四年級奧數(shù)講義：加法原理

1、四年級奧數(shù)講義:加法原理生活中常有這樣的情況，就是在做一件嚶時，有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有 幾種可能的做法.那么，考慮完成這件事所有可能的做法，就要用我們將討論的加法原理來解 決.例如某人從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次火車從 北京到天津，有4趟長途汽車從北京到天津.那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個問題發(fā)現(xiàn)，此人去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有這兩大類走法，如果乘 火車，有5種走法，如果乘長途汽車，有4種走法.上面的每一種走法都可以從北京到天津, 故共有5+4=9種不同的走法在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法.在具體做的

2、時候，只要采用一類中的 一種方法就可以完成.并且兩大類方法是互無影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第 一類的方法數(shù)加上第二類的方法數(shù).一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有m,種不同做法，第二類方法中有 m2種不同做法，第k類方法中有叫種不同的做法，則完成這件事共有NRnl-Hn2+fiv種不同的方法.這就是加法原理.例1學(xué)校組織讀書活動，要求每個同學(xué)讀一本書.小明到圖書館借書時，圖書館有不同的外 語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本.那么，小明借一本書可以有多少種不 同的選法？分析在這個問題中，小明選一本書有三類方法.即要么選外語書，要么選科技書，要么 選小

3、說.所以，是應(yīng)用加法原理的問題.解:小明借一本書共有：150÷200+l00=450 （種）不同的選法.例2 個口袋內(nèi)裝有3個小球，另一個口袋內(nèi)裝有8個小球，所有這些小球顏色各不相同.問:從兩個口袋內(nèi)任取一個小球，有多少種不同的取法？從兩個口袋內(nèi)各取一個小球，有多少種不同的取法？分析 中，從兩個口袋中只需取一個小球，則這個小球要么從第一個口袋中取，要么從 第二個口袋中取，共有兩大類方法.所以是加法原理的問題.中，要從兩個口袋中各取一個小球，則可看成先從第一個口袋中取一個，再從第二個口 袋中取一個，分兩步完成，是乘法原理的問題.解:從兩個口袋中任取一個小球共有3+8=11 （種），不同

4、的取法.從兩個口袋中各取一個小球共有3×8=24 （種）不同的取法.補(bǔ)充說明:山本題應(yīng)注意加法原理和乘法原理的區(qū)別及使用范圍的不同，乘法原理中，做 完一件農(nóng)要分成若干個步驟，一步接一步地去做才能完成這件農(nóng)；加法原理中，做完一件事 可以有幾類方法，每一類方法中的一種做法都可以完成這件事.事實(shí)上，往往有許多事悄是有兒大類方法來做的，而每一類方法乂要由兒步來完成，這就 要熟悉加法原理和乘法原理的內(nèi)容，綜合使用這兩個原理.例3如右圖，從甲地到乙地有4條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從屮地到丙地有3 條路可走.那么，從甲地到丙地共有多少種走法？分析從屮地到丙地共有兩大類不同的走法.第一類，

5、由甲地途經(jīng)乙地到丙地.這時，要分兩步走，第一步從屮地到乙地，有4種走法； 第二步從乙地到丙地共2種走法，所以由乘法原理，這時共有4X2=8種不同的走法.第二類，由甲地直接到丙地，由條件知，有3種不同的走法.解川I加法原理知，由屮地到丙地共有：4X2+3=11 （種）不同的走法.例4如下頁圖，一只小甲蟲要從A點(diǎn)出發(fā)沿著線段爬到B點(diǎn)，要求任何點(diǎn)和線段不可重復(fù)經(jīng) 過.問:這只甲蟲有多少種不同的走法？分析從A點(diǎn)到B點(diǎn)有兩類走法，一類是從A點(diǎn)先經(jīng)過C點(diǎn)到B點(diǎn)，一類是從A點(diǎn)先經(jīng) 過D點(diǎn)到B點(diǎn).兩類中的每一種具體走法都要分兩步完成，所以每一類中，都要用乘法原理， 而最后計(jì)算從A到B的全部走法時，只要用加法原

6、理求和即可.解:從A點(diǎn)先經(jīng)過C到B點(diǎn)共有：1X3=3 （種）不同的走法.從A點(diǎn)先經(jīng)過D到B點(diǎn)共有：2X3=6 （種）不同的走法.所以，從A點(diǎn)到B點(diǎn)共有：3÷6=9 （種）不同的走法.例5有兩個相同的正方體，每個正方體的六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6.將兩個 正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？分析要使兩個數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個數(shù)字要么同為 奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來考慮.第一類，兩個數(shù)字同為奇數(shù).由于放兩個正方體可認(rèn)為是一個一個地放.放笫一個正方體 時，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1, 3, 5；放第二個正方體，出

7、現(xiàn)奇數(shù)也有三種可能，由乘法原 理，這時共有3X3=9種不同的情形.第二類，兩個數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類的討論方法，也有3X3=9種不同情形.最后再山加法原理即可求解.解:兩個正方體向上的一面同為奇數(shù)共有3X3=9 （種）不同的情形；兩個正方體向上的一面同為偶數(shù)共有3X3=9 （種）不同的情形.所以，兩個正方體向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的共有3×3+3X3=18 （種）不同的情形 例6從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個?分析 從1到500的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)一位數(shù)中,兩位數(shù)中,情況個位上,以先取十位數(shù),三位數(shù)中,不含4的有8個,它們是1

8、、2、3、5、6、7、8、9； 不含4的可以這樣考慮:十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9這八種 不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個兩位數(shù)，可 再取個位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時共有8X9=72個數(shù)不含4 小于500并且不含數(shù)字4的可以這樣考慮:百位上，不含4的有1、2、3、這三 種情況十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種悄況，個位上，不含4的也 有九種情況.要確定一個三位數(shù)，可以先取白位數(shù)，再取十位數(shù)，最后取個位數(shù)，應(yīng)用乘法原 理，這時共有3 ×9X9=243個三位數(shù)由于500也是一個不含4的三位數(shù).所以，1500中,不

9、含4的三位數(shù)共有3 ×9X9+1=244個.解:在1500中，不含4的一位數(shù)有8個；不含4的兩位數(shù)有8× 9=72個；不含4的三位數(shù)有3X9X9+1=244個,由加法原理,在1500中,共有:8÷8×9÷3×9X9+1=324 （個）不含4的自然數(shù)補(bǔ)充說明:這道題也可以這樣想:把一位數(shù)看成是前面有兩個0的三位數(shù)，如:把1看成是 001.把兩位數(shù)看成是前面有一個0的三位數(shù).如:把11看成011.那么所有的從1到500的自 然數(shù)都可以看成是“三位數(shù)”，除去500外，考慮不含有4的這樣的“三位數(shù)”.百位上，有0、 1、2、3這四種選法；十位

10、上，有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種選法；個位上，也有九 種選法.所以，除500外，有4×9×9=324個不含4的“三位數(shù)”.注意到，這里面有一個數(shù) 是Oo0,應(yīng)該去掉.而500還沒有算進(jìn)去，應(yīng)該加進(jìn)去.所以，從1到500中，不含4的自然 數(shù)仍有324個.這是一種特殊的思考問題的方法，注意到當(dāng)我們對“三位數(shù)”重新給予規(guī)定之后，問題很 簡捷地得到解決.例7如下頁左圖，要從A點(diǎn)沿線段走到B,要求每一步都是向右、向上或者向斜上方.問有 多少種不同的走法？分析觀察下頁左圖，注意到，從A到B要一直向右、向上，那么，經(jīng)過下頁右圖中C、 D、E、F四點(diǎn)中的某一點(diǎn)的路線一定不再經(jīng)

11、過其他的點(diǎn).也就是說從A到B點(diǎn)的路線共分為 四類，它們是分別經(jīng)過C、D、E、F的路線.第一類，經(jīng)過C的路線，分為兩步，從A到C再從C到B,從A到C有2條路可走，從 C到B也有兩條路可走，曲乘法原理，從A經(jīng)C到B共有2X2=4條不同的路線.第二類，經(jīng)過D點(diǎn)的路線，分為兩步，從A到D有4條路，從D到B有4條路，曲乘法 原理，從A經(jīng)D到B共有4×4=16種不同的走法.第三類，經(jīng)過E點(diǎn)的路線，分為兩步，從A到E再從E到B,觀察發(fā)現(xiàn).各有一條路.所 以，從A經(jīng)E到B共有1種走法.第四類，經(jīng)過F點(diǎn)的路線，從A經(jīng)F到B只有一種走法.最后山加法原理即可求解.解:如上右圖，從A到B共有下面的走法：從A經(jīng)C到B共有2X2=4種走法；從A經(jīng)D到B共有4X4=16種走法；從A經(jīng)E到B共有1種走法；從A經(jīng)F到B共有1種走法.所以，從A到B共有：4+16÷l+l=22種不同的走法.習(xí)題二1 如右圖，從屮地到乙地有三條路，從乙地到丙地有三條路，從甲地到丁地有兩條路， 從丁地到丙地有四條路，問:從甲地到丙地