廣義積分的性質(zhì)-課件PPT

1、2021/8/2612 無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂判別無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂判別 教學(xué)內(nèi)容： 1. 無(wú)窮積分的性質(zhì) 2. 無(wú)窮積分收斂的判別教學(xué)重點(diǎn)：無(wú)窮積分的比較判別法與柯西判別法。教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用狄利克雷判別法與阿貝爾判別法判別反常積分。 一一. 無(wú)窮積分的性質(zhì)無(wú)窮積分的性質(zhì)存在的柯西準(zhǔn)則可得是否存在極限。由極限時(shí)當(dāng)收斂與否取決于，則設(shè)uuFdxxfdxxfuFaua)()()()(它兩種情形類(lèi)似可得。的性質(zhì)及收斂判別，其以下只給出說(shuō)明：adxxf)(1. 無(wú)窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則無(wú)窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則2021/8/262定理定理11.1：2121)()()(0)(21uuuauaadxxfdxxfd

2、xxfGuuaGdxxf，便有、只要，存在，給收斂的充要條件是：任無(wú)窮積分2. 無(wú)窮積分的性質(zhì)無(wú)窮積分的性質(zhì)aaaaaadxxfkdxxfkdxxfkxfkdxxfkxfkkkdxxfdxxf) 1 ()()()()()()()()(2211221122112121也收斂，且為任意常數(shù)，則、收斂，都與若性質(zhì)性質(zhì)1：性質(zhì)性質(zhì)2：分。其中右邊第一項(xiàng)是定積同時(shí)發(fā)散），且有同斂態(tài)（即同時(shí)收斂或與，則上可積，在任何有限區(qū)間若abbabadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfbauaf)2()()()()()(,2021/8/2633. 無(wú)窮積分收斂的充要條件無(wú)窮積分收斂的充要條件uadxxfGuaGd

3、xxf)(0)(，總有只要，存在，給收斂的充要條件是：任無(wú)窮積分4. 無(wú)窮積分的絕對(duì)收斂與條件收斂無(wú)窮積分的絕對(duì)收斂與條件收斂為收斂，則稱(chēng)若無(wú)窮積分aadxxfdxxf)()(為收斂，則稱(chēng)發(fā)散，而若aaadxxfdxxfdxxf)()()(絕對(duì)收斂；絕對(duì)收斂；條件收斂。條件收斂。性質(zhì)性質(zhì)3：aaaadxxfdxxfdxxfdxxfuaf)3()()()()(,亦必收斂，且有收斂，則上可積，則有在任何有限區(qū)間若2021/8/264說(shuō)明：性質(zhì)3指出：絕對(duì)收斂的無(wú)窮積分必收斂，但反之未必。 （今后舉例說(shuō)明）二二. 無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘呐袆e無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘呐袆e時(shí)條件：當(dāng)0)(xf1. 無(wú)窮積分收斂的充要條

4、件無(wú)窮積分收斂的充要條件uaadxxfdxxf有上界收斂的充要條件是：無(wú)窮積分)()(2. 無(wú)窮積分收斂的比較判別法無(wú)窮積分收斂的比較判別法（1）不等式形式定理定理11.2：必發(fā)散。發(fā)散時(shí)，）當(dāng)（必收斂；收斂時(shí)，）當(dāng)則（，上可積，且滿(mǎn)足有限區(qū)間都在任何和上的兩個(gè)非負(fù)函數(shù)設(shè)定義在aaaadxxgdxxfdxxfdxxgaxxgxfuagfa)()(2)()(1),)()(,),2021/8/265定理指出：大收斂則小收斂；小發(fā)散則大發(fā)散。（與級(jí)數(shù)類(lèi)似）定理指出：大收斂則小收斂；小發(fā)散則大發(fā)散。（與級(jí)數(shù)類(lèi)似）例例1：。的收斂性討論021sindxxx解：解：的收斂性先討論021sindxxx022

5、2211),0,111sin收斂，以及由于dxxxxxx021sin2 .11收斂。知道由定理dxxx）由性質(zhì)必收斂。絕對(duì)收斂，從而即3(1sin1sin0022dxxxdxxx（2）極限形式推論推論1：則有：上可積，若有任何有限區(qū)間且它們都在上定義在和設(shè),)()(lim,0)(,0)(,),cxgxfuaxgxfagfx2021/8/266也發(fā)散。發(fā)散可推知時(shí)，由）當(dāng)（也收斂；收斂可推知時(shí)，由）當(dāng)（同斂態(tài)；與時(shí)，）當(dāng)（aaaaaadxxfdxxgcdxxfdxxgcdxxgdxxfc)()(3)()(02)()(01注意：1.推論中，當(dāng)c=0時(shí)只能判別收斂；當(dāng)c為正無(wú)窮大時(shí)只能判別發(fā)散；2.

6、用此推論時(shí)要找分母的g(x)且斂散性要知道；的adxxg)(3.找g(x)的時(shí)候最好使極限是一個(gè)非0的常數(shù)?？梢缘每挛髋袆e法特殊地，取pxxg1)(3. 無(wú)窮積分收斂的柯西判別法無(wú)窮積分收斂的柯西判別法推論推論2：上可積，則有：且在任何有限區(qū)間上定義在不等式形式）設(shè),0)(,)0(),(uaxfaaf2021/8/267發(fā)散。時(shí)且）當(dāng)（收斂；時(shí)且）當(dāng)（apapdxxfpaxxxfdxxfpaxxxf)(1),1)(2)(1),1)(1推論推論3：，則有：上可積，且有限區(qū)間在任何上定義在極限形式）設(shè))(lim,0)(,)0(),(xfxuaxfaafpx發(fā)散。時(shí)）當(dāng)（收斂；時(shí)）當(dāng)（aadxxfp

7、dxxfp)(,0,12)(,0,11注意：1.實(shí)際應(yīng)用中，常用推論3；2.用推論3時(shí)要找p,使同時(shí)滿(mǎn)足p及的條件；3.找p的時(shí)候最好使極限是一個(gè)非0的常數(shù)。例例2：討論下列無(wú)窮積分的收斂性05211)2(1dxxxdxexx；）（2021/8/268解：解：例子中被積函數(shù)都是非負(fù)函數(shù)，所以可用推論3均收斂。）對(duì)任何實(shí)數(shù)得（所以由推論，此時(shí)，都有因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)13,020limlim)1 (22pexexxxxxx）是發(fā)散的。得（所以由推論，此時(shí)，因?yàn)?3, 12111lim)2(5221pxxxx三三. 無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘牡依死着袆e法和阿貝耳判別法無(wú)窮積分?jǐn)可⑿缘牡依死着袆e法和阿貝耳判別法

8、為一般函數(shù)）及其中條件：適用于gfdxxgxfa()()(1. 無(wú)窮積分收斂的狄利克雷判別法無(wú)窮積分收斂的狄利克雷判別法定理定理11.3：(狄利克雷判別法）收斂。，則時(shí)單調(diào)趨于當(dāng)上在，上有界在若auadxxgxfxaxgadxxfuF)()(0),)(),)()(2021/8/269定理定理11.4：(阿貝耳判別法）3. 無(wú)窮積分收斂的阿貝耳判別法無(wú)窮積分收斂的阿貝耳判別法收斂。則上單調(diào)有界在收斂若aadxxgxfaxgdxxf)()(,),)(,)(注意：1.實(shí)際中，這兩個(gè)判別法常用于判別條件收斂的無(wú)窮積分；2.用這兩個(gè)判別法關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)膄(x)及g(x)；3.在狄利克雷判別法中，一般令

9、f(x)為sinx或cosx；。般取在阿貝耳判別法中，一) 1(1)(pxxfp例例3：。絕對(duì)收斂或條件收斂與討論11)0(cossinpdxxxdxxxpp說(shuō)明：只討論前者，后者類(lèi)似可得。解題思路：由于被積函數(shù)不是非負(fù)函數(shù)，故不能直接用比較判別 法或柯西判別法，結(jié)合例1，我們可以先考慮判別它 是否絕對(duì)收斂，若不是再考慮用上述的狄利克雷判別 法或阿貝耳判別法。2021/8/2610解：解：的收斂性先討論1sin.1dxxxp111),1 ,1sin1時(shí)收斂，當(dāng)，以及由于）（pdxxxxxxppp1sin2 .11收斂。知道由定理dxxxp1sin1絕對(duì)收斂。時(shí)，即當(dāng)dxxxpp時(shí)當(dāng)10)2(

10、p，由于),1 ,22cos21sinsin2xxxxxxxxpp，）（事實(shí)上收斂。由狄利克雷判別法知：12sin2sin212cos1:(22cos11uxdxdxxxu。）時(shí)單調(diào)趨于當(dāng)021)2(xx2021/8/26111sin10均收斂。時(shí)當(dāng)由狄利克雷判別法知：dxxxpp，時(shí)單調(diào)趨于時(shí)當(dāng)當(dāng)而001xpxp，有由于對(duì)任意2cos1cossin11uxdxuu是發(fā)散的，而dxx12111sin2 .11)22cos21(發(fā)散。得發(fā)散，從而由定理所以dxxxdxxxxp1sin.2的收斂性：再看dxxxp時(shí)當(dāng)10 p綜1.(2)及2.知：1sin10條件收斂。時(shí)當(dāng)dxxxpp利用此例可以解下例例例4. 證明下列無(wú)窮積分都是條件收斂的：，12sindxx，12cosdxx.sin14dxxx2021/8/2612證：證：2xt 設(shè)1122sinsin，dtttdxx