直線、平面平行與垂直的綜合問題

1、»»»第六節(jié) 直線、平面平行與垂直的綜合問題考點一 立體幾何中的探索性問題典例 (2018· 全國卷)如圖，矩形 ABCD 所在平面與半圓弧 CD 上異于 C，D 的點CD 所在平面垂直，M 是(1) 證明：平面 AMD平面 BMC.(2) 在線段 AM 上是否存在點 P，使得 MC平面 PBD？說明理由解(1)證明：由題設知，平面 CMD平面 ABCD，交線為 CD.因為 BCCD，BC平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，所以 BCDM.因為 M 為 CD 上異于 C，D 的點，且 DC 為直徑，所以 DMCM.又 BCCMC，所以 DM平面 BM

2、C.因為 DM平面 AMD，所以平面 AMD平面 BMC.(2)當 P 為 AM 的中點時，MC平面 PBD.證明如下：連接 AC 交 BD 于 O.因為四邊形 ABCD 為矩形，所以 O 為 AC 的中點連接 OP，因為 P 為 AM 的中點，所以 MCOP.又 MC平面 PBD，OP平面 PBD，所以 MC平面 PBD.題組訓練1.如圖，三棱錐 P-ABC 中，PA平面 ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60°.(1)求三棱錐 P-ABC 的體積；PM(2)在線段 PC 上是否存在點 M，使得 ACBM，若存在，請說明理由，并求 的值MC解：(1)由題設 AB1，AC2，BA

3、C60°，1 3可得 · AB· AC·sin 60° .ABC 2 2由 PA平面 ABC，可知 PA 是三棱錐 P-ABC 的高，又 PA1，1 3所以三棱錐 P-ABC 的體積 V · · PA .3 ABC 6(2)在線段 PC 上存在點 M ，使得 AC BM ，證明如下：如圖，在平面 ABC 內(nèi)，過點 B 作 BN AC ，垂足為 N .在平面 PAC 內(nèi)，過點 N 作 MN PA 交 PC 于點 M ，連接 BM .由 PA 平面 ABC ，知 PA AC ，所以 MN AC .因為 BN MN N ，所以 A

4、C 平面 MBN ，又 BM平面 MBN ，所以 AC BM .1在 BAN 中，AN AB ·cosBAC ，23從而 NC AC AN ，2PM AN 1由 MN PA ，得 .MC NC 32.如圖，在四棱錐 P -ABCD 中，PD 平面 ABCD ，底面 ABCD 為 正方形，BC PD 2，E 為 PC 的中點，CB 3CG .(1) 求證：PC BC ；(2) AD 邊上是否存在一點 M ，使得 PA 平面 MEG ？若存在，求 出 AM 的長；若不存在，請說明理由解：(1)證明：因為 PD 平面 ABCD ，BC平面 ABCD ，所以 PD BC .因為四邊形 ABC

5、D 是正方形，所以 BC CD .又 PD CD D ，PD 所以 BC 平面 PCD .平面 PCD ，CD平面 PCD ，因為 PC平面 PCD ，所以 PC BC .(2)連接 AC ，BD 交于點 O ，連接 EO ，GO ，延長 GO 交 AD 于點 M ，連接 EM ，則 PA 平面 MEG . 證明如下：因為 E 為 PC 的中點，O 是 AC 的中點， 所以 EO PA .因為 EO平面 MEG ，PA 平面 MEG ，所以 PA 平面 MEG .2因為OCG OAM ，所以 AM CG ，32所以 AM 的長為 .3333ABP3 3 2考點二 平面圖形的翻折問題典例 (20

6、18· 全國卷)如圖，在平行四邊形 ABCM 中，ABAC3，ACM90°.以 AC 為折痕將ACM 折起，使點 M 到達點 D 的位置，且 ABDA.(1)證明：平面 ACD平面 ABC；2(2)Q 為線段 AD 上一點，P 為線段 BC 上一點，且 BPDQ DA，求三棱錐 Q-ABP 的體積解：(1)證明：由已知可得，BAC90°，即 BAAC.又因為 BAAD，ACADA，所以 AB平面 ACD.因為 AB 平面 ABC，所以平面 ACD平面 ABC.(2)由已知可得，DCCMAB3，DA3 2.2又 BPDQ DA，所以 BP2 2.1如圖，過點 Q 作

7、 QEAC，垂足為 E，則 QE 綊 DC.由已知及(1)可得，DC平面 ABC，所以 QE平面 ABC，QE1.1 1 1因此，三棱錐 Q-ABP 的體積為 VQ-ABP ×S ×QE × ×3×2 2sin 45°×11. 題組訓練1(2019· 湖北五校聯(lián)考)如圖 1 所示，在直角梯形 ABCD 中，ADC90°，ABCD， 1ADCD AB2，E 為 AC 的中點，將ACD 沿 AC 折起，使折起后的平面 ACD 與平面2ABC 垂直，得到如圖 2 所示的幾何體 D-ABC.222222 2 22

8、27(1) 求證：BC平面 ACD；(2) 點 F 在棱 CD 上，且滿足 AD平面 BEF，求幾何體 F-BCE 的體積解：(1)證明：AC ADCD 2 2，BACACD45°，AB4，在ABC 中，BCAC AB2AC×AB×cos 45°8，AB AC BC 16，ACBC.平面 ACD平面 ABC，平面 ACD平面 ABCAC，BC平面 ACD.(2)AD平面 BEF，AD 平面 ACD，平面 ACD平面 BEFEF，ADEF， E 為 AC 的中點，EF 為ACD 的中位線，1由(1)知，幾何體 F-BCE 的體積 V V ×S &

9、#215;BC，F(xiàn)-BCE B-CEF 3 CEF1 1 1 1S S × ×2×2 ，CEF 4 ACD 4 2 2V1 1 2 × ×2 2 .F-BCE 3 2 32(2018· 合肥二檢)如圖 1，在平面五邊形 ABCDE 中，ABCE，且 AE2，AEC560°，CDED 7，cosEDC .將CDE 沿 CE 折起，使點 D 到 P 的位置，且 AP 3，7得到如圖 2 所示的四棱錐 P-ABCE.(1) 求證：AP平面 ABCE；(2) 記平面 PAB 與平面 PCE 相交于直線 l，求證：ABl.5證明：(1

10、)在CDE 中，CDED 7，cosEDC ，7由余弦定理得 CE5( 7)( 7)2× 7× 7× 2.連接 AC，AE2，AEC60°，2 2 2AC2.又 AP 3，在PAE 中，AP AE PE ，即 APAE.同理，APAC.ACAEA，AC平面 ABCE，AE平面 ABCE， AP平面 ABCE.(2)ABCE，且 CE平面 PCE，AB平面 PCE， AB平面 PCE.又平面 PAB平面 PCEl，ABl.3PA AE33課時跟蹤檢測1.如圖，四棱錐 P-ABCD 的底面 ABCD 是圓內(nèi)接四邊形(記此圓為 W)，且 PA平面 ABCD.

11、(1)當 BD 是圓 W 的直徑時，PABD2，ADCD 3，求四棱錐 P-ABCD 的體積 (2)在(1)的條件下，判斷在棱 PA 上是否存在一點 Q，使得 BQ平面 PCD？若存在，求出 AQ 的長；若不存在，請說明理由解：(1)因為 BD 是圓 W 的直徑，所以 BAAD，因為 BD2，AD 3，所以 AB1.同理 BC1，所以 S AB· AD 3.四邊形 ABCD因為 PA平面 ABCD，PA2，1 2 3所以四棱錐 P-ABCD 的體積 V S · PA .3 四邊形 ABCD 32(2)存在，AQ .理由如下延長 AB，DC 交于點 E，連接 PE，則平面 P

12、AB 與平面 PCD 的交線是 PE.假設在棱 PA 上存在一點 Q，使得 BQ平面 PCD，AQ AB則 BQPE，所以 .2經(jīng)計算可得 BE2，所以 AEABBE3，所以 AQ .2故存在這樣的點 Q，使 BQ平面 PCD，且 AQ .2.如圖，側棱與底面垂直的四棱柱 ABCD-A B C D 的底面是梯形，ABCD，ABAD，1 1 1 11AA 4，DC2AB，ABAD3，點 M 在棱 A B 上，且 A M A B .已知點 E 是直1 1 1 1 3 1 1線 CD 上的一點，AM平面 BC E.1(1) 試確定點 E 的位置，并說明理由；(2) 求三棱錐 M-BC E 的體積1解

13、：(1)點 E 在線段 CD 上且 EC1，理由如下：在棱 C D 上取點 N，使得 D NA M1，連接 MN，DN，1 1 1 1因為 D NA M，所以四邊形 D NMA 為平行四邊形，1 1 1 1所以 MN 綊 A D 綊 AD.1 1所以四邊形 AMND 為平行四邊形，所以 AMDN.因為 CE1，所以易知 DNEC ，所以 AMEC ，1 1又 AM平面 BC E，EC 平面 BC E，1 1 1所以 AM平面 BC E.111æöèø3 21故點 E 在線段 CD 上且 EC1. (2)由(1)知，AM平面 BC E，1所以 V V V

14、M-BC E A-BC E C1 1 × ×3×3 ×46. - ABE3(2019· 湖北武漢部分學校調(diào)研)如圖 1，在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，E 是 CD 的中 點，將ADE 沿 AE 折起，得到如圖 2 所示的四棱錐 D -ABCE，其中平面 D AE平面 ABCE.1 1(1)證明：BE平面 D AE；1(2)設 F 為 CD 的中點，在線段 AB 上是否存在一點 M，使得 MF平面 D AE，若存在，求1 1AM出 的值；若不存在，請說明理由AB解：(1)證明：四邊形 ABCD 為矩形且 ADDEECBC2，AEB90&#

15、176;，即 BEAE， 又平面 D AE平面 ABCE，平面 D AE平面 ABCEAE，BE平面 D AE.1 1 1(2)當AM 1 時，MF平面 D AE，理由如下：取 D E 的中點 L，連接 FL，AL， AB 4 1 1FLEC，又 ECAB，1FLAB，且 FL AB，4M，F(xiàn)，L，A 四點共面，又 MF平面 AD E，MFAL.1四邊形 AMFL 為平行四邊形，1 AM 1AMFL AB， .4 AB 44如圖 1 所示，在 ABC 中，ABC90°，D 為 AC 的中點，AEBD 于點 E(不同 于點 D)，延長 AE 交 BC 于點 F，將ABD 沿 BD 折起

16、，得到三棱錐 A -BCD，如圖 2 所示1(1)若 M 是 FC 的中點，求證：直線 DM平面 A EF.1(2)求證：BDA F.1(3)若平面 A BD平面 BCD，試判斷直線 A B 與直線 CD 能否垂直？請說明理由1 1解：(1)證明：D，M 分別為 AC，F(xiàn)C 的中點，DMEF，又EF平面 A EF，DM平面 A EF，1 1DM平面 A EF.1(2)證明：EFBD，A EBD，A EEFE，1 1A E平面 A EF，EF平面 A EF，1 1 1BD平面 A EF，1又 A F平面 A EF，BDA F.1 1 1(3)直線 A B 與直線 CD 不能垂直理由如下：1平面

17、BCD平面 A BD，平面 BCD平面 A BDBD，EFBD，EF平面 BCD，1 1EF平面 A BD，1又A B平面 A BD，A BEF，1 1 1又DMEF，A BDM.1假設 A BCD，DMCDD，1A B平面 BCD，1A BBD，與A BD 為銳角矛盾，1 1直線 A B 與直線 CD 不能垂直15(2019· 河南名校聯(lián)考)如圖，在多面體 ABCDEF 中，四邊形 ABCD 是梯形，ABCD， ADDCCBa，ABC60°，四邊形 ACFE 是矩形，且平面 ACFE平面 ABCD，點 M 在線段 EF 上(1) 求證：BC平面 ACFE；(2) 當 EM

18、 為何值時，AM平面 BDF？證明你的結論解：(1)證明：在梯形 ABCD 中，因為 ABCD，ADDCCBa，ABC60°，所以四邊形 ABCD 是等腰梯形，且DCADAC30°，DCB120°，所以ACBDCBDCA90°，所以 ACBC.又平面 ACFE平面 ABCD，平面 ACFE平面 ABCDAC，BC平面 ABCD， 所以 BC平面 ACFE.(2)當 EM33a 時，AM平面 BDF，理由如下：如圖，在梯形 ABCD 中，設 ACBDN，連接 FN.由(1)知四邊形 ABCD 為等腰梯形，且ABC60°，所以 AB2DC，則 CNNA12.2 3易知 EFAC 3a，所以 AN a.3因為 EM3a，32 2 3所以 MF EF a，3 3所以 MF 綊 AN，所以四邊形 ANFM 是平行四邊形，所以 AMNF，又 NF平面 BDF，AM平面 BDF，所以 AM平面 BDF.6.如圖所示的五面體 ABEDFC 中，四邊形 AC