正方形的性質(zhì)與判定_優(yōu)質(zhì)課件

1、19.2.3 19.2.3 正方形正方形2002年世界數(shù)學(xué)大會會標(biāo)年世界數(shù)學(xué)大會會標(biāo)1 1、給你一張正方形的彩色紙，你能一刀剪出如、給你一張正方形的彩色紙，你能一刀剪出如圖的正方形孔嗎？圖的正方形孔嗎？正方形正方形矩形矩形2 2、給你一張矩形紙能把它折成一個正方形嗎？、給你一張矩形紙能把它折成一個正方形嗎？9090C DDC ABDA鄰邊相等鄰邊相等的矩形的矩形想一想：正方形是怎樣的矩形？想一想：正方形是怎樣的矩形？矩形矩形正方形正方形菱形菱形正方形正方形一個角是直角的菱形一個角是直角的菱形想一想：正方形是怎樣的菱形？想一想：正方形是怎樣的菱形？兩組兩組對邊對邊分別分別平行平行有一個角有一個角

2、是直角是直角有一組鄰有一組鄰邊相等邊相等四邊形四邊形平行四平行四邊形邊形矩形矩形菱菱形形平行四邊形平行四邊形正方正方形形矩形矩形菱形菱形一組鄰邊相一組鄰邊相等等一組鄰邊相一組鄰邊相等等一內(nèi)角是直一內(nèi)角是直角角一內(nèi)角是直一內(nèi)角是直角角平行四邊形平行四邊形正方形正方形一組鄰邊相等一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角一內(nèi)角是直角定義：定義：一組一組鄰邊相等鄰邊相等，且有，且有一個角是直角一個角是直角的平行四邊的平行四邊形叫做形叫做正方形正方形菱形菱形矩形矩形平行四邊形平行四邊形正正形形方方平行四邊形，矩形，菱形，正方形的關(guān)系平行四邊形，矩形，菱形，正方形的關(guān)系 正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩正方形是特殊

3、的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。形，也是特殊的菱形?；仡櫥仡櫰叫兴倪呅纹叫兴倪呅危匦尉匦?，菱形菱形的性質(zhì)，的性質(zhì)，完成表格前三列完成表格前三列平行四平行四邊形邊形矩矩 形形 (所特有所特有)菱形菱形 (所特有所特有)邊邊角角對角線對角線圖形的圖形的對稱性對稱性對邊平行對邊平行且相等且相等四條邊相等四條邊相等對邊平行對邊平行且且四條邊相等四條邊相等對角相等對角相等四個角都四個角都是直角是直角四個角都四個角都是直角是直角對角線互對角線互相平分相平分對角線對角線相等相等對角線對角線互相互相垂直垂直，每條，每條對角線平分對角線平分一組對角一組對角對角線對角線相等相等且且互互相垂直平分相

4、垂直平分，每，每條對角線平分一條對角線平分一組對角組對角中心對稱中心對稱圖形圖形既是既是中心對中心對稱圖形稱圖形又是又是軸對稱圖形軸對稱圖形既是既是中心對中心對稱圖形稱圖形又是又是軸對稱圖形軸對稱圖形既是既是中心對中心對稱圖形稱圖形又是又是軸對稱圖形軸對稱圖形圖形性質(zhì)分類正方形正方形對角線：對角線：相等相等 互相垂直平分互相垂直平分 每條對角線平分一組對角。每條對角線平分一組對角。邊邊: 對邊平行對邊平行 四邊相等四邊相等角角 ：四個角都是直角四個角都是直角圖形的對稱性：圖形的對稱性：既是軸對稱圖形既是軸對稱圖形, 又是中心對稱圖形又是中心對稱圖形. 你覺得什么樣的四邊形是你覺得什么樣的四邊形

5、是正方形呢正方形呢?( ?( 判斷一個四邊形判斷一個四邊形是正方形有哪些方法？）是正方形有哪些方法？）平行四邊形平行四邊形正方形正方形一組鄰邊相等一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角一內(nèi)角是直角1 1、 正方形正方形菱形菱形 2 2、一內(nèi)角是直角一內(nèi)角是直角矩形矩形3 3、一組鄰邊相等一組鄰邊相等正方形正方形正方形的判定方法：正方形的判定方法：(可從平行四邊形、矩形、菱形為基礎(chǔ)）可從平行四邊形、矩形、菱形為基礎(chǔ)）定義法定義法菱形法菱形法矩形法矩形法四條邊相等，四個角都是直角四條邊相等，四個角都是直角對角線互相垂直、平分且相等對角線互相垂直、平分且相等四邊形四邊形正方形正方形以四邊形為基礎(chǔ)：以四邊形為基礎(chǔ)：

6、既是菱形又是矩形的四邊形是正方形既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。對邊平行且相等對邊平行且相等每條對角線平分每條對角線平分一組對角一組對角對角線相等對角線相等對角線互相垂直對角線互相垂直對角線互相平分對角線互相平分四個角都是直角四個角都是直角對角相等對角相等四條邊都相等四條邊都相等性質(zhì)性質(zhì)正方形正方形菱形菱形矩形矩形平行四平行四邊形邊形圖形圖形小結(jié)小結(jié)5種識種識別方法別方法三個角是直角三個角是直角四條邊相等四條邊相等一個角是直角一個角是直角或或?qū)蔷€相等對角線相等一組鄰邊相等一組鄰邊相等或或?qū)蔷€垂直對角線垂直一組鄰邊相等一組鄰邊相等或或?qū)蔷€垂直對角線垂直一個角是直角一個角是直角或或?qū)蔷€相

7、等對角線相等一個角是直角且一組鄰邊相等一個角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)(1)(1)正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的 等腰直角三角形（等腰直角三角形（ ）(2)(2)對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形（對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形（ ）(3)(3)如果一個菱形的對角線相等，那么它一定如果一個菱形的對角線相等，那么它一定 是正方形是正方形 （ ）(4)(4)如果一個矩形的對角線互相垂直，那么它如果一個矩形的對角線互相垂直，那么它 一定是正方形一定是正方形 （ ）(5)

8、(5)四條邊相等，且有一個角是直角的四邊形四條邊相等，且有一個角是直角的四邊形 是正方形（是正方形（ ）（6）正方形一定是矩形（）正方形一定是矩形（ ）（7）正方形一定是菱形（）正方形一定是菱形（ ）（8）菱形一定是正方形（）菱形一定是正方形（ ）（9）矩形一定是正方形（）矩形一定是正方形（ ） ( 1 0 ) 正 方 形 、 矩 形 、 菱 形 都 是 平 行 四 邊正 方 形 、 矩 形 、 菱 形 都 是 平 行 四 邊形形 （ ）（12）正方形是軸對稱圖形）正方形是軸對稱圖形,一共有一共有2條對稱軸條對稱軸( )(13)四個角都相等的四邊形是正方形四個角都相等的四邊形是正方形 ( )(

9、14)四條邊都相等的四邊形是正方形四條邊都相等的四邊形是正方形 ( )1. 正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（ ） A、四個角相等、四個角相等. B、對角線互相垂直平分、對角線互相垂直平分. C、對角互補、對角互補. D、對角線相等、對角線相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（ ） A、四條邊相等、四條邊相等. B、對角線互相垂直平分、對角線互相垂直平分. C、對角線平分一組對角、對角線平分一組對角. D、對角線相等、對角線相等.BD3、下列命題正確的是（、下列命題正確的是（ ） A、四個角都相等的四邊形是正方形、四

10、個角都相等的四邊形是正方形 B、四條邊都相等的四邊形是正方形、四條邊都相等的四邊形是正方形 C、對角線相等的平行四邊形是正方形、對角線相等的平行四邊形是正方形 D、對角線互相垂直的矩形是正方形、對角線互相垂直的矩形是正方形D 4四個內(nèi)角都相等的四邊形一定是（四個內(nèi)角都相等的四邊形一定是（ ）A、正方形、正方形 B、菱形、菱形 C、矩形、矩形 D平行四邊形平行四邊形 5在四邊形在四邊形ABCD中，中，O是對角線的交點，是對角線的交點，能判定這個四邊形是正能判定這個四邊形是正 方形的是：（方形的是：（ ）AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCOBODOABBC DACBD CA6

11、 四個內(nèi)角都相等，四條邊也都相等的四個內(nèi)角都相等，四條邊也都相等的四邊形一定是：（四邊形一定是：（ ）A正方形正方形 B菱形菱形 C矩形矩形 D平平行四邊形行四邊形A1 1、如圖：正方形如圖：正方形ABCDABCD的周長為的周長為15cm15cm，則矩，則矩形形EFCGEFCG的周長為的周長為 cmcm。 ABCDEGF7.57.5試一試試一試4.4.已知：正方形已知：正方形ABCDABCD對角線對角線ACAC、BDBD相相交于點交于點O O，且，且ABAB2cm2cm，則，則AC=AC= , , 正方形的面積正方形的面積S=_.S=_. OBDAC22224 46 636365.5.已知：在

12、正方形已知：在正方形ABCDABCD中，對角線中，對角線ACAC、BDBD相交于點相交于點O O，且，且ACAC6 cm6 cm，面積面積S=S=_. .則邊長則邊長ABAB_, , 2OBDAC5 5、已知四邊形、已知四邊形ABCDABCD是平行四邊形，對角線是平行四邊形，對角線ACAC、BDBD相交于點相交于點O O。若若AB=BC，則四邊形，則四邊形ABCD是（是（ ）若若AC=BD，則四邊形，則四邊形ABCD是（是（ ）若若BCD=900，則四邊形，則四邊形ABCD是（是（ ）若若OA=OB，則四邊形，則四邊形ABCD是（是（ ）若若AB=BC，且，且AC=BD，則四邊形，則四邊形AB

13、CD是是 （ ）菱形菱形矩形矩形矩形矩形矩形矩形正方形正方形如圖，在正方形如圖，在正方形ABCD中，點中，點E在對角在對角線線AC上，那么，上，那么，BE和和DE相等嗎？為什么？相等嗎？為什么？ABCDE解：解：BE=DE.因為因為 對角線對角線AC所在的直所在的直線是正方形線是正方形ABCD的對的對稱軸，而點稱軸，而點E在對稱軸在對稱軸上，點上，點B為點為點D關(guān)于關(guān)于AC的對稱點，的對稱點，所以所以 BE=DE已知：如圖正方形已知：如圖正方形ABCDABCD對角線對角線ACAC、BDBD相交于點相交于點O O。求證：求證： ABO ABO BCO BCO CDO CDO ADOADO 例例1

14、 1、求證：正方形的兩條對角線把正方形分成四個求證：正方形的兩條對角線把正方形分成四個 全等的等腰直角三角形。全等的等腰直角三角形。3如圖如圖(3)，正方形，正方形ABCD中，中，AC、BD相交于相交于O， 分析：分析：要證明要證明BMCN，大家觀察，大家觀察圖形可以考慮證哪兩個三角形全等圖形可以考慮證哪兩個三角形全等 ? MNAB且且MN分別交分別交OA、OB于于M、N，求證：求證：BMCN。 你能完成證明嗎你能完成證明嗎?ABBC，1245 條件夠嗎？條件夠嗎？還需要的條件是還需要的條件是 AMBNABM BCN你所要證明的兩個三角形已經(jīng)滿足你所要證明的兩個三角形已經(jīng)滿足了哪些條件了哪些條

15、件?由正方形可以得到的條件有：由正方形可以得到的條件有：例例2 2、如圖，正方形如圖，正方形ABCDABCD中，中，ACAC、BDBD相交于相交于O O，MNABMNAB且且MNMN分別交分別交OAOA、OBOB于于M M、N N，求證：，求證：BMBMCNCN。 證明：證明：OAOAOMOMOBOBONONOMOMONONOMNOMN1133ONMONM4545又又MNABMNAB1122334545OAOAOB AB=BCOB AB=BC四邊形四邊形ABCDABCD是正方形是正方形即：即：AM=BNAM=BNABMABMBCNBCNBM=CNBM=CN例例3 3、 直角三角形直角三角形AB

16、CABC中，中，CDCD平分平分ACBACB交交ABAB于于D D，DEACDEAC，DFABDFAB。求證：四邊形求證：四邊形CEDFCEDF是正方形。是正方形。ABCDEF四邊形四邊形ABCDABCD是正方形（是正方形（ ) ) DE=DF( )DE=DF( )DEACDEAC， DFBCDFBC CD CD平分平分ACBACB 四邊形四邊形ABCDABCD為矩形為矩形( )( )而而ACB=90ACB=90 DEC=90 DEC=90， DFC=90DFC=90證明：證明： DEAC DEAC，DFABDFAB有三個角是有三個角是 直直角的四邊形是矩角的四邊形是矩形形角平分線的定理角平分

17、線的定理有一組鄰邊相有一組鄰邊相等的矩形是正等的矩形是正方形方形4已知：如圖已知：如圖(4)在正方形在正方形ABCD中，中，F(xiàn)為為CD延長線延長線 上一點，上一點，CEAF于于E，交，交AD于于M， 求證：求證：MFD45分析：分析：欲證欲證MFD45，由于，由于MDF是直角三角形是直角三角形,只須證只須證MDF是等腰三角形是等腰三角形,即只要證即只要證 _=_要證要證MDFD，大家只須證得哪兩個三角形全等，大家只須證得哪兩個三角形全等? 試一試試一試看能不能完成證明看能不能完成證明?CMD ADF例例4 4、已知：如圖、已知：如圖(4)(4)在正方形在正方形ABCDABCD中，中，F(xiàn) F為為

18、CDCD延長線上延長線上一點，一點，CEAFCEAF于于E E，交，交ADAD于于M M，求證：求證：MFDMFD4545證明：證明：DM=DFDM=DFRtRtCDMRtCDMRtADFADF(AAS)(AAS)又又CDCDADAD，ADFADFMDC=RtMDC=Rt112 2CMDCMDAMEAMEADCADCAEMAEM9090CEAF CEAF 四邊形四邊形ABCDABCD是正方形是正方形MFDMFD45451 1、如圖，在、如圖，在ABAB上取一點上取一點C C，以，以ACAC、BCBC為正方形的一邊為正方形的一邊在同一側(cè)作正方形在同一側(cè)作正方形AEDCAEDC和和BCFGBCFG

19、連結(jié)連結(jié)AFAF、BDBD延長延長BDBD交交AFAF于于H H。求證：求證：(1) (1) ACFACFDCB (2) BHAFDCB (2) BHAF 練一練練一練2 2、如圖、如圖(6)(6)，ABCABC的外面作正方形的外面作正方形ABDEABDE和和ACFGACFG，連，連結(jié)結(jié)BGBG、CECE，交點為，交點為N N。求證：求證：CEACEAABGABG 證明：證明：四邊形四邊形ABDEABDE和四邊形和四邊形ACFGACFG是正方形。是正方形。AEAEABABAGAGACAC11229090又又EACEAC11BACBAC9090BACBACBAGBAG22BACBAC9090BA

20、CBAC EACEACBAGBAG AECAECABGABG(SAS)(SAS) CEACEAABGABG3 3、在正方形中，點、在正方形中，點 ， ， ， 分別在分別在，上，且，上，且 .四邊形四邊形 是正方形嗎？為什么？是正方形嗎？為什么？DCBADCBAA AB BC CD DE EF FG GABDCFE6 6、在、在ABCABC中中,AB=AC,D,AB=AC,D是是BCBC的中點的中點,DEAB,DEAB,DFAC,DFAC,垂足分別是垂足分別是E,F.E,F.1)1)試說明試說明:DE=DF:DE=DF2)2)只添加一個條件只添加一個條件, ,使四邊形使四邊形EDFAEDFA是正

21、方形是正方形. .請你至少寫出兩種不同的添加方法請你至少寫出兩種不同的添加方法.(.(不另外不另外添加輔助線添加輔助線, ,無需證明無需證明) )F FE ED DC CB BA A1 1、在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小、在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分（不考慮道路的寬度），你有幾種等的四部分（不考慮道路的寬度），你有幾種方法？（至少說出三種）方法？（至少說出三種） 課外拓展：課外拓展： 如何設(shè)計花壇？如何設(shè)計花壇？ 在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直在一塊正方形的花壇上，欲修建兩條直的小路

22、，使得兩條直的小路將花壇平均的小路，使得兩條直的小路將花壇平均分成面積相等的四部分（不考慮道路的分成面積相等的四部分（不考慮道路的寬度），你有幾種方法？（至少說出三寬度），你有幾種方法？（至少說出三種）種） 請你當(dāng)設(shè)計師請你當(dāng)設(shè)計師1已知：正方形已知：正方形ABCD對角線對角線AC、BD相相交于點交于點O，且，且AB2cm，如圖，如圖(2)。求：求：AC的長及正方形的面積的長及正方形的面積S。 EFG矩形EFCG的周長。6 6、已知：如圖矩形、已知：如圖矩形ABCD,ABCD,對角線對角線ACAC、BDBD相交于點相交于點O O，AEAE平分平分BADBAD交交BCBC于于點點E E，連接，連

23、接OEOE，若，若EAO=15EAO=150 0，求，求BOEBOE的度數(shù)。的度數(shù)。OABCDE7 7、在正方形、在正方形ABCDABCD中，中，AC=10AC=10，P P是是ABAB上任意一點，上任意一點，PEACPEAC于點于點E E，PFBDPFBD于點于點F F，求，求PE+PFPE+PF的值。的值。ABCDEPF8、如圖，正方形如圖，正方形ABCDABCD的邊長為的邊長為8 8， M M在在DCDC上，且上，且DM=2DM=2，N N是是ACAC上一個動上一個動點，求點，求DN+MNDN+MN的最小值。的最小值。ABCDMN8、如圖，正方形如圖，正方形ABCDABCD的邊長為的邊長

24、為8 8， M M在在DCDC上，且上，且DM=2DM=2，N N是是ACAC上一個動上一個動點，求點，求DN+MNDN+MN的最小值。的最小值。ABCDMN9 9、已知，如圖在、已知，如圖在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADBCADBC，垂足為點，垂足為點D D，ANAN是是ABCABC外角外角CAMCAM的平分線，的平分線，CEANCEAN垂足為點垂足為點E E，求證：四邊形求證：四邊形ADCEADCE是矩形。是矩形。當(dāng)當(dāng)ABCABC滿足什么條件時，四邊形滿足什么條件時，四邊形 ADCEADCE是正方形，說明理由。是正方形，說明理由。ABCEMND10、如圖、如圖B、C、E是同

25、一直線上的三個是同一直線上的三個點，四邊形點，四邊形ABCD與與CEFG是正方形，連是正方形，連接接BG、DE（1）觀察、猜想）觀察、猜想BG與與DE之間的大小關(guān)之間的大小關(guān)系，并說明理由。系，并說明理由。（2）正方形）正方形CEFG在繞點在繞點C旋轉(zhuǎn)過程中，旋轉(zhuǎn)過程中，BG與與DE之間的關(guān)系是否仍然成立。之間的關(guān)系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC11、如圖，、如圖，M為正方形為正方形ABCD邊邊AB的中的中點，點，E是是AB延長線上一點，延長線上一點，MNDM，且交且交CBE的平分線于點的平分線于點N。（1）求證：）求證：MD=MN（2）若將上述條件中的）若將上述條件中的“M是是A

26、B的中點的中點”改為改為“M為為AB上任意一點上任意一點”，其它條件不，其它條件不變，問結(jié)論變，問結(jié)論MD=MN是否仍然成立。是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMP思考題：思考題： 如圖正方形如圖正方形ABCDABCD的對角線相交于點的對角線相交于點O O，O O又是另一個正方形又是另一個正方形OEFGOEFG的一個頂點，若正方形的一個頂點，若正方形OEFGOEFG繞點繞點O O旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中. .探究二探究二: :若正方形若正方形OEFGOEFG與正方形與正方形ABCDABCD兩邊兩邊分別相交于分別相交于M NM N，試判斷線段，試判斷線段AMAM于于BNB

27、N之間之間的關(guān)系的關(guān)系. .探究一探究一: :兩個正方形重疊部分的面積是否會兩個正方形重疊部分的面積是否會發(fā)生變化？并說明理由。發(fā)生變化？并說明理由。探究四：探究四： 如圖，有兩個大小不等的兩個正如圖，有兩個大小不等的兩個正 方形，其中小正方形的面積是大正方形面方形，其中小正方形的面積是大正方形面積的一半，若陰影部分的面積為積的一半，若陰影部分的面積為8 8，則小正，則小正方形的邊長為多少？方形的邊長為多少？探究三探究三: 若正方形若正方形OEFGOEFG繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時，AM AM 與與 BNBN之間的關(guān)系是否還之間的關(guān)系是否還成立？成立？構(gòu)建與證構(gòu)建與證明明ODCBA如圖，分別延長等腰直角三角形如圖，分別延長等腰直角三角形OAB的兩條直的兩條直角邊角邊AO和和BO，使，使AO=OC，BO=OD求證：四邊形求證：四邊形ABCD是正方形。是正