貴陽一中2018屆月考(一)理科數(shù)學(xué)試卷及解析

1、ç ÷2ç ÷2ç ÷2-¥,2çú, +¥2÷ê貴陽一中 2018 屆第一次月考卷理科數(shù)學(xué)一、選擇題1.已知集合 A =x | y =x2-2 x -3 ，B =x |x +2x -2£0，則A I B =（ ）A.-2, -1B.-1,2)C.-1, -1D.1,2)2.復(fù)數(shù)(1+i )(1-i )32在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn). 第四象限3.已知f ( x )在其定義域-1, +¥)上是減函數(shù)，若f (2 -x

2、 ) > f ( x)，則（ ）x >1A.4.雙曲線方程為æ 2 öA. ç ,0 ÷è øx2B.-2 y2-1£x <11 <x £3 C.=1，則它的右焦點坐標為（ ）æ 6 öæ 5 öç ,0 ÷ç ,0 ÷B.C.è øè øD.-1£x £3D. ( 3, 0)5.某市國際馬拉松邀請賽設(shè)置了全程馬拉松、半程馬拉松和迷你馬拉松三個比賽項目，

3、4 位長跑愛好者各自任選一個項目參加比賽，則這 4 人中三個項目都有人參加的概率為（ ）A.8 4 2 8B. C. D.9 9 9 276.若方程x2-( k -1)x +1 =0有大于 2 的根，則實數(shù) k 的取值范圍是（ ）A.æ 7 öç ÷è øB.æ 7 ù-¥,è 2 ûC.æ7 öç ÷è øD.é7 ö, +¥ë2 ø7.已知 a, b都是銳角，且sinaco

4、sb=cosa(1+sinb)，則（ ）A.3a-b=p2B.2a-b=p2C.3a+b=p2D.2a+b=p28.如圖 1.由曲線y =x2-1，直線x =0, x =2 和 x 軸圍成的封閉圖形的面積是（ ）A.ò2( x 2 -1)dxB.ò2( x2-1)dx00C.ò2x2-1 dx0D.ò1( x2-1)dx +ò2( x2-1)dx-11n6ç ÷ïx, y9.設(shè)直線x =a x 2 y 2與橢圓 + =1(a >b >0) 2 a 2 b 2交于 A, B 兩點，若 DOAB 是直角三角

5、形，則橢圓的離心率為（ ）A.22B.3 6C.3 3D.1210.已知數(shù)列a 滿足： a =1, a =2a +1(n ³2) n 1 n n -1，為求使不等式a +a +a +L +a <k 1 2 3 n的最大正整數(shù) ，某人編寫了如圖 2 所示的程序框圖，在框圖的判斷框中的條件和輸出框輸出的表達式分別為（ ）S <k , iS <k , i -1A.B.S ³k , iS ³k , i -1C.D.11.為得到函數(shù) f ( x) =2sin x cos x + 3(sin2x +cos2x)的圖象，可以把函數(shù)pg ( x ) =2cos(

6、 -2 x)3的圖象（ ）p pA. 向左平移 個單位 B. 向左平移 個單位4 2C. 向右平移p p個單位 D. 向右平移 4 2個單位12.圖 3 是某幾何體的三視圖，則該幾何體的各個棱長中，最長的 棱的長度為（ ）A.3 2B.19C.22D. 3 3二、填空題æ 1 ö13. (1-2 x) x + 展開式的常數(shù)項是 （用數(shù)字作答）.è x øì14.已知變量 滿足條件 íx ³y,x +2 y -3 ³0,則2 x -3 y的最小值等于.15.如圖 4，在 DABC uuur uuurCD ×

7、CB =ï2 x £9 -y ,îuuur uuur中， D 是 AB 上一點， AD =2 DB .，若 CD CAuuur， CD =2 ，則16.已知a, b, c分別為銳角 DABC 的三個內(nèi)角A, B, C的對邊， a =2 ，且(2 +b )(sin A -sinB ) =( c -b )sin C，則 DABC周長的取值范圍為.三、解答題17.已知數(shù)列a n滿足：a =1, a = 1 nan -1 ( n ³2) 2a +1n -1.（）求數(shù)列（）設(shè)數(shù)列a 的通項公式；na a 的前 n 項和為 T ，求證： n n +1 nT <

8、n12.18. 為了解學(xué)生完成數(shù)學(xué)作業(yè)所需時間，某學(xué)校統(tǒng)計了高三年級學(xué)生每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的平 均時間介于 30 分鐘到 90 分鐘之間，圖 5 是統(tǒng)計結(jié)果的頻率分布直方圖.（）數(shù)學(xué)教研組計劃對作業(yè)完成較慢的 20%的學(xué)生進行集中輔導(dǎo)，試求每天完成數(shù)學(xué)作業(yè) 的平均時間為多少分鐘以上的學(xué)生需要參加輔導(dǎo)？（）現(xiàn)從高三年級學(xué)生中任選 4 人，記 4 人中每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的平均時間不超過 50 分 鐘的人數(shù)為 X ，求 X 的分布列和期望.19.如圖 6，在三棱錐 K -ABC中，D, E , F 分別是 KA, KB , KC的中點，平面 KBC 平面ABC， AC BC， DKBC是邊長為 2 的正

9、三角形， AC =3.（）求證： BF 平面KAC；（）求二面角 F -BD -E 的余弦值.aïaax 2 y 220. 已知橢圓 C : + =1(a >b >0)a 2 b 2uuur uuuur橢圓上的一點， PF ×PF的最小值為 2. 1 2（）求橢圓 C的方程；1 的離心率為 ，2F , F1 2是橢圓的左、右焦點， P 是（）過點 F 且與 x 軸不重合的直線 l 交橢圓 C 于 M , N 兩點，圓 E 是以 F 為圓心橢圓 C 的2 1長軸長為半徑的圓，過F2且與 l垂直的直線與圓 E 交于P, Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.21.

10、設(shè)f ( x) =x (ln x -1) +a (2 x -x2), a ÎR.（）令g ( x) = f¢(x) ，求 g ( x )的單調(diào)區(qū)間；（）已知f ( x)在 x =1處取得極大值，求實數(shù) 的取值范圍.請考生在 22、23 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22.（本小題滿分 10 分）選修 4-4：坐標系與參數(shù)方程已知極坐標的極點在平面直角坐標系的原點 O處，極軸與 x 軸的非負半軸重合，且長度單位相同.直線 l的極坐標方程為：2rsin(q+p3) =3，曲線 C的參數(shù)方程為：ìíïîx =- 3 +

11、3cos y =2 +3sin a,a,（ 為參數(shù)），其中aÎ0,2p).（）寫出直線 l的直角坐標方程及曲線 C的普通方程；（）若 A 、 B 為曲線 C與直線 l的兩個交點，求AB.23. （本小題滿分 10 分）選修 4-5：不等式選講設(shè)f ( x ) = 2 x -3 + x +1.（）求不等式f ( x) <x +4的解集；（）若函數(shù)g ( x) = f ( x) +ax有兩個不同的零點，求實數(shù) 的取值范圍.ç÷è ø(2 ，+¥)ç ÷îç ÷ç ÷

12、;ç ÷ç ÷貴陽第一中學(xué) 2018屆高考適應(yīng)性月考卷（一）理科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分）題號答案1A2C3C4C5B6C7B8C9C10B11C12C【解析】1 函數(shù) y = x2-2 x -3的定義域為A =( -¥，-1U 3 ，+¥)，不等式x +2x -20的解集為B = -2，2)，所以A I B = -2，-1，故選 A.2復(fù)數(shù)(1 +i)(1 -i)32=-1-i，對應(yīng)點為( -1，-1)，位于第三象限，故選 C.3由單調(diào)性及定義域得 -1 2 -x <x ，解得

13、 1 <x 3 ，故選 C.4雙曲線焦點在 x 軸上， a2=1 ，b2=1 3 æ 6 öÞ c 2 = ，右焦點為 ç ，0 ÷，故選 C. 2 2 25 P =C 2 A 3 36 44 3 = = ，故選 B. 34 81 96問題等價于方程 x +1 1 =k -1 在 有解，而函數(shù) y =x +x x在(2 ，+¥)上遞增，值域為æçè52，+¥ö æ ÷，所以 k 的取值范圍是 ç ø è72，+¥

14、6;÷ø，故選 C.7sinacosb=cosa(1 +sinb) Þ sin(a-b) =cosæ ö a =sin -aè2 ø，即 2a-b=p2，故選 B.8陰影部分面積為 ò1-(x02 -1)dx +ò2(x12-1)dx ，而 |x2ì1-x 2 ，0 x 1 ， -1| =íx 2 -1 ，1 <x 2 ，故選 C.9 x =a23 3 a c 6代入橢圓方程得 y =± b ， b = Þ 3(a 2 -c 2 ) =a 2 Þ =

15、2 2 2 a 3，故選 C.10判斷的條件為 S <k ；輸出的結(jié)果為 i -1 ，故選 B.11æ ö æ ö æ öf ( x) =2sin 2 x - =2sin 2 x - ， g ( x ) =2sin 2 x +è 3 ø è 6 ø è 6 ø æ ö=2sin 2 x +，故選 Cè 12 ø圖 112幾何體 ABCD 為圖 1 中粗線所表示的圖形，最長棱是 AC，6ç ÷xè

16、48;31312ç ÷ç ÷ç ÷çènïþî1çç÷nAC = 32+32+22= 22，故選 C二、填空題（本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分）題號答案132014-315616(2 +2 3，6【解析】æ 1 ö13 x + 展開式的通項為 T =C rr +1 6x6 -2r，6 -2 r =0 Þ r =3 ；6 -2 r =-1無解，所以展開式的常數(shù)項為 C36=20 .uuur uuur uuur

17、uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur15由已知 CB = CD - CA ， CD gCA =0 ， CD gCB = CD - CD gCA =6 .2 2 2 216由已知( a +b )(a -b ) =(c -b )c ，即 b 2 +c 2 -a 2 =bc Þ cos A =12得 A =60 °，由正弦定理，三 角 形 的 周 長 為4 3 4 3 æ ö æ ö sin B + sin C +2 =4sin B + +2 ， B Î ，3 3 è 6 ø &

18、#232;6 2 ø，æ ö æ 3 sin B + Îçè 6 ø 2ù，1úû，周長的取值范圍為 (2 +2 3 ，6.三、解答題（共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟） 17（本小題滿分 12 分）（）解：a 1 2a +1 1a = n -1 ( n 2) Þ = n -1 = +2( n 2) 2 a +1 a a an -1 n n -1 n -1，ìï1ü所以 í ý是以 2 為公差的等差數(shù)列， a

19、n1 a =1 Þ =1a1，所以1an=2 n -1，所以數(shù)列 a n的通項公式為 a =n12 n -1.（6 分）（）證明：由（）得a a =n n +11 1 1 æ 1 1× = -2 n -1 2 n +1 2 è2n -1 2 n +1ö÷ø，1 æ 1 ö 1 T = 1 - <2 è 2 n +1 ø 2.（12 分）18（本小題滿分 12 分）解：（）設(shè)每天完成作業(yè)所需時間為 x 分鐘以上的同學(xué)需要參加輔導(dǎo)，則æö33ç÷

20、;2 2，(70 -x ) ´0.02 +(90 -70) ´0.005 =0.2，得 x =65 （分鐘），所以，每天完成數(shù)學(xué)作業(yè)的平均時間為 65 分鐘以上的同學(xué)需要參加輔導(dǎo). （ 6分）（）把統(tǒng)計的頻率作為概率，則選出的每個學(xué)生完成作業(yè)的時間不超過 50 分鐘的概率為 0.2，X B (4 ，0.2)，P ( X =k ) =Ck4g0.2kg0.84 -k( k =0 ，1，2 ，3，4) ，EX =0.8 .（12 分）19（本小題滿分 12 分）（）證明：如圖 2，建立空間直角坐標系，則 K (1，0 ， 3) ，uuurBF =ç-，0 ， 

21、7; è øuuur，CK =uuur(1，0， 3) ，CA =(0 ，-3，0) ，uuur uuur uuur uuur BF gCK =0 BF CK得 BF CK ，uuur uuur uuur uuur BF gCA =0 BF CA得 BF CA ，CA，CK 是平面 KAC 內(nèi)的兩條相交直線，所以 BF 平面 KAC.（6 分）r（）解：平面 BDF 的一個法向量 m =(1，0 ， 3) ，r平面 BDE（即平面 ABK）的一個法向量為 n =(3 ，- 2 ， 3) ，r r 3，cosám，nñ=4所以二面角 F -BD -E 的余

22、弦值為34.（12 分）20（本小題滿分 12 分）解：（）已知c 1=a 2uuur uuuur， PF ×PF 的最小值為 b 2 -c 2 =2 ，又 a 2 =b 2 +c 2 , 1 2解得 a2 =4 ，b2=3 ，所以橢圓方程為x 2 y 2+4 3=1 （6 分）（）當 l與 x 軸不垂直時，設(shè) l 的方程為 y =k ( x -1)(k ¹0) ，M ( x ，y ) ，N ( x , y )1 1 2 2.ï1 21 222 a2 aç ÷ç0 ，2 aìy =k ( x -1) ，ï由 

23、37;x2 y 2 得 (4 k+ =1î4 32+3) x2-8k 2 x +4 k2-12 =0則 x +x = 1 28k 2 4k 2 -12 ，x x =4 k 2 +3 4k 2 +3.所以 | MN |= 1 +k212(k 2 +1)| x -x |= 4k 2 +3過點 F (1，0)2且與 l1垂直的直線 m ：y =- ( x -1)k， F1到 m 的距離為k22+1，所以 | PQ |=2 42æ-çèk22+1ö÷ =4ø4 k 2 +3 k 2 +1故四邊形 MPNQ 的面積 S =1 1| M

24、N | PQ |=12 1 + 2 4k 2 +3可得當 l與 x 軸不垂直時，四邊形 MPNQ 面積的取值范圍為 (12 ，8 3) 當 l與 x 軸垂直時，其方程為x =1，| MN |=3 ，| PQ |=8，四邊形 MPNQ 的面積為 12綜上，四邊形 MPNQ 面積的取值范圍為 12 ，8 3) （12 分） 21（本小題滿分 12 分）解：（）由f¢(x) =ln x -2 ax +2 a ，可得g ( x) =ln x -2 ax +2 a ，x Î(0 ，+¥)，則 g¢(x) =1 1 -2 ax -2 a =x x，當 a 0 時，x

25、 Î(0 ，+¥) 時， g¢(x) >0 ，函數(shù) g ( x)單調(diào)遞增，æ 1 ö æ1 ö當 a >0 時，x Îç0， ÷時，g ¢(x) >0 ，函數(shù) g ( x) 單調(diào)遞增，x Îç ，+¥÷è ø è øg ( x )函數(shù)單調(diào)遞減.時，g¢(x) <0，所以當 a 0 時，函數(shù)g ( x )的單調(diào)遞增區(qū)間為(0 ，+¥)，當 a >0 時，函數(shù)g

26、 ( x )的單調(diào)遞增區(qū)間為æ 1 ö æ 0 ， ，單調(diào)遞減區(qū)間為è 2 a ø è12 a，+¥ö÷ø.（6 分）（）由（）知，f¢(1)=0.當 a 0 時，f¢(x)單調(diào)遞增，所以當x Î(0 ，1) 時， f¢(x) <0 ，f ( x )單調(diào)遞減，當x Î(1，+¥)時，f¢(x) >0 ，f ( x)單調(diào)遞增，所以f ( x)在 x =1 處取得極小值，不合題意.當 0 <a <1 1時，2 2a>1，由（）知f¢(x)在æ 1 öç ÷è ø內(nèi)單調(diào)遞增，可得當x Î(0 ，1)ç ÷1 ，2 aç÷ç ÷ï時，fæ 1 ö¢(x) <0 ， x Î 1 ， 時， fè 2 a ø¢(x) >0，所以f