優(yōu)勝教育講義小六數(shù)學第18講：因數(shù)與倍數(shù)(教師版)

1、第十八講 因數(shù)與倍數(shù)因數(shù)與倍數(shù) 因數(shù)與倍數(shù)的關(guān)系很簡單，其實就是整除關(guān)系的另外一種稱謂；當然也有概念的延伸， 就是在多個數(shù)之間去研究公因數(shù)和公倍數(shù)， 經(jīng)常地應(yīng)用最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)解題 下面 我們就先回顧基本的概念：1. 公因數(shù)與最大公因數(shù)幾個數(shù)公有的因數(shù)， 叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)； 其中最大的一個， 叫做這幾個數(shù)的最大公 因數(shù)例如： 12 的因數(shù)有 1，2，3，4，6，1218 的因數(shù)有 l ，2，3，6，9，18 那么它們 的公因數(shù)有 l ， 2， 3， 6；其中最大公因數(shù)為 62. 公倍數(shù)與最小公倍數(shù) 幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)例如：

2、 15的倍數(shù)有： 15，30，45，60，75，90， 105 ，120， 10 的倍數(shù)有： 10， 20，30，40，50，60，70， 80 。90，那么它們的公倍數(shù)有 30，60，90，是有無窮多 個的；而最小公倍數(shù)卻只有一個，為303. 互質(zhì)的概念如果兩個數(shù)的最大公因數(shù)是 1，那么這兩個數(shù)互質(zhì) 顯然的， 兩個不同的質(zhì)數(shù)一定互質(zhì)4. 輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因數(shù) （輾轉(zhuǎn)相除法）用輾轉(zhuǎn)相除法求 4811 和 1981 的最大公因數(shù)。 解： 4811=2×1981+849，1981=2×849+283， 849=3×283，（ 4811， 1981）=283。補充說明

3、：如果要求三個或更多的數(shù)的最大公因數(shù)， 可以先求其中任意兩個數(shù)的最大公因數(shù)， 再求這個公因數(shù)與另外一個數(shù)的最大公因數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結(jié)果。5. 最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)性質(zhì)1) 分數(shù)的計算b,da,cb,d ； b, db,d；,a, ca ca,c2) 約倍關(guān)系 ab a, b a,b1.會求幾個數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)。2.能用最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的性質(zhì)解題。例 1： 用一個數(shù)去除 30、60、75，都能整除，這個數(shù)最大是多少？分析： 要求的數(shù)去除 30、60、 75都能整除，要求的數(shù)是 30、 60、 75的公約數(shù)。又要求符合條件的最大的數(shù)，就是求 30、 60、 75的最大

4、公約數(shù)。解：30，60，75)=5×3=15這個數(shù)最大是 15。例2：一個數(shù)用 3、4、 5除都能整除，這個數(shù)最小是多少？分析 由題意可知，要求的數(shù)是 3、4、5的公倍數(shù)，且是最小的公倍數(shù)。解： 3， 4，5=3×4×5=60，用 3、4、5除都能整除的最小的數(shù)是 60。例3：有三根鐵絲，長度分別是 120厘米、180厘米和 300厘米 .現(xiàn)在要把它們截成相等的 小段，每根都不能有剩余，每小段最長多少厘米？一共可以截成多少段？分析： 要截成相等的小段，且無剩余，每段長度必是 120、 180和 300的公約數(shù)。又每段要盡可能長，要求的每段長度就是 120、 180

5、和 300的最大公約數(shù) .（120，180，300）=30×2=60每小段最長 60厘米。120÷60+180÷60+300÷60=235=10（段）答：每段最長 60厘米，一共可以截成 10段。例4：加工某種機器零件， 要經(jīng)過三道工序 . 第一道工序每個工人每小時可完成3個零件，第二道工序每個工人每小時可完成 10個，第三道工序每個工人每小時可完成5個，要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個工人？分析： 要使加工生產(chǎn)均衡，各道工序生產(chǎn)的零件總數(shù)應(yīng)是3、10和5的公倍數(shù) . 要求三道工序“至少”要多少工人，要先求 3、 10和5的最小公倍數(shù)。3，10，

6、5=5×3×2=30各道工序均應(yīng)加 130個零件。30÷3=10（人）30÷10=3（人）30÷5=6（人）答：第一道工序至少要分配 10人，第二道工序至少要分配 3人，第三道工序至少要 分配 6人。例5：一次會餐供有三種飲料 . 餐后統(tǒng)計，三種飲料共用了 65瓶；平均每 2個人飲用一瓶 A飲料，每 3人飲用一瓶 B飲料，每 4人飲用一瓶 C飲料. 問參加會餐的人數(shù)是多少人？分析： 由題意可知，參加會餐人數(shù)應(yīng)是 2、 3、 4的公倍數(shù)。解： 2 ， 3，4=12參加會餐人數(shù)應(yīng)是 12的倍數(shù)。又12÷2+12÷3+12

7、7;4=6+4+3=13（瓶），可見12個人要用6瓶A飲料， 4瓶B飲料， 3瓶C飲料，共用 13瓶飲料。又 65÷13=5，參加會餐的總?cè)藬?shù)應(yīng)是 12的 5倍，12×5=60（人）。答：參加會餐的總?cè)藬?shù)是 60人。例6：一張長方形紙，長 2703厘米，寬 1113厘米 .要把它截成若干個同樣大小的正方形， 紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大 . 問：這樣的正方形的邊長是多少厘米？分析： 由題意可知，正方形的邊長即是 2703和1113的最大公約數(shù) . 在學校，我們已經(jīng)學 過用短除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，但有時會遇到類似此題情況，兩個數(shù)除了1以外的公約數(shù)一下不好找到 .

8、 但又不能輕易斷定它們是互質(zhì)數(shù) . 怎么辦？在此，我們以例 6為例 介紹另一種求最大公約數(shù)的方法。對于例 6，可做如下圖解：從圖中可知：在長 2703厘米、寬 1113厘米的長方形紙的一端，依次裁去以寬（ 1113 厘米）為邊長的正方形 2個. 在裁后剩下的長 1113厘米，寬 477厘米的長方形中，再裁去 以寬（ 477厘米）為邊長的正方形 2個 . 然后又在裁剩下的長方形（長 477厘米，寬 159厘 米）中，以159厘米為邊長裁正方形， 恰好裁成 3個，且無剩余 .因此可知， 159厘米是 477 厘米、 1113厘米和 2703厘米的約數(shù) . 所以裁成同樣大的，且邊長盡可能長的正方形的

9、邊 長應(yīng)是 159厘米 . 所以， 159厘米是 2703和 1113的最大公約數(shù)。讓我們把圖解過程轉(zhuǎn)化為計算過程，即：2703÷1113，商 2余 477；1113÷477，商 2余 159；477÷159，商 3余 0?；蛘邔憺?703=2×1113+477，1113=2×477+159，477=3×159。當余數(shù)為 0時，最后一個算式中的除數(shù) 159就是原來兩個數(shù) 2703和 1113的最大公約 數(shù).可見， 477=159×3，1113=159×3×2+159=159×7，2703=159

10、×7×2+477=159×7×2+159×3=159×17。又7和 17是互質(zhì)數(shù)，159是 2703和 1113的最大公約數(shù)。我們把這種求最大公約數(shù)的方法叫做輾轉(zhuǎn)相除法 . 輾轉(zhuǎn)相除法的優(yōu)點在于它能在較短的時間內(nèi)求出任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)。例 7： 用輾轉(zhuǎn)相除法求 4811和1981的最大公約數(shù)。解： 4811=2×1981+849，1981=2×849+283，849=3×283，（ 4811，1981）=283。補充說明： 如果要求三個或更多的數(shù)的最大公約數(shù)， 可以先求其中任意兩個數(shù)的最 大公約數(shù)，

11、再求這個公約數(shù)與另外一個數(shù)的最大公約數(shù)， 這樣求下去， 直至求得最后結(jié) 果. 也可以直接觀察，依次試公有的質(zhì)因數(shù)。例8：求1008、 1260、 882和1134四個數(shù)的最大公約數(shù)是多少？解：（ 1260， 1008） =252，（882，1134）=126，又（ 252，126）=126，（ 1008，1260，882，1134）=126。 求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？請看例 9.例 9：兩個數(shù)的最大公約數(shù)是 4，最小公倍數(shù)是 252，其中一個數(shù)是 28，另一個數(shù)是多少？4 x 28解：設(shè)要求的數(shù)為 x ，則有：y7x=4×y28=4×728

12、x=4×y×4×7又 4是 x 和 28的最大公約數(shù)， （ y，7）=1，4×y×7是 x 和 28的最小公倍數(shù)。x×28=4×252 x=4×252÷28=36要求的數(shù)是 36。通過例 9的解答過程，不難發(fā)現(xiàn)：如果用a 和 b 表示兩個自然數(shù)，那么這兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關(guān)系是：（a，b）×a ，b=a×b。這樣， 求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的問題， 即可轉(zhuǎn)化成先求兩個數(shù)的最大公約數(shù)， 再用 最大公約數(shù)除兩個數(shù)的積，其結(jié)果就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。例10：求21672和1135

13、2的最小公倍數(shù)。解：（ 21672， 11352） =1032（1032可以用輾轉(zhuǎn)相除法求得）21672，11352=21672×11352÷1032=238392。答： 21672 和 11352 的最小公倍數(shù)是 238392.A1. 兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是 72。已知其中一個自然數(shù)是 18，求另一個自然數(shù)。答案： 242. 兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是 7，最小公倍數(shù)是 210。這兩個自然數(shù)的和是 77，求這兩個自 然數(shù)。答案： 35 和 423. 已知 a與b，a與 c的最大公約數(shù)分別是 12和 15，a，b，c的最小公倍數(shù)是 120，求a，b， c。答

14、案： a 為 60， b 為 24，c 為 15 或 a 為 120，b 為 12， c 為 154. 已知兩個自然數(shù)的和是 50，它們的最大公約數(shù)是 5，求這兩個自然數(shù)。答案： 5和45，15和 355. 已知兩個自然數(shù)的積為 240，最小公倍數(shù)為 60，求這兩個數(shù)。答案： 4和60，12和 20B6. 用自然數(shù) a 去除 498，450，414，得到相同的余數(shù)， a 最大是多少？ 答案： 127. 現(xiàn)有三個自然數(shù)， 它們的和是 1111 ，這樣的三個自然數(shù)的公約數(shù)中， 最大的可以是多少？ 答案： 1018. 狐貍和袋鼠進行跳遠比賽， 狐貍每次跳 4.5 米，袋鼠每次跳 2.75 米，它們每

15、秒都只跳一次。 比賽途中，從起點開始，每隔 12.375 米設(shè)一個陷阱，當它們之中一個先掉進陷阱時，另一 個跳了多少米 ?答案： 40.59. 用長 9 厘米、寬 6 厘米、高 4 厘米的長方體搭一個正方體，至少需要多少塊這樣的長方體 木塊？答案： 21610. 加工某種機器零件，要經(jīng)過三道工序.第一道工序每個工人每小時可完成8 個零件，第二道工序每個工人每小時可完成 12 個，第三道工序每個工人每小時可完成 16 個，要使加工生 產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個工人？答案： 6， 4，3C11. 一個兩位數(shù)去除 251，得到的余數(shù)是 41. 求這個兩位數(shù)。 答案： 42 或 70。12. 用一

16、個自然數(shù)去除另一個整數(shù)， 商 40，余數(shù)是 16.被除數(shù)、除數(shù)、商數(shù)與余數(shù)的和是 933， 求被除數(shù)和除數(shù)各是多少？答案：被除數(shù)是 856，除數(shù)是 21。13. 某年的十月里有 5個星期六， 4個星期日，問這年的 10月 1日是星期幾？ 答案：這年的 10 月 1 日是星期四。14. 3月18日是星期日，從 3月 17日作為第一天開始往回數(shù)（即 3月 16日（第二天）， 15 日（第三天） ，）的第 1993 天是星期幾？答案：第 1993 天必是星期二。15. 一個數(shù)除以 3余2，除以 5余3，除以 7余2，求適合此條件的最小數(shù)。 答案：適合條件的最小的自然數(shù)是 23。16. 一個數(shù)除以 5

17、余3，除以 6余4，除以 7余1，求適合條件的最小的自然數(shù)。 分析 “除以 5余3”即“加 2后被 5整除”，同樣“除以 6余4”即“加 2后被 6整除”。 答案：適合條件的最小的自然數(shù)是148。17. 一個數(shù)除以 3余2，除以 5余3，除以 7余4，求符合條件的最小自然數(shù)。 答案：符合條件的最小的自然數(shù)是 53。18. 一個布袋中裝有小球若干個 . 如果每次取 3 個，最后剩 1 個；如果每次取 5 個或 7 個，最 后都剩 2 個. 布袋中至少有小球多少個？ 答案：布袋中至少有小球 37 個。19. 69 、90和 125被某個正整數(shù) N除時，余數(shù)相同，試求 N的最大值。 答案： N 最大

18、是 7。1. 甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是54，甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？ 答案： 甲數(shù)是 18，乙數(shù)是 54。2. 一塊長方形地面， 長120米，寬60米，要在它的四周和四角種樹， 每兩棵之間的距離相等， 最少要種樹苗多少棵？每相鄰兩棵之間的距離是多少米？答案： 每兩棵之間的距離是 60米，最少要種樹苗 6棵。3. 已知兩個自然數(shù)的積是 5766，它們的最大公約數(shù)是 31. 求這兩個自然數(shù)。答案： 設(shè)這兩個自然數(shù)為 A 和 B。A，B=5766÷31=186。186=2×3×31，這兩個自然數(shù)為 31和186或62和 93。4. 兄弟三人在外工作

19、，大哥 6天回家一次，二哥 8天回家一次，小弟 12天回家一次 . 兄弟三人同時在十月一日回家，下一次三人再見面是哪一天？ 答案： 10月 25日。5. 將長 25分米， 寬20分米， 高 15分米的長方體木塊鋸成完全一樣的盡可能大的立方體，不能有剩余，每個立方體的體積是多少？一共可鋸多少塊？答案： 每個立方體的體積是 125立方分米 . 一共可鋸 60塊。6. 一箱地雷，每個地雷的重量相同， 且都是超過 1的整千克數(shù)，去掉箱子后地雷凈重 201千克， 拿出若干個地雷后，凈重 183千克. 求一個地雷的重量？答案： 3 千克 .78 的大于 11. 將一個兩位數(shù)的十位數(shù)字減去或加上它的個位數(shù)字，所得到的兩個數(shù)都是 的約數(shù)。求這個兩位數(shù)。答案：42