3系統(tǒng)抽樣、分層抽樣

1、2. 1.2系統(tǒng)抽樣2. 1.3 分層抽樣:學習目標】1理解并掌握系統(tǒng)抽樣、分層抽樣；2會用系統(tǒng)抽樣、分層抽樣從總體中抽取樣本；3理解三種抽樣的區(qū)別與聯(lián)系.Q問題導學:知識點一系統(tǒng)抽樣思考i當總體中的個體數(shù)較多時，為什么不宜用簡單隨機抽樣？答案 因為個體較多，采用簡單隨機抽樣如制作號簽等工作會耗費大量的人力、物力和時間，而且不容易做到“攪拌均勻”，從而使樣本的代表性不強.思考2用系統(tǒng)抽樣抽取樣本時，每段各取一個號碼，其中第1段的個體編號怎樣抽??？以后各段的個體編號怎樣抽?。看鸢?用簡單隨機抽樣抽取第 1段的個體編號在抽取第 1段的號碼之前，自定義規(guī)則確定 以后各段的個體編號，通常是將第1段抽取

2、的號碼依次累加間隔 k.梳理系統(tǒng)抽樣(1) 定義：要從容量為N的總體中抽取容量為 n的樣本，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預先規(guī)定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體，得到所需要的樣本的抽樣方法.步驟： 先將總體的N個個體編號有時可直接利用個體自身所帶的號碼，如學號、準考證號、門 確定分段間隔k,對編號進行分段.當 N(n是樣本容量)是整數(shù)時，取k= N；當£不是整數(shù)時，先從總體中隨機剔除幾個個體，再重新編號，然后分段； 在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號1(1 < k)； 按照一定的規(guī)則抽取樣本.通常是將I加上間隔k得到第2個個體編號(1+ k)，再加k得到第3個個體編

3、號(I + 2k)，依次進行下去，直到獲取整個樣本.知識點二分層抽樣思考1當所研究的總體由差異明顯的幾部分組成時，還可用系統(tǒng)抽樣嗎？答案不可以.思考2分層抽樣的總體具有什么特性？答案 分層抽樣的總體由差異明顯的幾部分構成，也就是說當已知總體由差異明顯的幾部分 組成時，為了使樣本充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的 比例進行抽樣.思考3系統(tǒng)抽樣時，將總體分成均等的幾部分，每部分抽取一個，符合分層抽樣，故系統(tǒng) 抽樣就是一種特殊的分層抽樣，這種說法對嗎？答案 不對，因為分層抽樣是從各層獨立地抽取個體，而系統(tǒng)抽樣各段上抽取是按事先確定 好的規(guī)則進行的，各層編號有聯(lián)系，不是獨立

4、的，故系統(tǒng)抽樣不同于分層抽樣.梳理分層抽樣(1) 定義一般地，當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣的方法.般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣.分層抽樣盡量利用了調查者對調查對象(總體)事先所掌握的各種信息，并充分考慮了保持樣 本結構與總體結構的一致性，這對提高樣本的代表性是非常重要的.(2) 分層抽樣的實施步驟第一步，按某種特征將總體分成若干部分(層).第二步，計算抽樣比.抽樣比=樣本容量總體中的個體數(shù)第三步，各層抽取的個體數(shù)=各層總的個體數(shù)X抽樣比.第四步，依

5、各層抽取的個體數(shù)，按簡單隨機抽樣從各層抽取樣本.第五步，綜合每層抽樣，組成樣本.知識點三三種抽樣方法的比較方法類別共同特點抽樣特征相互聯(lián)系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽取的概率相等從總體中逐個不放回抽取簡單隨機抽樣是基礎樣本容量較小系統(tǒng)抽樣將總體分成均衡的幾部分，按規(guī)則關聯(lián)抽取用簡單隨機抽樣抽取起始號碼總體中的個體數(shù)較多，樣本容量較大分層抽樣將總體分成幾層，按比例分層抽取用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣對各層抽樣總體由差異明顯的幾部分組成例1為了了解參加某種知識競賽的1 000名學生的成績，從中抽取一個容量為50的樣本，那么采用什么抽樣方法比較恰當？簡述抽樣過程.解 適宜選用系統(tǒng)抽樣，抽樣

6、過程如下：(1) 隨機地將這1 000名學生編號為1,2,3,，1000.(2) 將總體按編號順序均分成50個部分，每部分包括 20個個體.(3) 在第一部分的個體編號 1,2,3,，20中，利用簡單隨機抽樣抽取一個號碼I.以I為起始號碼，每間隔 20抽取一個號碼，這樣得到一個容量為50的樣本：I, I + 20, I+ 40,I + 980.引申探究在本例中，如果總體是 1 002，其余條件不變，又該怎么抽樣？解(1)將每個學生編一個號，由1至1002.利用隨機數(shù)法剔除 2個號.將剩余的1 000名學生重新編號1至1000.(4) 按編號順序均分成 50個部分，每部分包括 20個個體.(5)

7、 在第一部分的個體編號1,2,3,，20中，利用簡單隨機抽樣抽取一個號碼I.以I為起始號碼，每間隔 20抽取一個號碼，這樣得到一個容量為50的樣本：I，I + 20, I+ 40,I + 980.反思與感悟當總體中的個體數(shù)不能被樣本容量整除時，需要在總體中剔除一些個體由于剔除方法采用簡單隨機抽樣，所以即使是被剔除的個體，在整個抽樣過程中被抽到的機會和其他個體是一樣的.跟蹤訓練1某工廠有1 003名工人，從中抽取10人參加體檢，試用系統(tǒng)抽樣進行具體實施.解 將每個工人編一個號，由0001至1003.(2) 利用隨機數(shù)法找到 3個號將這3名工人剔除.將剩余的1 000名工人重新編號 0001至10

8、00.分段，取間隔k=罟豈=100,將總體均分為10組，每組100個工人.從第一段即0001號到0100號中隨機抽取一個號 I.按編號將I,100+ I,200 + I,，900 + I，共10個號選出.這10個號所對應的工人組成樣本.類型二分層抽樣及應用命題角度1分層抽樣適用情形判定例2 某地區(qū)有高中生 2 400人，初中生10 900人，小學生11 000人.當?shù)亟逃块T為了了 解本地區(qū)中小學生的近視率及其形成原因，要從本地區(qū)的中小學生中抽取1%的學生進行調查，你認為應當怎樣抽取樣本？解(1)從總體來看，因為不同年齡階段的學生的近視情況可能存在明顯差異，為了使樣本具有較好的代表性，應該分高

9、中、初中、小學三個層次分別抽樣.從三類學生的數(shù)量來看，人數(shù)較多，所以在各層抽樣時可以采用系統(tǒng)抽樣.(3) 采用系統(tǒng)抽樣分好組之后，確定第一組人選時，可以采用簡單隨機抽樣.在實際操作時,反思與感悟 分層抽樣實質是利用已知信息盡量使樣本結構與總體結構相似.并不排斥與其他抽樣方法聯(lián)合使用.跟蹤訓練2 某單位有員工500人，其中35歲以下的有125人，35歲49歲的有280人, 50歲以上的有95人.為了調查員工的身體狀況，要從中抽取一個容量為100的樣本，如何進行抽??？解 因為員工按年齡分為三個層，各層的身體狀況有明顯的差異，所以為了使樣本具有代表性，需要采用分層抽樣.抽樣比為1 : 5，即每5人中

10、抽取一人.1 1 135 歲以下：125X 5 = 25（人）,35 歲49 歲：280 X 5 = 56（人）,50 歲以上：95X5 = 19（人）.命題角度2分層抽樣具體實施步驟16人，教師有112人，后勤人員有32人.教要從中抽取一個容量為 20的樣本，請利用例3某學校有在職人員160人，其中行政人員有育部門為了了解在職人員對學校機構改革的意見， 分層抽樣的方法抽取，寫出抽樣過程.解抽樣過程如下：20 _ 1160= 8.116 X- = 2（人）;第一步，確定抽樣比，樣本容量與總體容量的比為 第二步，確定分別從三類人員中抽取的人數(shù)，從行政人員中抽取1從教師中抽取112X 8= 14（

11、人）;1從后勤人員中抽取32 X = 4（人）.8第三步，采用簡單隨機抽樣的方法，抽取行政人員2人，教師14人，后勤人員4人.第四步，把抽取的個體組合在一起構成所需樣本.反思與感悟 在分層抽樣的過程中，為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的，這就要求 各層所抽取的個體數(shù)與該層所包含的個體數(shù)之比等于樣本容量與總體容量之比.跟蹤訓練3 某單位最近組織了一次健身活動，活動小組分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加了其中一組.在參加活動的職工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占110%.登山組的職工占參加活動總人數(shù)的4且該組中青年人占 50%，中年人占40%，老年人現(xiàn)用分層抽樣方法從參

12、加占10%.為了了解各組不同年齡層次的職工對本次活動的滿意程度,活動的全體職工中抽取 200人進行抽查，試確定: 游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；（2）游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應抽取的人數(shù).解（1）設登山組人數(shù)為x,則游泳組人數(shù)為 3x,再設游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、b、c,則有x 40% + 3xbx 10% + 3xc4x=47.5%,4x=10%,解得 b= 50%, c= 10%, 故 a= 1 50% 10% = 40%.所以游泳組中，青年人、中年人、老年人各占的比例分別為40%、50%、10%.33游泳組中，抽取的青年人人數(shù)為 2

13、00X 4 X 40% = 60 ,抽取的中年人人數(shù)為 200 X50% =375,抽取的老年人人數(shù)為 200 X X 10% = 15.4甌當堂訓練1檢測員每10分鐘從勻速傳遞的新產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上抽取一件新產(chǎn)品進行某項指標檢測， 這樣的抽樣方法是（）A 系統(tǒng)抽樣法B 抽簽法C .隨機數(shù)法D .其他抽樣方法答案 A 解析根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和性質進行判斷即可.2 交通管理部門為了解機動車駕駛員（簡稱駕駛員）對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調查假設四個社區(qū)駕駛員的總人數(shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這

14、四個社區(qū)駕駛員的總人數(shù)N為（）A. 101 B. 808 C. 1 212 D. 2 012答案 B12解析 根據(jù)分層抽樣，得 N X= 96,解得N= 808，故選B.12+ 21 + 25 + 433 .為了調查某省各城市 PM2.5的值，按地域把36個城市分成甲、乙、丙三組，對應的城市數(shù)分別為6,12,18.若用分層抽樣的方法抽取12個城市，則乙組中應抽取的城市數(shù)為 .答案 412 1解析 乙組城市數(shù)占總城市數(shù)的比例為 =-,樣本容量為12 ,故乙組中應抽取的城6+ 12+ 18 31市數(shù)為12X 3= 4.4 某班級有50名學生，現(xiàn)要采用系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學生中抽出10名學生，將

15、這50名學生隨機編號為 150號，并均勻分組，第一組15號，第二組610號，第十組4650號，若在第三組中抽得號碼為12的學生，則在第八組中抽得號碼為 的學生.答案 37解析 因為12= 5X 2 + 2,所以第n組中抽得號碼為5(n 1) + 2的學生所以第八組中抽得 號碼為5X 7 + 2= 37的學生.5. 一批產(chǎn)品中有一級品100個，二級品60個，三級品40個，分別用系統(tǒng)抽樣法和分層抽樣法從這批產(chǎn)品中抽取一個容量為20的樣本.20個部分，在第1部分中5,15,25,，195 的個體,即可得到所需樣本.解 系統(tǒng)抽樣法：將200個產(chǎn)品編號為1200,然后將編號分成用簡單隨機抽樣法抽取1個編

16、號如抽到5號，那么得到編號為 即可得到所需樣本.20 1200 10'分層抽樣法：因為 100 + 60 + 40 = 200,所以1 1 1 所以 100X 10 = 10,60 X 帚 6,40 X 帝 4.因此在一級品、二級品和三級品中分別抽取10個、6個和4個,規(guī)律與方法 1 .系統(tǒng)抽樣有以下特點：(1) 適用于總體容量較大的情況；(2) 剔除多余個體及第一段抽樣都要用簡單隨機抽樣，因而與簡單隨機抽樣有密切聯(lián)系;(3) 是等可能抽樣，每個個體被抽到的可能性都是N ；(4) 是不放回抽樣.在抽樣時，只要第一段抽取的個體確定了，后面各段中要抽取的個體依照事先確定好的規(guī)律 就自動地被

17、抽出，因此簡單易行.2 總體容量小，簡單隨機抽樣；總體容量大，系統(tǒng)抽樣；總體差異明顯，分層抽樣在實際 抽樣中，為了使樣本具有代表性，通常要同時使用幾種抽樣方法.40分鐘課時作業(yè)一、選擇題1 .為了抽查某城市小轎車年檢情況，在該城市采取抽車牌末位數(shù)字為6的小轎車進行檢查，這種抽樣方法是()A .隨機數(shù)法B .抽簽法C 系統(tǒng)抽樣法D 其他抽樣方法答案 C解析 由于每個車牌的末位數(shù)字為0,1,2,，9十個數(shù)字之一，某輛車車牌末位數(shù)字為6是隨機的，這相當于將所有汽車分成若干組，每組10個(車牌的末位數(shù)字依次為 0,1,2,，9),取每一組中的第6個，故為系統(tǒng)抽樣.2 某校三個年級共有 24個班，學校為

18、了了解同學們的心理狀況，將每個班編號，依次為1到24，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取 4個班進行調查，若抽到的編號之和為 48,則抽到的最小編號為()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5答案 B一 24解析 由題意得系統(tǒng)抽樣的抽樣間隔為24 = 6.設抽到的最小編號為 x，貝U x+ (6 + x) + (12 + x)+ (18 + x) = 48,所以 x= 3，故選 B.3 .某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種及20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為 20的樣本進行食品安全檢測.若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是()A

19、. 4 B. 5 C. 6 D. 7 答案 C1解析 四類食品的種數(shù)比為4 ： 1 ： 3 : 2，則抽取的植物油類的種數(shù)為20X10= 2,抽取的果2蔬類的種數(shù)為20X 10= 4, 二者之和為6,故選C.4 對一個容量為 N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為Pl, P2, P3,則（）A . P1= p2< p3B . P2= p3< p1C . P1= P3< P2D . P1 = P2= P3答案 D解析因為采取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的 概率

20、相等，故選D.5 .某學校高一、高二、高三三個年級共有學生3 500人，其中高三學生數(shù)是高一學生數(shù)的兩1倍，高二學生數(shù)比高一學生數(shù)多300人，現(xiàn)在按100的抽樣比用分層抽樣的方法抽取樣本，則應抽取高一學生數(shù)為（）A. 8 B. 11 C. 16 D. 10答案 A解析 若設高三學生數(shù)為x,則高一學生數(shù)為2,高二學生數(shù)為2+ 300,所以有x+ 2+ X + 300=3 500,解得x= 1 600.故高一學生數(shù)為800,因此應抽取高一學生數(shù)為嚮=8.6. 某單位有840名職工，現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取42人做問卷調查，將 840人按1,2,，840隨機編號，則抽取的 42人中，編號落入?yún)^(qū)間481

21、,720的人數(shù)為（）A . 11 B . 12 C . 13 D. 14答案 B解析由于840= 20,即每20人抽取1人，所以抽取編號落入?yún)^(qū)間481,720的人數(shù)為720 48020=12.24020、填空題7. 某企業(yè)共有職工150人，其中高級職稱 15人，中級職稱45人，低級職稱90人，現(xiàn)采用分層抽樣來抽取30人，則抽取的高級職稱的人數(shù)為 .答案 330 11解析 由題意得抽樣比為 石0 = £所以抽取的高級職稱的人數(shù)為15 X- = 3.150 558 .某工廠生產(chǎn) A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比為2 : 3 : 5.現(xiàn)用分層抽樣的方法抽出一個容量為 n的樣本，其

22、中A種型號產(chǎn)品有16件，那么此樣本的容量n=答案 802解析 16-= 80.2+ 3 + 59.200名職工年齡分布如圖所示，從中隨機抽取40名職工作樣本，采用系統(tǒng)抽樣方法，按1200編號，分為40組，分別為15,610,，196200,第5組抽取號碼為22,第8組抽取號碼為人.答案 3720 解析 將1200編號分為40組，則每組的間隔為 5,其中第5組抽取號碼為22,則第8組 抽取的號碼應為 22 + 3X 5 = 37;由已知條件200名職工中40歲以下的職工人數(shù)為 200X 50% =100,設在40歲以下年齡段中應抽取 x人，則200 =希，解得x= 20.10某班共有學生52人，

23、現(xiàn)根據(jù)學生的學號用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知學號為6號、32號、45號的同學在樣本中， 那么樣本中剩下的一個同學的學號是 號.答案 19解析/ 45-32= 13, A抽樣間隔為13,故抽取學生的學號依次為 6、19、32、45,故填19.三、解答題11. 一個公司有職工160人，其中業(yè)務人員120人，管理人員16人，后勤服務人員24人.為 了了解職工的某種情況， 要從中抽取一個容量為 20的樣本，用分層抽樣的方法抽取樣本， 并 寫出過程.解 樣本容量與職工總人數(shù)的比為20 : 160= 1 : 8,所以業(yè)務人員、管理人員和后勤服務人員各應抽取的人數(shù)分別為1201624-T-' w和肓，即分別為15、2和3，每一層抽取時采用簡單隨機抽8 8 8 樣或系統(tǒng)抽樣，再將各層抽取的個體合在