2022年2022年高中高一數(shù)學(xué)各章知識點總結(jié)

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載高中高一數(shù)學(xué)必修 1各章學(xué)問點總結(jié)第一章集合與函數(shù)概念一.集合有關(guān)概念1.集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素；2.集合的中元素的三個特性：1. 元素的確定性；2. 元素的互異性；3. 元素的無序性說明： 1 對于一個給定的集合,集合中的元素為確定的,任何一個對象或者為或者不為這個給定的集合的元素；(2) 任何一個給定的集合中,任何兩個元素都為不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素；(3) 集合中的元素為公平的,沒有先后次序,因此判定兩個集合為否一樣,僅需比較它們的元素為否一樣,不需考查排列次序為否

2、一樣；(4) 集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性；3.集合的表示： 如 我校的籃球隊員 , 太平洋 、 大西洋 、 印度洋 、 北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：a=我校的籃球隊員、b=1、2、3、4、5 2集合的表示方法：列舉法與描述法；留意啊：常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：n正整數(shù)集 n* 或 n+整數(shù)集 z 有理數(shù)集q實數(shù)集 r關(guān)于“屬于”的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如：a 為集合 a 的元素,就說a 屬于集合a 記作 aa,相反, a 不屬于集合a記作 a.a列舉法：把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上；描述法： 將集合中的元素

3、的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法；用確定的條件表示某些對象為否屬于這個集合的方法；語言描述法：例： 不為直角三角形的三角形數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-3>2 的解集為 x.r|x-3>2或x|x-3>2 4.集合的分類：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載1有限集含有有限個元素的集合2無限集含有無限個元素的集合3空集不含任何元素的集合例：x|x2=5 二.集合間的基本關(guān)系1. “包含”關(guān)系子集留意：有兩種可能（ 1）a 為 b 的一部分,；（2） a 與 b 為同一集合；反之 : 集合 a 不包含于集合 b、 或集合 b 不包含集合

4、a、 記作 ab或 ba 2“相等”關(guān)系 5 5,且55,就 5=5實例：設(shè) a=x|x2-1=0b=-1、1 “元素相同”結(jié)論：對于兩個集合a 與 b,假如集合a 的任何一個元素都為集合b 的元素,同時 、 集合 b 的任何一個元素都為集合a的元素,我們就說集合a 等于集合b,即： a=b任何一個集合為它本身的子集；aía真子集 : 假如 aíb、 且a1b那就說集合a 為集合 b 的真子集,記作ab或 ba假如 aíb、bíc、那么aíc假如 aíb同時 bía那么 a=b3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為規(guī)定 :

5、空集為任何集合的子集,空集為任何非空集合的真子集；三.集合的運算1交集的定義： 一般地, 由全部屬于a 且屬于 b 的元素所組成的集合、 叫做 a、b 的交集記作 ab讀作”a 交 b” ,即 ab=x|x a,且xb2.并集的定義：一般地,由全部屬于集合a 或?qū)儆诩蟗 的元素所組成的集合,叫做a、b 的并集；記作： ab讀作”a并 b” ,即 ab=x|x a,或xb3.交集與并集的性質(zhì)： aa=a、a = 、a b=ba,aa=a、 a =a、ab=ba.4.全集與補集（1）補集：設(shè)s 為一個集合, a 為 s 的一個子集（即） ,由 s 中全部不屬于a 的元素組成的集合,叫做s 中子集

6、 a 的補集（或余集）記作： csa即 csa=x|x.s 且 x.a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載scsa a（ 2）全集：假如集合s 含有我們所要討論的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集；通常用u 來表示；（ 3）性質(zhì)： cucua=a cuaa= cuaa=u二.函數(shù)的有關(guān)概念1函數(shù)的概念：設(shè)a.b 為非空的數(shù)集,假如依據(jù)某個確定的對應(yīng)關(guān)系f ,使對于集合a 中的任意一個數(shù)x,在集合 b 中都有唯獨確定的數(shù)fx和它對應(yīng),那么就稱f ：ab為從集合 a 到集合 b 的一個函數(shù)記作：y=fx,xa其中, x 叫做自變量, x 的取值范疇a 叫做函數(shù)

7、的定義域；與x 的值相對應(yīng)的y 值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合fx|xa叫做函 數(shù)的值域留意： 2假如只給出解析式y(tǒng)=fx,而沒有指明它的定義域,就函數(shù)的定義域即為指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合；3函數(shù)的定義域.值域要寫成集合或區(qū)間的形式定義域補充能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x 的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時列不等式組的 主要依據(jù)為： 1 分式的分母不等于零；2 偶次方根的被開方數(shù)不小于零；3 對數(shù)式的真數(shù)必需大于零； 4 指數(shù).對數(shù)式的底必需大于零且不等于1.5假如函數(shù)為由一些基本函數(shù) 通過四就運算結(jié)合而成的. 那么,它的定義域為使各部分都有意義的x 的值組成的集合.（ 6） 指數(shù)為零底不

8、行以等于零6 實際問題中的函數(shù)的定義域仍要保證明際問題有意義. 又留意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域；構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域.對應(yīng)關(guān)系和值域再留意：（ 1）構(gòu)成函數(shù)三個要素為定義域.對應(yīng)關(guān)系和值域由于值域為由定義域和對 應(yīng)關(guān)系打算的, 所以,假如兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一樣,即稱這兩個函數(shù)相等 （或為同一函數(shù)）（ 2）兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一樣,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)；相同函數(shù)的判定方法：表達(dá)式相同；定義域一樣 兩點必需同時具備 見課本 21頁相關(guān)例 2值域補充1 .函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法就,不論實行什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域

9、 .2.應(yīng)熟識把握一次函數(shù).二次函數(shù).指數(shù).對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域,它為求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載3. 函數(shù)圖象學(xué)問歸納(1) 定義：在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=fx、xa中的x 為橫坐標(biāo),函數(shù)值y 為縱坐標(biāo)的點px , y 的集合 c,叫做函數(shù)y=fx、xa的圖象c 上每一點的坐標(biāo)x ,y 均滿意函數(shù)關(guān)系y=fx,反過來,以滿意y=fx的每一組有序?qū)崝?shù)對x.y 為坐標(biāo)的點 x , y ,均在 c 上. 即記為 c=px、y|y=fx、xa圖象 c 一般的為一條光滑的連續(xù)曲線 或直線 、 也可能為由與任意平行與y 軸的直線最多只

10、有一個交點的如干條曲線或離散點組成；(2) 畫法a.描點法： 依據(jù)函數(shù)解析式和定義域,求出x、y的一些對應(yīng)值并列表,以x、y為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點px、y,最終用平滑的曲線將這些點連接起來.b.圖象變換法（請參考必修4三角函數(shù)）常用變換方法有三種,即平移變換.伸縮變換和對稱變換(3) 作用： 1.直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2.利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路；提高解題的速度；發(fā)覺解題中的錯誤；4快去明白區(qū)間的概念（ 1）區(qū)間的分類：開區(qū)間.閉區(qū)間.半開半閉區(qū)間；（ 2）無窮區(qū)間； （3）區(qū)間的數(shù)軸表示5什么叫做映射一般地,設(shè) a. b 為兩個非空的集合,假如按某一個確定的對應(yīng)法就 f ,使對

11、于集合 a 中的任意一個元素 x,在集合 b 中都有唯獨確定的元素 y 與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng) f ：ab 為從集合 a 到集合 b 的一個映射；記作“ f ：ab”給定一個集合a 到 b 的映射,假如aa、b b. 且元素a 和元素 b 對應(yīng),那么,我們把元素 b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象說明：函數(shù)為一種特殊的映射,映射為一種特殊的對應(yīng),集合a.b 及對應(yīng)法就f 為確定的；對應(yīng)法就有“方向性”,即強(qiáng)調(diào)從集合a 到集合 b 的對應(yīng),它與從b 到 a 的對應(yīng) 關(guān)系一般為不同的；對于映射f ：ab 來說,就應(yīng)滿意： （）集合a 中的每一個元素,在集合 b 中都有象,并且象為唯獨

12、的；（）集合a 中不同的元素,在集合b 中對應(yīng)的象可以為同一個； （）不要求集合b 中的每一個元素在集合a 中都有原象；常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：1函數(shù)圖象既可以為連續(xù)的曲線,也可以為直線.折線.離散的點等等,留意判定一個精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載圖形為否為函數(shù)圖象的依據(jù)； 2解析法：必需注明函數(shù)的定義域； 3圖象法：描點法作圖要留意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀看函數(shù)的特點； 4列表法：選取的自變量要有代表性,應(yīng)能反映定義域的特點留意?。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮?shù)值；列表法：便于查出函數(shù)值；圖象法：便于量出函數(shù)值補充一：分段函數(shù)（參見課本p24-2

13、5 ）在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)；在不同的范疇里求函數(shù)值時必需把 自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式；分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程,而就寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個左大括號括起來,并分別注明各部分的自變量的取值情形（ 1）分段函數(shù)為一個函數(shù), 不要把它誤認(rèn)為為幾個函數(shù)； （2）分段函數(shù)的定義域為各段定義域的并集, 值域為各段值域的并集補充二：復(fù)合函數(shù)假如 y=fu、um、u=gx、xa、 就y=fgx=fx,x a稱為 f .g 的復(fù)合函數(shù)；例如 :y=2sinxy=2cosx2+17函數(shù)單調(diào)性（ 1）增函數(shù)設(shè)函數(shù) y=fx的定義域為i ,假如對于定義域i 內(nèi)的某個區(qū)間d內(nèi)

14、的任意兩個自變量x 1,x2,當(dāng) x1<x2時,都有 fx1<fx2,那么就說fx在區(qū)間 d 上為增函數(shù)；區(qū)間d稱為 y=fx的單調(diào)增區(qū)間（睇清晰課本單調(diào)區(qū)間的概念）假如對于區(qū)間d 上的任意兩個自變量的值x1, x2,當(dāng) x1<x2 時,都有fx1 fx2,那么就說fx在這個區(qū)間上為減函數(shù). 區(qū)間 d 稱為 y=fx的單調(diào)減區(qū)間.留意： 1函數(shù)的單調(diào)性為在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì),為函數(shù)的局部性質(zhì)；2必需為對于區(qū)間d 內(nèi)的任意兩個自變量x1, x2；當(dāng) x1<x2 時,總有fx1<fx2；（ 2）圖象的特點假如函數(shù)y=fx在某個區(qū)間為增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y

15、=fx在這一區(qū)間上具有 嚴(yán)格的 單調(diào)性, 在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右為上升的,減函數(shù)的圖象從左到右為下降的 .3.函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(a) 定義法：1任取 x1,x2d,且x1<x2； 2作差 fx1fx2；3變形（通常為因式分解和配方）；4定號（即判定差fx1 fx2的正負(fù)）；5下結(jié)論 （指出函數(shù)fx在給定的區(qū)間d 上的單調(diào)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載性）(b) 圖象法 從圖象上看升降_(c) 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù) fgx的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=gx ,y=fu的單調(diào)性親密相關(guān),其規(guī)律如下：函 數(shù) 單調(diào)性 u=gx 增增 減 減

16、y=fu 增 減 增 減y=fgx增減減增留意： 1.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能為其定義域的子區(qū)間、 不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集 .2 .仍記得我們在選修里學(xué)習(xí)簡潔易行的導(dǎo)數(shù)法判定單調(diào)性嗎？8函數(shù)的奇偶性（ 1）偶函數(shù)一般地, 對于函數(shù)fx的定義域內(nèi)的任意一個x,都有 f x=fx,那么 fx就叫做偶函數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ 2）奇函數(shù)一般地, 對于函數(shù)fx的定義域內(nèi)的任意一個x,都有 f x= fx,那么 fx就叫做奇函數(shù)留意： 1函數(shù)為奇函數(shù)或為偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性為函數(shù)的整體性質(zhì)；函數(shù)可能沒有奇偶性、 也可能既為奇函數(shù)又為

17、偶函數(shù)；2由函數(shù)的奇偶性定義可知,函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件為,對于定義域內(nèi)的任意一個 x,就 x 也肯定為定義域內(nèi)的一個自變量（即定義域關(guān)于原點對稱）（ 3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特點偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱總結(jié)：利用定義判定函數(shù)奇偶性的格式步驟：1第一確定函數(shù)的定義域,并判定其定義域為否關(guān)于原點對稱；2確定 f x 與 fx的關(guān)系； 3作出相應(yīng)結(jié)論： 如 f x=fx或 f x fx=0,就 fx為偶函數(shù)；如f x= fx或 f x fx=0,就 fx為奇函數(shù)留意?。?函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱為函數(shù)具有奇偶性的必要條件第一看函數(shù)的定義域為否關(guān)于原點對稱,如不對

18、稱就函數(shù)為非奇非偶函數(shù). 如對稱, 1 再依據(jù)定義判定;2有時判定 f-x= ±fx比較困難, 可考慮依據(jù)為否有f-x ±fx=0 或 fx/f-x= ±1來判定 ;3 利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定.9.函數(shù)的解析表達(dá)式（ 1）. 函數(shù)的解析式為函數(shù)的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時,一為要求出它們之間的對應(yīng)法就,二為要求出函數(shù)的定義域.（ 2）. 求函數(shù)的解析式的主要方法有：待定系數(shù)法.換元法.消參法等,假如已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時,可用待定系數(shù)法；已知復(fù)合函數(shù)fgx的表達(dá)式時,可用換元法,這時要留意元的取值范疇；當(dāng)已知表達(dá)式較簡潔時,也可用湊配法；如

19、已知抽象函數(shù)表達(dá)式,就常用解方程組消參的方法求出fx 10函數(shù)最大（?。┲担ǘx見課本p36頁）1利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲?利用圖象求函數(shù)的最大（?。?值3利用函數(shù)單調(diào)性的判定函數(shù)的最大（?。?值：假如函數(shù)y=fx在區(qū)間 a ,b 上單調(diào)遞增,在區(qū)間 b ,c 上單調(diào)遞減就函數(shù)y=fx在 x=b 處有最大值fb；假如函數(shù)y=fx在區(qū)間 a , b 上單調(diào)遞減,在區(qū)間b , c 上單調(diào)遞增就函數(shù)y=fx在 x=b 處有最小值fb；其次章基本初等函數(shù)一.指數(shù)函數(shù)（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運算1根式的概念：一般地,假如,那么叫做的次方根（nthroot）,其中 >1,且 *

20、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng)為奇數(shù)時,正數(shù)的次方根為一個正數(shù),負(fù)數(shù)的次方根為一個負(fù)數(shù)此時,的次方根用 符號表示式子叫做根式（radical）,這里叫做根指數(shù)（radicalexponent）,叫做被開方數(shù)（radicand）當(dāng)為偶數(shù)時,正數(shù)的次方根有兩個,這兩個數(shù)互為相反數(shù)此時,正數(shù)的正的次方根用符號表示,負(fù)的次方根用符號表示正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成±（>0）由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都為0,記作；留意：當(dāng)為奇數(shù)時, ,當(dāng)為偶數(shù)時,2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定：,0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有

21、意義指出： 規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪3實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)（ 1） .；（ 2）；（ 3）（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)的概念：一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)（exponential）,其中 x 為自變量,函數(shù)的定義域為r留意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范疇,底數(shù)不能為負(fù)數(shù).零和12.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象特點函數(shù)性質(zhì)向 x .y 軸正負(fù)方向無限延長函數(shù)的定義域為r圖象關(guān)于原點和y 軸不對稱精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象

22、都在x 軸上方函數(shù)的值域為r+函數(shù)圖象都過定點（0,1） 自左向右看,圖象逐步上升自左向右看,圖象逐步下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于 1在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于 1在其次象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于 1在其次象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于 1圖象上升趨勢為越來越陡圖象上升趨勢為越來越緩函數(shù)值開頭增長較慢,到了某一值后增長速度極快；函數(shù)值開頭減小極快,到了某一值后減小速度較慢；留意：利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合圖象仍可以看出：（ 1）在 a , b 上,值域為或；（ 2）如,就；取遍全部正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)；（ 3）對于指數(shù)函數(shù),總有；（ 4）當(dāng)時,如,就；二.對數(shù)函數(shù)（一）對數(shù)1對數(shù)的概念：一般

23、地,假如,那么數(shù)叫做以為底的對數(shù),記作： （底數(shù),真數(shù),對數(shù)式）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載說明： 1留意底數(shù)的限制,且； 2；3留意對數(shù)的書寫格式兩個重要對數(shù)：1常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)；2自然對數(shù)：以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化對數(shù)式指數(shù)式對數(shù)底數(shù)冪底數(shù)對數(shù)指數(shù)真數(shù)冪（二）對數(shù)的運算性質(zhì)假如,且,那么： 1.；2；3留意：換底公式（,且；,且；）利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論（1）；（ 2）（二）對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù),且叫做對數(shù)函數(shù),其中為自變量,函數(shù)的定義域為（0, +）留意： 1對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都為形式定義,留意辨別；如：,都不為對數(shù)函數(shù),而只能稱其為對數(shù)型函數(shù) 2對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：,且2.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)： a>1精品學(xué)習(xí)