c 為不全相等的正數(shù),求證：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a blg2lgb c2 lga c2 lg a lg b lg c.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證明：由 a, b, c 為正數(shù),得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ablg2lgab； lgb c2lgbc ； lga c2lgac.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)

15、習(xí)資料 - - - 歡迎下載而 a,b, c 不全相等,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a bb ca c2 2 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以lg2 lg2 lg2lgab lgbclgac lga b c lgabc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lg a lg b lg c.a bb ca c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 lg lg2 lg2lg a lg b lg c.2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 2】證明不等式1+121.31 2n n nn.精

16、品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證法一1當(dāng) n 等于 1 時,不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 假設(shè) n=kk 1 時,不等式成立,即1+11231 2k ,k精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就1112312k1k1k1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2k k11kk11k1k12k1、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) n=k+1 時,不等式成立綜合 1 .2 得當(dāng) n n*時,都有1+ 11231 2n n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

17、- - - 歡迎下載依據(jù)（）1 ,（2）可知,當(dāng)111nn 時,1.p 2n成立；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載*證法二對任意 k n,都有2 3n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12kkk2kk12kk1、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11因此12312221n2322nn12n.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載證法三設(shè) fn=2n11123*1、n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載那么對任意kn都有1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

18、- - - 歡迎下載f k11k11k1f k 2k1k k1 2 k12k k11 k12k k1k k1 kk 201精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 fk+1 fk*因此,對任意n n都有 fn fn 1 f1=1 0,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 1112312n.n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 3】已知 a 0,b 0,且 a+b=1求證a+222證法一分析綜合法）1 b+a1 25b4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載欲證原式,即證4ab+4a+b 25ab+4 0,精品

19、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即證 4ab 2 33ab+8 0,即證 ab1 或 ab84精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a 0, b 0,a+b=1, ab 8 不行能成立精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 1=a+b 2ab , ab證法二比較法）1 ,從而得證4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a+b=1, a 0, b 0, a+b 2ab , ab 14精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載25a21b21254a2b233ab814ab44ab11ab aba1 b125ab44ab84abab0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

20、料 - - - 歡迎下載證法三綜合法 a+b=1, a 0, b 0, a+b 2ab , ab 141ab2125精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1391ab2125精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1ab11ab216精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載441614abab4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即a1 b125ab4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 4】已知 an2n1nn * . 求證： n1a1a2.annn *

21、.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載23a2a3an 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載k證明：qak21111111. 1 、 k1、2、.、 n、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ak 12k 11222k 1123.2k2k223 2k精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a1a2.ann1 11.1 n1 11 n1 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a2a3an 12322 22 n232n23精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n1a1a2an.n nn * .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載23a2a3an 12精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 5】如 0a2 , 0b2 , 0c2 ,求證： 2ab, 2b